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Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Ein Normalvektor steht senkrecht auf einer Geraden und damit auch senkrecht auf jedem Richtungsvektor dieser Geraden.
Arbeitsplan: Ausgangsdarstellung erkennen → Normalvektor bilden oder ablesen → als Koordinatenvektor schreiben → zeilenweise anschreiben → Zielform aufstellen → Ergebnis kontrollieren.
Im Mittelpunkt stehen Normalvektoren in :
So gehst du vor
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
Aus einem Punkt und einem Normalvektor eine Geradengleichung entwickeln.
Notiere und .
Digitales Werkzeug
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
Gib eine Gerade ein, zum Beispiel:
g: 3x - 2y = 7
Öffne anschließend das Kontextmenü der Geradengleichung. Je nach GeoGebra-Oberfläche geschieht das durch Rechtsklick oder über das 3-Punkte-Menü. Wähle dort eine andere Darstellung beziehungsweise Gleichungsform, etwa die Parameterdarstellung.
Kontrolle: In der Parameterdarstellung müssen ein Punkt auf der Geraden und ein Richtungsvektor erkennbar sein.
n = Normalvektor(g)
P = (2, 3)
h = Senkrechte(P, g)
Abstand(P, g)
GeoGebra dient zur Kontrolle. Die Bildung des Normalvektors, das zeilenweise Anschreiben und die Umformungen sollen händisch nachvollzogen werden.
GeoGebra macht in AG 3.5 den rechten Winkel zwischen Richtungs- und Normalvektor sowie die Wirkung verschiedener Geradendarstellungen sichtbar.
Halbebenen und Abstände werden anschließend als Anwendungen eingesetzt. Sie ersetzen nicht das eigenständige Aufstellen und Interpretieren eines Normalvektors.
Nächster Schritt
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Normalform, Koordinatenform und Parameterform werden verwendet, soweit sie das verständige Einsetzen und Interpretieren des Normalvektors unterstützen.
Punktlage in Halbebenen und Punkt-Geraden-Abstand bauen auf dem sicheren Umgang mit Normalvektoren und Geradengleichungen auf und werden anschließend als Anwendungen behandelt.
Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt:
Ist
dann erhält man einen Normalvektor in zwei kurzen Schritten:
Kontrolle:
Merke: Auch jedes von null verschiedene Vielfache von ist wieder ein Normalvektor.
Zu
passen zum Beispiel
Für welchen Wert von ist
ein Normalvektor zu
Zeilenweise gerechnet:
Eine Gerade in Koordinatenform lautet
Die von und bilden einen Normalvektor:
Ein passender Richtungsvektor ist etwa
denn .
Ist ein Punkt auf der Geraden und ein Normalvektor, dann gilt:
Gegeben:
1. und als Koordinatenvektoren schreiben
2. Normalform einsetzen
3. Skalarprodukt ausmultiplizieren
4. Zur Koordinatenform ordnen
Gegeben ist
Normal- und Richtungsvektor:
Für folgt . Daher kann verwendet werden.
Zeilenweises Anschreiben:
Gegeben ist
Ein Normalvektor ist
Zeilenweise lautet die Parameterform
Damit gilt tatsächlich .
Zwei Geraden in Koordinatenform sind parallel, wenn ihre Normalvektoren Vielfache sind.
Die Geraden sind parallel. Da nicht die gesamte mit demselben vervielfacht wurde, sind sie verschieden.
Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Gleichwertig können ihre Normalvektoren mit dem Skalarprodukt geprüft werden.
Die Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Für einen Punkt betrachtet man
Wichtig: Wird die gesamte Geradengleichung mit multipliziert, bleibt die Gerade gleich. Die Bezeichnung der positiven und negativen Seite wechselt jedoch.
Für
und gilt:
Verwende .
Übertrage Koordinaten und Vorzeichen sorgfältig.
Vereinfache zur Koordinatenform.
Bringe die in die Form .
Setze den gegebenen Punkt in die fertige ein.
Kontrolliere die der Koordinatenform.
Zwischen Parameter-, Normal- und Koordinatenform wechseln.
Bestimme, welche Geradendarstellung gegeben ist.
Lies Stützpunkt, Richtungsvektor oder ab.
Wechsle passend zwischen Richtungs- und Normalvektor.
Ermittle bei Koordinatenform einen einfachen Punkt der Geraden.
Schreibe die verlangte -, Normal- oder Koordinatenform.
Ordne und Konstanten korrekt.
Kontrolliere Punkt und Richtungs- beziehungsweise Normalenbeziehung.
Bei $ax+by=c$ den Normalvektor erkennen und einen Richtungsvektor bestimmen.
Bringe die Gerade in die Form .
Bestimme und einschließlich Vorzeichen.
Setze .
Verwende beispielsweise .
Berechne das Skalarprodukt.
Auch horizontale und vertikale Geraden werden korrekt erfasst.
Erkläre, dass der Normalvektor senkrecht zur Geraden zeigt.
Aus einem Richtungsvektor in $\mathbb R^2$ einen orthogonalen Vektor bilden und prüfen.
Notiere beide Komponenten einschließlich ihrer Vorzeichen.
Bilde aus zunächst .
Erhalte beispielsweise oder .
Prüfe, dass der Ausgangsvektor und der Normalvektor nicht null sind.
Kontrolliere, dass das Ergebnis null ist.
Erkenne jedes von null verschiedene Vielfache als weiteren Normalvektor.
Formuliere die Senkrechtstellung.
Punktlagen, Parallelität, Senkrechtstellung, Halbebenen und Abstände untersuchen.
Entscheide zwischen Punktlage, Lagebeziehung, Halbebene oder Abstand.
Lies ihn ab oder bilde ihn aus einem Richtungsvektor.
Nutze Einsetzen, skalare Vielfachheit, Orthogonalität oder Abstandsformel.
Arbeite mit allen Vorzeichen und gegebenen Koordinaten.
Bei Abständen sind Betrag und Länge des Normalvektors erforderlich.
Formuliere Lage, Seite, Parallelität oder Senkrechtstellung.
Vergleiche mit einer Skizze und kontrolliere nichtnegative Abstände.