Ebenen in $R^3$

Kompetenzcode: AG 3.6

Eine Ebene ist eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum.

Um eine Ebene eindeutig festzulegen, benötigen wir genügend Informationen über

• einen Punkt der Ebene,
• ihre Richtungen,
• oder einen Vektor, der senkrecht auf ihr steht.

In diesem Kapitel lernst du drei wichtige Darstellungen kennen:

1. die Parameterdarstellung,
2. die Normalvektorform,
3. die Koordinatenform.

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1. Parameterdarstellung einer Ebene

Eine Ebene kann in der Form

$$\boxed{ E: \vec x = \vec p + r\vec u + s\vec v }$$

beschrieben werden.

Dabei ist

$$\vec p$$

der Stützvektor.

Die Vektoren

$$\vec u \quad\text{und}\quad \vec v$$

sind die Spannvektoren.

Die Zahlen

$$r,s\in\mathbb R$$

heißen Parameter.

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2. Bedeutung der Parameterdarstellung

Der Stützvektor führt vom Ursprung zu einem Punkt der Ebene.

Von diesem Punkt aus kann man sich in zwei verschiedenen Richtungen innerhalb der Ebene bewegen.

Diese Richtungen geben die beiden Spannvektoren an.

Durch verschiedene Werte von $r$ und $s$ erreicht man sämtliche Punkte der Ebene.

Merke:
Stützvektor $\rightarrow$ Wo liegt die Ebene?
Spannvektoren $\rightarrow$ In welche Richtungen verläuft sie?

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3. Parameterdarstellung erkennen

Betrachten wir:

$$E: \vec x = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}.$$

Diese Gleichung besitzt genau die typische Struktur

$$\vec x = \vec p+r\vec u+s\vec v.$$

Damit handelt es sich um eine Parameterdarstellung einer Ebene.

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4. Stütz- und Spannvektoren ablesen

Aus

$$E: \vec x = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$$

lesen wir ab:

$$\boxed{ \vec p= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} }$$ $$\boxed{ \vec u= \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} }$$

und

$$\boxed{ \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} }.$$

Der Punkt

$$P(1|2|3)$$

liegt damit auf der Ebene.

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5. Warum braucht man zwei Spannvektoren?

Eine Gerade besitzt nur eine Bewegungsrichtung.

Eine Ebene benötigt zwei unabhängige Richtungen.

Die beiden Spannvektoren dürfen daher nicht parallel sein.

Zum Beispiel wären

$$\vec u= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$$

und

$$\vec v= \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 6 \end{pmatrix}$$

ungeeignet.

Denn:

$$\vec v=2\vec u.$$

Beide Vektoren zeigen also in dieselbe Richtung.

Sie spannen keine Ebene auf.

Merke:
Die beiden Spannvektoren müssen linear unabhängig sein.

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6. Ebene aus Punkt und Spannvektoren aufstellen

Gegeben seien

$$P(2|1|-1),$$ $$\vec u= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}$$

und

$$\vec v= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}.$$

Der Ortsvektor des Punktes lautet:

$$\vec p= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}.$$

Wir setzen direkt in die Parameterdarstellung ein:

$$\boxed{ E: \vec x = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} }$$

mit

$$r,s\in\mathbb R.$$

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7. Ebene durch drei Punkte

Eine Ebene kann auch durch drei Punkte bestimmt werden.

Gegeben seien:

$$A(1|0|2),$$ $$B(3|1|2),$$ $$C(2|2|5).$$

Wir verwenden $A$ als Stützpunkt.

Dann benötigen wir zwei Spannvektoren.

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8. Spannvektoren aus drei Punkten bestimmen

Wir bilden:

$$\overrightarrow{AB} = \vec B-\vec A.$$

Damit:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Für den zweiten Spannvektor:

$$\overrightarrow{AC} = \vec C-\vec A.$$

Also:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Damit lautet die Ebene:

$$\boxed{ E: \vec x = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} }$$

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9. Wann bestimmen drei Punkte keine eindeutige Ebene?

Drei Punkte müssen nicht kollinear sein.

Kollinear bedeutet:

Die drei Punkte liegen auf derselben Geraden.

Wenn

$$\overrightarrow{AB}$$

und

$$\overrightarrow{AC}$$

parallel sind, spannen sie keine Ebene auf.

Dann gibt es nicht genau eine Ebene, die durch die drei Punkte festgelegt wird.

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10. Der Normalvektor einer Ebene

Ein Normalvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Wir schreiben:

$$\vec n.$$

Er steht insbesondere senkrecht auf beiden Spannvektoren:

$$\vec n\cdot\vec u=0$$

und

$$\vec n\cdot\vec v=0.$$

Diese Eigenschaft ist entscheidend.

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11. Normalvektor mit dem Kreuzprodukt bestimmen

Sind zwei Spannvektoren gegeben, kann ein Normalvektor mit dem Kreuzprodukt bestimmt werden:

$$\boxed{ \vec n=\vec u\times\vec v }$$

Beispiel:

$$\vec u= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \vec v= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

Dann:

$$\vec n = \vec u\times\vec v.$$

Für

$$\vec u= \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix}, \qquad \vec v= \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix}$$

gilt:

$$\vec u\times\vec v = \begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix}.$$

Einsetzen:

$$\vec n = \begin{pmatrix} 0\cdot1-1\cdot1\\ 1\cdot0-1\cdot1\\ 1\cdot1-0\cdot0 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} }.$$

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12. Normalvektor kontrollieren

Ein Normalvektor muss zu beiden Spannvektoren orthogonal sein.

Wir prüfen:

$$\begin{aligned} \vec n\cdot\vec u &= (-1)\cdot1+(-1)\cdot0+1\cdot1\\ &=0. \end{aligned}$$

Außerdem:

$$\begin{aligned} \vec n\cdot\vec v &= (-1)\cdot0+(-1)\cdot1+1\cdot1\\ &=0. \end{aligned}$$

Damit steht

$$\vec n= \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$$

senkrecht auf beiden Spannvektoren.

Die Kontrolle ist erfolgreich.

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13. Normalvektoren sind nicht eindeutig

Ist

$$\vec n$$

ein Normalvektor, dann ist auch jedes von null verschiedene Vielfache davon ein Normalvektor.

Zum Beispiel:

$$\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$$

und

$$\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ -2 \end{pmatrix}$$

beschreiben dieselbe Normalenrichtung.

Denn:

$$\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ -2 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

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14. Normalvektorform einer Ebene

Ist ein Punkt

$$P$$

der Ebene bekannt und

$$\vec n$$

ein Normalvektor, kann die Ebene geschrieben werden als

$$\boxed{ E: \vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0 }$$

Diese Darstellung heißt Normalvektorform.

Warum?

Für jeden Punkt $X$ der Ebene liegt der Vektor

$$\vec x-\vec p$$

innerhalb der Ebene.

Der Normalvektor steht senkrecht darauf.

Darum ist ihr Skalarprodukt null.

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15. Normalvektorform aufstellen

Gegeben sind:

$$P(2|1|3)$$

und

$$\vec n= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}.$$

Der Stützvektor ist

$$\vec p= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}.$$

Damit:

$$\boxed{ E: \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \left( \vec x- \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} \right) =0 }$$

Das ist bereits eine vollständige Normalvektorform.

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16. Vom Normalvektor zur Koordinatenform

Wir schreiben den allgemeinen Punkt der Ebene als

$$\vec x= \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}.$$

Für unser Beispiel gilt:

$$\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} \right] =0.$$

Zuerst bilden wir die Differenz:

$$\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-2\\ y-1\\ z-3 \end{pmatrix} =0.$$

Skalarprodukt:

$$(x-2)-2(y-1)+3(z-3)=0.$$

Klammern auflösen:

$$x-2-2y+2+3z-9=0.$$

Zusammenfassen:

$$x-2y+3z-9=0.$$

Damit:

$$\boxed{ x-2y+3z=9 }$$

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17. Koordinatenform einer Ebene

Die allgemeine Koordinatenform lautet:

$$\boxed{ E: ax+by+cz=d }$$

Dabei ist

$$\boxed{ \vec n= \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} }$$

ein Normalvektor der Ebene.

Das ist ein sehr wichtiger Zusammenhang.

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18. Normalvektor aus Koordinatenform ablesen

Gegeben:

$$E: 2x-3y+4z=7.$$

Dann kann direkt ein Normalvektor abgelesen werden:

$$\boxed{ \vec n= \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 4 \end{pmatrix} }.$$

Die Koeffizienten vor $x$, $y$ und $z$ bilden die Komponenten des Normalvektors.

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19. Koordinatenform aus Punkt und Normalvektor

Gegeben:

$$P(1|2|-1)$$

und

$$\vec n= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -3 \end{pmatrix}.$$

Zuerst die Normalvektorform:

$$\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -3 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \right] =0.$$

Differenz bilden:

$$\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-1\\ y-2\\ z+1 \end{pmatrix} =0.$$

Skalarprodukt:

$$2(x-1)+(y-2)-3(z+1)=0.$$

Ausmultiplizieren:

$$2x-2+y-2-3z-3=0.$$

Zusammenfassen:

$$2x+y-3z-7=0.$$

Damit:

$$\boxed{ E: 2x+y-3z=7 }$$

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20. Von einer Parameterdarstellung zur Koordinatenform

Gegeben:

$$E: \vec x = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

Wir wollen eine Koordinatenform bestimmen.

Schritt 1: Normalvektor bestimmen

Die Spannvektoren sind:

$$\vec u= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \vec v= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

Ein Normalvektor ist:

$$\vec n = \vec u\times\vec v = \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

Schritt 2: Punkt verwenden

Ein Punkt der Ebene ist:

$$P(1|2|0).$$

Schritt 3: Normalvektorform

$$\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \left[ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \right] =0.$$

Schritt 4: Ausmultiplizieren

$$-(x-1)-(y-2)+z=0.$$

Damit:

$$-x+1-y+2+z=0.$$

Also:

$$-x-y+z+3=0.$$

Eine mögliche Koordinatenform ist:

$$\boxed{ -x-y+z=-3 }$$

oder äquivalent:

$$\boxed{ x+y-z=3. }$$

Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene.

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21. Punktprobe

Mit einer Koordinatenform kann einfach geprüft werden, ob ein Punkt auf der Ebene liegt.

Gegeben:

$$E: x+y-z=3.$$

Prüfen wir

$$P(1|2|0).$$

Einsetzen:

$$1+2-0=3.$$

Die Aussage stimmt.

Daher gilt:

$$\boxed{P\in E}.$$

Prüfen wir

$$Q(0|0|0).$$

Dann:

$$0+0-0=0.$$

Das ist nicht $3$.

Daher:

$$\boxed{Q\notin E}.$$

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22. Die drei Darstellungen im Vergleich

Parameterdarstellung

$$\boxed{ \vec x=\vec p+r\vec u+s\vec v }$$

Sie zeigt besonders gut:

• einen Punkt der Ebene,
• zwei Richtungen innerhalb der Ebene.

Normalvektorform

$$\boxed{ \vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0 }$$

Sie zeigt:

• einen Punkt der Ebene,
• eine Richtung senkrecht zur Ebene.

Koordinatenform

$$\boxed{ ax+by+cz=d }$$

Sie ist besonders praktisch für:

• Punktproben,
• das Ablesen eines Normalvektors,
• weitere algebraische Rechnungen.

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23. Typische Fehler

Fehler 1: Nur einen Spannvektor verwenden

Eine Ebene braucht zwei linear unabhängige Spannvektoren.

Mit nur einem Richtungsvektor erhält man eine Gerade.

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Fehler 2: Parallele Spannvektoren verwenden

Sind

$$\vec v=\lambda\vec u,$$

dann sind die beiden Richtungen nicht unabhängig.

Sie spannen keine Ebene auf.

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Fehler 3: Drei kollineare Punkte verwenden

Liegen drei Punkte auf einer Geraden, liefern die Verbindungsvektoren keine zwei unabhängigen Richtungen.

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Fehler 4: Beim Bilden der Spannvektoren Punkte falsch subtrahieren

Wenn $A$ Stützpunkt ist, kann man beispielsweise verwenden:

$$\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A$$

und

$$\overrightarrow{AC}=\vec C-\vec A.$$

Die Richtung muss konsequent eingehalten werden.

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Fehler 5: Kreuzprodukt und Skalarprodukt verwechseln

Das Kreuzprodukt

$$\vec u\times\vec v$$

liefert einen Vektor.

Das Skalarprodukt

$$\vec u\cdot\vec v$$

liefert eine Zahl.

Für einen Normalvektor aus zwei Spannvektoren benötigen wir das Kreuzprodukt.

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Fehler 6: Normalvektor nicht kontrollieren

Für einen richtigen Normalvektor muss gelten:

$$\vec n\cdot\vec u=0$$

und

$$\vec n\cdot\vec v=0.$$

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Fehler 7: Koeffizienten der Koordinatenform falsch ablesen

Aus

$$2x-3y+4z=7$$

folgt der Normalvektor

$$\begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 4 \end{pmatrix}.$$

Die rechte Seite $7$ gehört nicht zum Normalvektor.

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24. Vorgehensplan: Ebene aus drei Punkten

Gegeben sind drei nicht kollineare Punkte $A,B,C$.

1. Einen Punkt als Stützpunkt wählen.
2. Zwei Verbindungsvektoren bilden.
3. Prüfen, dass die Verbindungsvektoren nicht parallel sind.
4. Stützvektor und beide Spannvektoren in

$$\vec x=\vec p+r\vec u+s\vec v$$

einsetzen.

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25. Vorgehensplan: Normalvektor bestimmen

Sind zwei Spannvektoren gegeben:

1. Spannvektoren sauber abschreiben.
2. Kreuzprodukt bilden:

$$\vec n=\vec u\times\vec v.$$

1. Ergebnis vereinfachen, falls möglich.
2. Kontrolle durchführen:

$$\vec n\cdot\vec u=0,$$ $$\vec n\cdot\vec v=0.$$

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26. Vorgehensplan: Koordinatenform aufstellen

Sind ein Punkt $P$ und ein Normalvektor $\vec n$ bekannt:

1. Normalvektorform schreiben:

$$\vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0.$$

1. Für

$$\vec x= \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$$

einsetzen.

1. Differenzvektor bilden.
2. Skalarprodukt berechnen.
3. Klammern auflösen.
4. Gleichung in die Form

$$ax+by+cz=d$$

bringen.

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27. Zusammenfassung

Parameterform

$$\boxed{ E: \vec x=\vec p+r\vec u+s\vec v }$$

Normalvektor

Für Spannvektoren $\vec u,\vec v$:

$$\boxed{ \vec n=\vec u\times\vec v }$$

und zur Kontrolle:

$$\vec n\cdot\vec u=0, \qquad \vec n\cdot\vec v=0.$$

Normalvektorform

$$\boxed{ E: \vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0 }$$

Koordinatenform

$$\boxed{ E: ax+by+cz=d }$$

mit dem Normalvektor

$$\boxed{ \vec n= \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} }.$$

Merke:
Zwei Spannvektoren liegen in der Ebene.
Ein Normalvektor steht senkrecht auf der Ebene.