Logarithmusfunktionen

Kompetenzcode: FA 7.1

Logarithmusfunktionen sind eng mit Exponentialfunktionen verbunden.

Die Exponentialfunktion

$$y=b^x$$

beantwortet die Frage:

Welcher Wert entsteht, wenn die Basis $b$ mit $x$ potenziert wird?

Der Logarithmus beantwortet die umgekehrte Frage:

Mit welchem Exponenten muss $b$ potenziert werden, damit ein bestimmter Wert entsteht?

Es gilt:

$$\boxed{ b^y=x \iff y=\log_b(x) }$$

mit

$$b>0, \qquad b\neq1, \qquad x>0.$$

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1. Grundform einer Logarithmusfunktion

Die einfachste Logarithmusfunktion lautet:

$$\boxed{ f(x)=\log_b(x) }$$

Dabei muss für die Basis gelten:

$$\boxed{ b>0 }$$

und

$$\boxed{ b\neq1. }$$

Außerdem darf nur der Logarithmus einer positiven Zahl gebildet werden.

Daher:

$$\boxed{ x>0. }$$

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2. Logarithmusfunktion aus einer Gleichung erkennen

Eine Logarithmusfunktion erkennt man daran, dass die Variable im Argument eines Logarithmus vorkommt.

Beispiele:

$$f(x)=\log_2(x),$$ $$g(x)=\ln(x),$$ $$h(x)=3\log_{10}(x-4)+2.$$

Das sind Logarithmusfunktionen.

Dagegen ist

$$f(x)=2^x$$

eine Exponentialfunktion.

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3. Häufige Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis $10$ wird oft geschrieben als

$$\log(x).$$

Der Logarithmus zur Basis

$$e$$

heißt natürlicher Logarithmus:

$$\boxed{ \ln(x)=\log_e(x). }$$

Dabei ist näherungsweise:

$$e\approx2{,}71828.$$

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4. Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind Umkehrfunktionen

Die Funktionen

$$f(x)=b^x$$

und

$$f^{-1}(x)=\log_b(x)$$

sind Umkehrfunktionen.

Daher gilt:

$$\boxed{ \log_b(b^x)=x }$$

und für

$$x>0$$

auch:

$$\boxed{ b^{\log_b(x)}=x. }$$

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5. Wichtige Punkte des Grundgraphen

Für

$$f(x)=\log_b(x)$$

gilt immer:

$$\log_b(1)=0.$$

Daher liegt der Punkt

$$\boxed{ (1|0) }$$

auf jedem Grundgraphen.

Außerdem:

$$\log_b(b)=1.$$

Also liegt auch

$$\boxed{ (b|1) }$$

auf dem Graphen.

Und:

$$\log_b\left(\frac1b\right)=-1.$$

Damit liegt:

$$\boxed{ \left(\frac1b|-1\right) }$$

auf dem Graphen.

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6. Graph für eine Basis größer als 1

Ist

$$b>1,$$

zum Beispiel

$$f(x)=\log_2(x),$$

dann ist die Funktion streng steigend.

Geeignete Punkte sind:

$$\left(\frac12|-1\right),$$ $$(1|0),$$ $$(2|1),$$ $$(4|2).$$

Der Graph steigt langsam nach rechts an.

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7. Graph für eine Basis zwischen 0 und 1

Ist

$$0<b<1,$$

zum Beispiel

$$f(x)=\log_{\frac12}(x),$$

dann ist die Funktion streng fallend.

Auch hier gilt:

$$f(1)=0.$$

Der Graph verläuft also ebenfalls durch

$$(1|0),$$

fällt aber von links nach rechts.

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8. Senkrechte Asymptote

Für die Grundfunktion

$$f(x)=\log_b(x)$$

ist

$$x=0$$

eine senkrechte Asymptote.

Der Graph nähert sich der y-Achse beliebig stark an, erreicht sie aber nicht.

Der Grund ist:

$$x=0$$

ist nicht im Definitionsbereich.

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9. Definitionsmenge der Grundfunktion

Da das Logarithmusargument positiv sein muss:

$$x>0.$$

Damit:

$$\boxed{ D_f=(0,\infty). }$$

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10. Definitionsmenge bei verschobenem Argument

Gegeben:

$$f(x)=\ln(x-3).$$

Das Argument muss positiv sein:

$$x-3>0.$$

Umformen:

$$\begin{aligned} x-3&>0 &&/+3\\ x&>3. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ D_f=(3,\infty). }$$

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11. Definitionsmenge mit linearem Argument

Gegeben:

$$f(x)=\log_2(5-2x).$$

Es muss gelten:

$$5-2x>0.$$

Umformen:

$$\begin{aligned} 5-2x&>0 &&/-5\\ -2x&>-5 &&/:-2\\ x&<\frac52. \end{aligned}$$

Beim Dividieren einer Ungleichung durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Damit:

$$\boxed{ D_f= \left( -\infty, \frac52 \right). }$$

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12. Allgemeine Regel für die Definitionsmenge

Bei einer Funktion

$$f(x)=\log_b(g(x))$$

muss immer gelten:

$$\boxed{ g(x)>0. }$$

Man bestimmt die Definitionsmenge also durch Lösen der Ungleichung

$$g(x)>0.$$

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13. Wertemenge einer Logarithmusfunktion

Für die Grundfunktion

$$f(x)=\log_b(x)$$

können alle reellen Funktionswerte auftreten.

Daher:

$$\boxed{ W_f=\mathbb R. }$$

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14. Typische Eigenschaften

Für

$$f(x)=\log_b(x)$$

mit

$$b>0, \qquad b\neq1$$

gilt:

• Definitionsmenge:

$$(0,\infty)$$

• Wertemenge:

$$\mathbb R$$

• Nullstelle:

$$x=1$$

• senkrechte Asymptote:

$$x=0$$

• bei $b>1$: streng steigend,
• bei $0<b<1$: streng fallend.

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15. Keine y-Achsenabschnitt bei der Grundfunktion

Für einen y-Achsenabschnitt müsste

$$x=0$$

eingesetzt werden.

Aber

$$\log_b(0)$$

ist im Reellen nicht definiert.

Daher besitzt die Grundfunktion

$$f(x)=\log_b(x)$$

keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.

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16. Skizzieren eines Logarithmusgraphen

Für

$$f(x)=\log_2(x)$$

kann man folgende Schritte verwenden:

1. Definitionsmenge bestimmen.
2. Senkrechte Asymptote einzeichnen.
3. Punkt

$$(1|0)$$

eintragen.
4. Weitere einfache Punkte berechnen.
5. Monotonie beachten.
6. Punkte zu einer glatten Kurve verbinden.

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17. Beispielskizze über Stützpunkte

Für

$$f(x)=\log_2(x)$$

verwenden wir:

$$\log_2\left(\frac14\right)=-2,$$ $$\log_2\left(\frac12\right)=-1,$$ $$\log_2(1)=0,$$ $$\log_2(2)=1,$$ $$\log_2(4)=2.$$

Damit erhalten wir die Punkte:

$$\left(\frac14|-2\right),$$ $$\left(\frac12|-1\right),$$ $$(1|0),$$ $$(2|1),$$ $$(4|2).$$

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18. Verschobene und gestreckte Logarithmusfunktion

Eine häufig verwendete Form ist:

$$\boxed{ f(x)=a\log_b(x-d)+e. }$$

Dabei beeinflussen verschiedene Parameter den Graphen.

Wir betrachten:

• $a$,
• $b$,
• $d$,
• $e$.

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19. Einfluss von $d$

Bei

$$f(x)=\log_b(x-d)$$

verschiebt $d$ den Graphen horizontal.

Ist zum Beispiel:

$$f(x)=\log_2(x-3),$$

dann wird der Grundgraph um $3$ Einheiten nach rechts verschoben.

Die senkrechte Asymptote liegt nun bei:

$$\boxed{ x=3. }$$

Die Definitionsmenge lautet:

$$\boxed{ x>3. }$$

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20. Einfluss von $e$

Bei

$$f(x)=\log_b(x)+e$$

verschiebt $e$ den Graphen vertikal.

Beispiel:

$$f(x)=\log_2(x)+4.$$

Der gesamte Graph wird um $4$ Einheiten nach oben verschoben.

Der Punkt

$$(1|0)$$

wird zu:

$$\boxed{ (1|4). }$$

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21. Einfluss von $a$

Bei

$$f(x)=a\log_b(x)$$

verändert $a$ die Funktionswerte.

Ist

$$|a|>1,$$

wird der Graph in y-Richtung gestreckt.

Ist

$$0<|a|<1,$$

wird er in y-Richtung gestaucht.

Ist

$$a<0,$$

wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

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22. Einfluss der Basis $b$

Die Basis bestimmt wesentlich die Form und Monotonie.

Für

$$b>1$$

ist

$$\log_b(x)$$

steigend.

Für

$$0<b<1$$

ist

$$\log_b(x)$$

fallend.

Die Basis darf niemals

$$b=1$$

sein.

Auch negative Basen werden für die reelle Logarithmusfunktion nicht verwendet.

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23. Verschobenen Graphen schnell skizzieren

Gegeben:

$$f(x)=2\log_3(x-4)+1.$$

Zuerst:

$$x-4>0.$$

Also:

$$x>4.$$

Die Asymptote ist:

$$x=4.$$

Für

$$x-4=1$$

gilt:

$$x=5.$$

Dann:

$$f(5) = 2\log_3(1)+1 = 1.$$

Der typische Bezugspunkt lautet daher:

$$\boxed{ (5|1). }$$

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24. Einfache Logarithmusgleichung

Gegeben:

$$\log_2(x)=3.$$

Die Logarithmusgleichung kann in eine Potenzgleichung umgeschrieben werden:

$$\log_2(x)=3 \iff 2^3=x.$$

Damit:

$$\boxed{x=8}.$$

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25. Logarithmusgleichung mit verschobenem Argument

Gegeben:

$$\log_2(x-1)=3.$$

Zunächst der Definitionsbereich:

$$x-1>0.$$

Also:

$$x>1.$$

Nun logarithmische Form in Potenzform umschreiben:

$$x-1=2^3.$$

Damit:

$$x-1=8.$$

Also:

$$\boxed{x=9}.$$

Probe des Definitionsbereichs:

$$9>1.$$

Die Lösung ist zulässig.

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26. Gleiche Logarithmen auf beiden Seiten

Gegeben:

$$\ln(2x-1)=\ln(x+5).$$

Zunächst müssen beide Argumente positiv sein:

$$2x-1>0$$

und

$$x+5>0.$$

Aus der ersten Bedingung:

$$x>\frac12.$$

Die zweite verlangt:

$$x>-5.$$

Gemeinsam:

$$x>\frac12.$$

Da der natürliche Logarithmus eindeutig ist, folgt:

$$2x-1=x+5.$$

Umformen:

$$\begin{aligned} 2x-1&=x+5 &&/-x+1\\ x&=6. \end{aligned}$$

Probe:

$$6>\frac12.$$

Damit:

$$\boxed{x=6}.$$

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27. Definitionsbereich immer zuerst oder spätestens am Ende prüfen

Bei Logarithmusgleichungen ist nicht jede algebraisch erhaltene Zahl automatisch zulässig.

Der Logarithmus verlangt:

$$\boxed{ \text{Argument}>0. }$$

Eine Lösung, die ein Argument null oder negativ macht, muss ausgeschlossen werden.

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28. Exponentialgleichungen und Logarithmen

Logarithmen helfen auch beim Lösen von Exponentialgleichungen.

Betrachten wir:

$$3^{2x}=20.$$

Die unbekannte Zahl $x$ steht im Exponenten.

Hier kann auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus angewendet werden:

$$\ln(3^{2x})=\ln(20).$$

Mit der Potenzregel:

$$2x\ln3=\ln20.$$

Nun nach $x$ auflösen:

$$\boxed{ x= \frac{\ln20}{2\ln3}. }$$

Näherungsweise:

$$\boxed{ x\approx1{,}3634. }$$

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29. Allgemeine Form $a^{kx}=b$

Gegeben:

$$a^{kx}=b$$

mit

$$a>0, \qquad a\neq1, \qquad b>0.$$

Logarithmieren:

$$\ln(a^{kx})=\ln b.$$

Potenzregel:

$$kx\ln a=\ln b.$$

Nach $x$ auflösen:

$$\boxed{ x= \frac{\ln b}{k\ln a}. }$$

Vorausgesetzt:

$$k\neq0.$$

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30. Exponentialterm zuerst isolieren

Gegeben:

$$5\cdot2^x=40.$$

Zuerst durch $5$ dividieren:

$$\begin{aligned} 5\cdot2^x&=40 &&/:5\\ 2^x&=8. \end{aligned}$$

Hier sieht man sogar direkt:

$$2^3=8.$$

Also:

$$\boxed{x=3}.$$

Falls keine passende Potenz erkennbar wäre, könnte man logarithmieren.

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31. Beispiel mit Logarithmieren

Gegeben:

$$4\cdot1{,}7^x=25.$$

Zuerst:

$$1{,}7^x=\frac{25}{4}.$$

Logarithmieren:

$$\ln(1{,}7^x) = \ln\left(\frac{25}{4}\right).$$

Damit:

$$x\ln(1{,}7) = \ln\left(\frac{25}{4}\right).$$

Also:

$$\boxed{ x= \frac{ \ln\left(\frac{25}{4}\right) }{ \ln(1{,}7) }. }$$

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32. Warum kann man einen beliebigen geeigneten Logarithmus verwenden?

Aus

$$a^x=b$$

kann man beispielsweise

$$\ln$$

oder

$$\log$$

auf beide Seiten anwenden.

Mit $\ln$:

$$x= \frac{\ln b}{\ln a}.$$

Mit dem Zehnerlogarithmus:

$$x= \frac{\log b}{\log a}.$$

Beide Ergebnisse sind gleich.

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33. Komplexere Exponentialgleichungen

Nicht jede Exponentialgleichung lässt sich durch einfaches Logarithmieren direkt nach $x$ auflösen.

Beispiel:

$$2^x+x=4.$$

Hier steht $x$

• im Exponenten,
• und zusätzlich außerhalb der Exponentialfunktion.

Ein einfaches Logarithmieren isoliert $x$ daher nicht.

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34. Technologieunterstützte Lösung

Für

$$2^x+x=4$$

kann man beispielsweise die Nullstellenfunktion

$$h(x)=2^x+x-4$$

betrachten.

Mit einem geeigneten elektronischen Hilfsmittel kann man die Nullstelle von $h$ bestimmen.

Man erhält näherungsweise:

$$\boxed{ x\approx1{,}38617. }$$

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35. Technologieergebnis prüfen

Eine numerisch bestimmte Lösung sollte in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden.

Für

$$x\approx1{,}38617$$

gilt näherungsweise:

$$2^{1{,}38617}+1{,}38617\approx4.$$

Damit ist die Lösung plausibel.

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36. Möglichkeiten elektronischer Hilfsmittel

Je nach Werkzeug kann eine komplexere Gleichung gelöst werden durch:

• einen Gleichungslöser,
• eine Nullstellenberechnung,
• die Schnittpunkte zweier Graphen.

Bei

$$2^x+x=4$$

kann man beispielsweise die Schnittpunkte von

$$y=2^x$$

und

$$y=4-x$$

bestimmen.

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37. Elektronisches Hilfsmittel ersetzt nicht die mathematische Kontrolle

Auch bei einer technologieunterstützten Lösung muss geklärt werden:

1. Welche Gleichung wird gelöst?
2. In welchem Bereich wird gesucht?
3. Gibt es möglicherweise mehrere Lösungen?
4. Ist die numerische Lösung ausreichend genau?
5. Erfüllt sie die ursprüngliche Gleichung?
6. Gibt es Einschränkungen des Definitionsbereichs?

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38. Typische Fehler bei Logarithmusfunktionen

Fehler 1: Definitionsbereich vergessen

Bei

$$\log_b(g(x))$$

muss gelten:

$$g(x)>0.$$

Nicht:

$$g(x)\geq0.$$

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Fehler 2: Logarithmus von null zulassen

$$\log_b(0)$$

ist im Reellen nicht definiert.

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Fehler 3: Basis $1$ verwenden

$$\log_1(x)$$

ist keine zulässige Logarithmusfunktion.

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Fehler 4: Exponential- und Logarithmusfunktion verwechseln

$$b^x$$

ist exponentiell.

$$\log_b(x)$$

ist logarithmisch.

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Fehler 5: Verschiebung der Asymptote übersehen

Bei

$$\log_b(x-d)$$

liegt die senkrechte Asymptote nicht mehr bei

$$x=0,$$

sondern bei:

$$\boxed{x=d}.$$

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39. Typische Fehler bei Logarithmusgleichungen

Fehler 1: Definitionsbereich nicht prüfen

Eine algebraisch erhaltene Lösung kann für den Logarithmus unzulässig sein.

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Fehler 2: Potenzform falsch bilden

Aus

$$\log_b(x)=c$$

folgt:

$$\boxed{ x=b^c. }$$

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Fehler 3: Argument und Funktionswert verwechseln

Bei

$$\log_2(x-1)=3$$

gilt:

$$x-1=2^3.$$

Nicht:

$$x=2^3-1$$

ohne vorher den vollständigen Argumentterm korrekt zu behandeln.

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40. Typische Fehler bei Exponentialgleichungen

Fehler 1: Logarithmus nicht auf die gesamte Seite anwenden

Aus

$$3^{2x}=20$$

wird:

$$\ln(3^{2x})=\ln20.$$

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Fehler 2: Potenzregel falsch verwenden

Richtig:

$$\ln(3^{2x}) = 2x\ln3.$$

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Fehler 3: Exponentialterm nicht zuerst isolieren

Bei

$$4\cdot2^x=15$$

sollte zunächst durch $4$ dividiert werden.

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Fehler 4: Komplexe Gleichung mit einer ungeeigneten Formel erzwingen

Eine Gleichung wie

$$2^x+x=4$$

lässt sich nicht durch bloßes Logarithmieren in derselben Weise lösen wie

$$2^x=4.$$

Hier ist ein numerisches Verfahren beziehungsweise technologisches Hilfsmittel sinnvoll.

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41. Vorgehensplan: Logarithmusfunktion erkennen und charakterisieren

1. Prüfen, ob die Variable im Argument eines Logarithmus steht.
2. Basis bestimmen.
3. Bedingung

$$\text{Argument}>0$$

lösen.
4. Definitionsmenge angeben.
5. Asymptote bestimmen.
6. Monotonie aus Basis und gegebenen Parametern ableiten.
7. geeignete Stützpunkte bestimmen.
8. Graph skizzieren.

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42. Vorgehensplan: Logarithmusgleichung lösen

1. Definitionsbedingungen aufstellen.
2. Logarithmusterm möglichst isolieren.
3. Logarithmische Gleichung in eine Potenzgleichung umformen oder gleiche Logarithmen vergleichen.
4. Entstehende Gleichung lösen.
5. Lösung in die Definitionsbedingungen einsetzen.
6. Nur zulässige Lösungen angeben.

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43. Vorgehensplan: Exponentialgleichung mit Logarithmen

Gegeben:

$$a^{kx}=b.$$

1. Exponentialterm isolieren.
2. Prüfen, ob die rechte Seite positiv ist.
3. Beide Seiten logarithmieren.
4. Potenzregel anwenden:

$$\ln(a^{kx})=kx\ln a.$$

1. Nach $x$ auflösen.
2. Ergebnis näherungsweise berechnen.
3. Probe durchführen.

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44. Vorgehensplan: komplexere Exponentialgleichung mit Technologie

1. Gleichung vollständig erfassen.
2. Entscheiden, ob eine direkte algebraische Auflösung möglich ist.
3. Falls nicht, Gleichung als Nullstellen- oder Schnittpunktproblem formulieren.
4. Geeigneten Suchbereich festlegen.
5. Elektronisches Hilfsmittel verwenden.
6. Alle gefundenen Lösungen notieren.
7. Jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung prüfen.
8. Genauigkeit passend angeben.

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45. Zusammenfassung

Logarithmusfunktion

$$\boxed{ f(x)=\log_b(x) }$$

mit

$$\boxed{ b>0, \qquad b\neq1. }$$

Definitionsmenge

$$\boxed{ D_f=(0,\infty). }$$

Bei

$$f(x)=\log_b(g(x))$$

gilt:

$$\boxed{ g(x)>0. }$$

Grundpunkt

$$\boxed{ (1|0) }$$

Asymptote der Grundfunktion

$$\boxed{ x=0. }$$

Logarithmusgleichung

$$\boxed{ \log_b(x)=c \iff x=b^c. }$$

Exponentialgleichung

$$\boxed{ a^{kx}=b }$$

führt durch Logarithmieren zu:

$$\boxed{ x= \frac{\ln b}{k\ln a}. }$$

Merke:
Bei Logarithmen muss das Argument positiv sein.
Bei Exponentialgleichungen mit unbekanntem Exponenten machen Logarithmen den Exponenten als Faktor zugänglich.
Komplexere Gleichungen dürfen technologieunterstützt gelöst werden, müssen danach aber geprüft werden.