Satz des Pythagoras in der Ebene

Kompetenzcode: MG 4.14

Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Entscheidend ist nicht, wie das Dreieck gedreht ist, sondern wo der rechte Winkel liegt.

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1. Das rechtwinkelige Dreieck

Ein rechtwinkeliges Dreieck besitzt genau einen Winkel mit

$$90^\circ.$$

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Die dritte Seite heißt Hypotenuse.

Ganz wichtig: Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist außerdem die längste Seite des rechtwinkeligen Dreiecks.

Die Buchstaben sind nicht entscheidend. Wenn wir (a) und (b) für die Katheten und (c) für die Hypotenuse verwenden, gilt die bekannte Form. Ist eine Zeichnung anders beschriftet, musst du zuerst die Hypotenuse erkennen und die Formel passend anschreiben.

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2. Der Satz des Pythagoras

Für jedes rechtwinkelige Dreieck gilt:

$$\boxed{a^2+b^2=c^2}$$

Dabei sind (a) und (b) die Katheten. (c) ist die Hypotenuse.

Der Satz gilt nicht für ein beliebiges Dreieck. Prüfe deshalb vor jeder Rechnung, ob ein rechter Winkel gegeben oder eindeutig erkennbar ist.

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3. Die geometrische Bedeutung der Quadrate

Über jeder Dreiecksseite kann man ein Quadrat errichten. Das Quadrat über einer Seite der Länge (a) besitzt den Flächeninhalt ($a^{2}$).

Die beiden Quadrate über den Katheten haben zusammen genau denselben Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse:

$$a^2+b^2=c^2.$$

Die Hochzahlen bedeuten also nicht, dass Seiten einfach addiert werden. Es werden die Flächeninhalte der Seitenquadrate verglichen.

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4. Die Hypotenuse berechnen

Gegeben sind

$$a=3\,\mathrm{cm}, \qquad b=4\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist die Hypotenuse (c).

$$a^2+b^2=c^2$$ $$3^2+4^2=c^2$$ $$9+16=c^2$$ $$25=c^2$$ $$c=\sqrt{25}$$ $$\boxed{c=5\,\mathrm{cm}}.$$

Nach dem Addieren der Quadrate steht zunächst ($c^{2}$) fest. Erst durch das Wurzelziehen erhalten wir die Länge (c).

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5. Eine Kathete berechnen

Gegeben sind die Hypotenuse (c=10) und die Kathete (b=6). Gesucht ist (a).

$$a^2+b^2=c^2$$ $$a^2+6^2=10^2$$ $$a^2+36=100 \qquad /-36$$ $$a^2=64$$ $$a=\sqrt{64}$$ $$\boxed{a=8}.$$

Rechnerisch gehören zu ($a^{2}$=64) eine positive und eine negative Zahl. Eine geometrische Länge kann aber nicht negativ sein. Deshalb verwenden wir für eine Seitenlänge die positive Lösung.

Für eine Kathete wird das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse abgezogen. Das Ergebnis muss positiv sein.

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6. Pythagoras im Rechteck

Eine Diagonale teilt ein Rechteck in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Die Rechteckseiten sind Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse.

Ein Rechteck ist (9,\mathrm{cm}) lang und (12,\mathrm{cm}) breit. Für seine Diagonale (d) gilt:

$$9^2+12^2=d^2$$ $$81+144=d^2$$ $$225=d^2$$ $$\boxed{d=15\,\mathrm{cm}}.$$

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7. Pythagoras im Quadrat

Ein Quadrat mit Seitenlänge (a) wird durch seine Diagonale in zwei rechtwinkelige Dreiecke geteilt. Beide Katheten haben die Länge (a):

$$a^2+a^2=d^2$$ $$2a^2=d^2$$ $$d=\sqrt{2a^2}.$$

Da (a) eine positive Länge ist, folgt:

$$\boxed{d=a\sqrt{2}}.$$

Diese Beziehung wurde aus Pythagoras hergeleitet. Sie ist keine zusätzliche Regel, die ohne Zusammenhang gelernt werden muss.

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8. Sachaufgaben

Leiter an einer Wand

Eine Leiter ist (5,\mathrm{m}) lang. Ihr Fuß steht (3,\mathrm{m}) von der Wand entfernt. Wand und Boden bilden einen rechten Winkel. Die Leiter ist die Hypotenuse, gesucht ist die Höhe (h):

$$h^2+3^2=5^2$$ $$h^2+9=25 \qquad /-9$$ $$h^2=16$$ $$\boxed{h=4\,\mathrm{m}}.$$

Abstand zweier Punkte

Von einem Punkt geht man (6,\mathrm{m}) waagrecht und danach (8,\mathrm{m}) senkrecht. Der direkte Abstand (s) bildet die Hypotenuse:

$$s=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\,\mathrm{m}.$$

Bildschirmdiagonale

Breite und Höhe eines rechteckigen Bildschirms bilden mit der Diagonale ein rechtwinkeliges Dreieck. Achte darauf, dass alle Angaben dieselbe Einheit besitzen.

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9. Die Umkehrung als Kontrolle

Kennst du alle drei Seiten eines Dreiecks, ordnest du die längste Seite als (c) ein. Wenn

$$a^2+b^2=c^2$$

erfüllt ist, ist das Dreieck rechtwinkelig.

Bei den Seiten (5), (12) und (13) ist (13) die längste Seite:

$$5^2+12^2=25+144=169$$

und

$$13^2=169.$$

Das Dreieck ist daher rechtwinkelig.

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10. Typische Fehler

• Falsche Hypotenuse: Suche zuerst den rechten Winkel. Gegenüber liegt die Hypotenuse.
• Kein rechter Winkel: Pythagoras darf nicht in jedem Dreieck verwendet werden.
• Wurzel vergessen: Aus ($c^{2}$=25) folgt für die Länge (c=5), nicht (c=25).
• Bei einer Kathete addiert: Für eine Kathete wird ein Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat subtrahiert.
• Quadrate falsch berechnet: ($6^{2}$=36), nicht (12).
• Einheit vergessen: Das Endergebnis einer Länge braucht eine Längeneinheit.
• Zu früh gerundet: Bewahre den genauen Rechnerwert möglichst bis zum letzten Schritt auf.

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11. Merkkasten

1. Rechten Winkel suchen.
2. Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel markieren.
3. Katheten und Hypotenuse passend einsetzen.
4. Quadrate berechnen und Gleichung lösen.
5. Bei einer Länge die positive Wurzel verwenden.
6. Ergebnis mit Einheit und Plausibilitätskontrolle angeben.

$$\boxed{a^2+b^2=c^2}$$