Dabei gilt:

• $P$ ist ein Punkt auf der Geraden.
• $\vec r$ ist ein Richtungsvektor der Geraden.
• $t\in\mathbb R$ ist ein Parameter.
• $\vec X$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.

Beispiel

Für $t=0$ erhält man den Punkt $P=(2\mid-1)$. Andere Parameterwerte erzeugen weitere Punkte auf derselben Geraden.

Zeilenweises Anschreiben

In $\mathbb R^2$ schreiben wir

Aus

folgt zeilenweise:

Beispiel

wird zu

Merke: In $\mathbb R^3$ kommt eine dritte Zeile für $z$ hinzu.

Parameterfreie Geradengleichungen in $\mathbb R^2$

In der Ebene kann eine Gerade auch ohne Parameter beschrieben werden. Eine allgemeine Form ist

wobei $a$ und $b$ nicht gleichzeitig $0$ sein dürfen.

Beispiele:

Die Gleichung beschreibt genau jene Punkte $(x\mid y)$, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen.

Abgrenzung: Die geometrische Deutung von $(a,b)$ als Normalvektor gehört zu AG 3.5. In AG 3.4 steht die Gerade als Lösungsmenge der Gleichung im Mittelpunkt.

Besondere Formen

Ist $b\neq0$, kann nach $y$ aufgelöst werden:

Diese Form heißt Steigungsform. Dabei ist $k$ die Steigung und $d$ der Abschnitt auf der $y$-Achse.

Vertikale Geraden können nicht als $y=kx+d$ geschrieben werden. Sie besitzen die Form

Horizontale Geraden besitzen die Form

Von der Parameterdarstellung zur parameterfreien Gleichung

Gegeben sei

Zeilenweise:

Der Parameter wird eliminiert. Aus der ersten Gleichung folgt

In die zweite Gleichung eingesetzt:

Nun wird ohne Bruch umgeformt:

Die beiden Darstellungen beschreiben dieselbe Gerade:

und

Sonderfall einer vertikalen Geraden

Hier gilt stets

Die parameterfreie Gleichung lautet daher direkt

Von der parameterfreien Gleichung zur Parameterdarstellung

Gegeben sei

Eine Möglichkeit besteht darin, eine Variable frei zu wählen. Setze

Dann folgt

Damit erhält man

Alternativ können zwei verschiedene Punkte der Gleichung bestimmt und anschließend verbunden werden.

Punktprobe bei einer parameterfreien Gleichung

Für die Gerade

und den Punkt $A=(5\mid1)$ gilt:

Daher liegt $A$ auf $g$.

Für $B=(2\mid1)$ gilt:

Daher liegt $B$ nicht auf $g$.

Merke: Bei einer parameterfreien Gleichung werden die Punktkoordinaten direkt eingesetzt. Es muss kein Parameter bestimmt werden.

Punkte auf einer Geraden erzeugen

Jeder Parameterwert liefert einen Punkt auf der Geraden.

Für

entstehen beispielsweise:

Eine Gerade aus Punkt und Richtung aufstellen

Gegeben seien der Punkt $P=(1\mid4)$ und der Richtungsvektor

Dann lautet die Geradengleichung

Der Richtungsvektor darf durch jedes von null verschiedene Vielfache ersetzt werden. Die Gerade bleibt gleich.

Gerade durch zwei Punkte

Sind zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ gegeben, erhält man einen Richtungsvektor durch

Beispiel

Damit ist beispielsweise

Punktprobe

Bei einer Punktprobe wird der zu prüfende Punkt in $\vec X$ eingesetzt. Danach wird die Gleichung zeilenweise angeschrieben.

Beispiel: Punkt liegt auf der Geraden

Gegeben sind

und $A=(8\mid3)$.

1. Punkt in $\vec X$ einsetzen

2. Zeilenweise anschreiben

3. Parameter bestimmen

Aus beiden Zeilen folgt $t=2$. Daher liegt $A$ auf $g$.

Wichtig: Nur wenn in allen Zeilen derselbe Parameterwert entsteht, liegt der Punkt auf der Geraden.

Lagebeziehungen zweier Geraden

Die möglichen Lagefälle hängen von der Raumdimension ab.

In $\mathbb R^2$

Zwei Geraden sind genau in einem der drei Lagefälle:

1. schneidend: genau ein gemeinsamer Punkt,
2. echt parallel: kein gemeinsamer Punkt und parallele Richtungen,
3. identisch: unendlich viele gemeinsame Punkte.

Sind die Richtungsvektoren in $\mathbb R^2$ nicht parallel, schneiden sich die Geraden immer.

In $\mathbb R^3$

Zwei Geraden sind genau in einem der vier Lagefälle:

1. schneidend: genau ein gemeinsamer Punkt,
2. echt parallel: parallele Richtungen, aber kein gemeinsamer Punkt,
3. identisch: parallele Richtungen und unendlich viele gemeinsame Punkte,
4. windschief: nicht parallele Richtungen und kein gemeinsamer Punkt.

Entscheidungsweg für zwei Geraden

Gegeben sind

Schritt 1: Richtungsvektoren vergleichen

Prüfe, ob es eine Zahl $\lambda\neq0$ gibt mit

Richtungsvektoren sind parallel

Dann sind die Geraden entweder identisch oder echt parallel.

Führe eine Punktprobe mit $Q$ auf $g$ durch:

• $Q\in g$: Die Geraden sind identisch.
• $Q\notin g$: Die Geraden sind echt parallel.

Richtungsvektoren sind nicht parallel

Dann werden die Geraden gleichgesetzt:

• In $\mathbb R^2$ besitzt das entstehende System genau eine Lösung. Die Geraden schneiden sich.
• In $\mathbb R^3$ muss das System aus drei Koordinatengleichungen geprüft werden:
  • alle drei Gleichungen sind mit denselben Werten $s,t$ erfüllt: schneidend,
  • die Gleichungen sind widersprüchlich: windschief.

Zentrale Unterscheidung in $\mathbb R^3$: Nicht parallele Richtungsvektoren bedeuten noch nicht automatisch, dass sich die Geraden schneiden.

Beispiel in $\mathbb R^3$: schneidende Geraden

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel. Gleichsetzen liefert:

Aus den ersten beiden Gleichungen folgt

Auch die dritte Gleichung ist erfüllt:

Daher schneiden sich die Geraden im Punkt

Beispiel in $\mathbb R^3$: windschiefe Geraden

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel. Gleichsetzen ergibt:

Die dritte Gleichung ist ein Widerspruch. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt.

Da die Geraden außerdem nicht parallel sind, sind sie windschief.

Lagefälle sicher dokumentieren

Eine vollständige Begründung enthält:

1. Vergleich der Richtungsvektoren,
2. bei parallelen Richtungen eine Punktprobe,
3. bei nicht parallelen Richtungen in $\mathbb R^3$ die Kontrolle aller drei Koordinatengleichungen,
4. den eindeutig benannten Lagefall,
5. bei schneidenden Geraden den kontrollierten Schnittpunkt.

Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt bedeutet Gleichsetzen.

In $\mathbb R^3$ müssen nach dem Lösen alle drei Koordinatengleichungen erfüllt sein. Andernfalls liegt kein Schnittpunkt vor.

Für einen gemeinsamen Punkt gilt

Danach wird zeilenweise angeschrieben.

Ausführliches Beispiel

1. Gleichsetzen

2. Zeilenweise anschreiben

Aus der zweiten Zeile folgt

Einsetzen in die erste Zeile:

3. Schnittpunkt berechnen

Also ist

GeoGebra

In GeoGebra kann die Darstellung einer Geraden über das Kontextmenü geändert werden. Je nach Oberfläche öffnet man es mit Rechtsklick auf die Geradengleichung oder über das 3-Punkte-Menü und wählt anschließend die Parameterdarstellung.

Typische Fehler

Punkt und Richtungsvektor vertauschen

Der Punkt $P$ legt die Lage der Geraden fest. Der Richtungsvektor $\vec r$ beschreibt ihre Richtung.

$\vec X$ nicht als Koordinatenvektor schreiben

Für das zeilenweise Anschreiben muss in $\mathbb R^2$ gelten:

Bei der Punktprobe unterschiedliche Parameter akzeptieren

Ein Punkt liegt nur dann auf der Geraden, wenn in allen Zeilen derselbe Parameterwert entsteht.

Beim Schnittpunkt nicht gleichsetzen

Zwei Geraden besitzen am Schnittpunkt denselben Ortsvektor. Deshalb werden ihre rechten Seiten gleichgesetzt.

Parallel und identisch verwechseln

Parallele Richtungsvektoren reichen nicht aus. Erst eine zusätzliche Punktprobe entscheidet zwischen parallel und identisch.

In $\mathbb R^2$ nur die Parameterdarstellung kennen

In der Ebene muss eine Gerade auch durch eine parameterfreie Gleichung wie $ax+by=c$, $y=kx+d$ oder $x=c$ angegeben und interpretiert werden können.

Vertikale Geraden fälschlich als $y=kx+d$ schreiben

Eine vertikale Gerade besitzt keine endliche Steigung und wird als $x=c$ angegeben.

In $\mathbb R^3$ „nicht parallel“ mit „schneidend“ verwechseln

Nicht parallele Geraden können im Raum windschief sein. Deshalb müssen alle drei Koordinatengleichungen gemeinsam erfüllt sein.

Nur zwei der drei Koordinatengleichungen prüfen

Zwei berechnete Parameterwerte genügen nicht. Die dritte Gleichung entscheidet häufig zwischen schneidend und windschief.

Zusammenfassung

• Eine Gerade wird als $g:\vec X=\vec P+t\vec r$ dargestellt.
• $P$ ist ein Punkt auf der Geraden, $\vec r$ ihr Richtungsvektor und $t$ ein Parameter.
• In $\mathbb R^2$ wird $\vec X=(x,y)$ geschrieben und anschließend zeilenweise angeschrieben.
• Bei der Punktprobe wird der Punkt in $\vec X$ eingesetzt.
• Für die Lagebeziehung werden zuerst die Richtungsvektoren verglichen.
• Bei parallelen Richtungsvektoren entscheidet eine Punktprobe zwischen parallel und identisch.
• In $\mathbb R^2$ können Geraden auch parameterfrei als $ax+by=c$, bei nicht vertikalen Geraden als $y=kx+d$, beschrieben werden.
• Parameterdarstellung und parameterfreie Gleichung können durch Eliminieren beziehungsweise Einführen eines Parameters ineinander überführt werden.
• In $\mathbb R^2$ gibt es schneidende, echt parallele und identische Geraden.
• In $\mathbb R^3$ kommt der windschiefe Lagefall hinzu.
• Bei parallelen Richtungsvektoren entscheidet eine Punktprobe zwischen echt parallel und identisch.
• Bei nicht parallelen Geraden in $\mathbb R^3$ müssen alle drei Koordinatengleichungen erfüllt sein; sonst sind die Geraden windschief.
• Ein berechneter Schnittpunkt wird in beide Geraden eingesetzt.

Beispiel:

g: 2x - 3y = 7

Prüfpunkte:

A = (5,1)
B = (2,1)

Mit

Relation(A,g)
Relation(B,g)

kann kontrolliert werden, ob die Punkte auf der Geraden liegen.

2. Dieselbe Gerade aus zwei Punkten

A = (2,-1)
B = (5,1)
h = Line(A,B)

Die Geraden $g$ und $h$ sollten deckungsgleich dargestellt werden.

3. Vertikale Gerade

v: x = 4

Diese Gerade kann nicht als $y=kx+d$ geschrieben werden.

4. Geraden in $\mathbb R^3$

In der 3D-Ansicht:

g = Line((0,0,0),(1,0,0))
h = Line((0,1,1),(0,2,1))

Die Geraden sind nicht parallel und besitzen keinen Schnittpunkt. Sie sind windschief.

Ein schneidendes Beispiel:

p = Line((1,0,2),(4,6,-1))
q = Line((4,6,-1),(6,5,0))

Beide Geraden enthalten den Punkt $(4,6,-1)$.

5. Mathematische Kontrolle

GeoGebra ersetzt nicht:

1. den Vergleich der Richtungsvektoren,
2. die Punktprobe bei parallelen Richtungen,
3. das vollständige Gleichungssystem in $\mathbb R^3$,
4. die Kontrolle aller drei Koordinatengleichungen,
5. die eindeutige Benennung des Lagefalls.

Wichtig: In $\mathbb R^3$ bedeutet „nicht parallel“ nicht automatisch „schneidend“.