Mit Vektoren kann man rechnen - aber nicht jede Rechenoperation liefert wieder einen Vektor. Deshalb wird zuerst geklärt, welche Größen zusammenpassen und welche Art von Ergebnis zu erwarten ist.
Arbeitsplan: Dimension prüfen → Rechenart wählen → zeilenweise rechnen → Ergebnisart kontrollieren → geometrisch oder im Kontext deuten.
Orientierung im Themenverbund
Rechenoperationen im Mittelpunkt
Zum Kern gehören die Definitionen und die verständige Verwendung von
Addition von Vektoren,
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar,
Skalarprodukt,
geometrischer Deutung dieser Operationen.
Die Subtraktion wird als Addition des Gegenvektors verwendet. Für die geometrische Deutung des Skalarprodukts steht besonders der Spezialfall
a
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AG 3.3 – Parallelität von Vektoren prüfen
Durch einen gemeinsamen Skalarfaktor entscheiden, ob zwei Vektoren parallel sind.
1
Nullvektoren erkennen
Prüfe, ob einer der Vektoren der Nullvektor ist und kläre die verwendete Definition.
2
Faktor aus einer Komponente bestimmen
Berechne einen möglichen Skalar aus einer geeigneten Komponentenbeziehung.
3
Faktor an allen Komponenten prüfen
Derselbe muss jede Komponente korrekt abbilden.
4
Parallelität entscheiden
Formuliere, ob eine skalare Vielfachheit vorliegt.
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra-Übersicht zu Rechenoperationen mit Vektoren
GeoGebra kann Vektoroperationen berechnen und geometrisch darstellen. Die zugrunde liegenden komponentenweisen Definitionen sollen vorher händisch verstanden werden.
1. Vektoren definieren
u = Vektor((3, -2))
v = Vektor((-1, 5))
Für Raumvektoren:
u = Vektor((2, -1, 3))
v = Vektor((4, 5, -2))
Benötigte Ansicht
Grafik-Ansicht beziehungsweise 3D-Grafik-Ansicht.
2. Vektoren addieren
u + v
GeoGebra berechnet die Summe komponentenweise.
3. Vektoren subtrahieren
u - v
4. Mit einem Skalar multiplizieren
-2u
Die Grafik zeigt die veränderte Länge und bei negativem die umgekehrte Orientierung.
5. Skalarprodukt berechnen
Befehl
Skalarprodukt(<Vektor>, <Vektor>)
Beispiel
Skalarprodukt(u, v)
Verwendung
Liefert eine Zahl. Ein Ergebnis von null weist bei von null verschiedenen Vektoren auf Orthogonalität hin.
Benötigte Ansicht
Algebra-Ansicht oder CAS-Ansicht.
6. Winkel zwischen Vektoren
Befehl
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
im Mittelpunkt: Die beiden von null verschiedenen Vektoren sind dann orthogonal.
Weitere Vektoreigenschaften
Parallelitätskriterium, Vektorlänge und die allgemeine Winkelberechnung werden nach den drei grundlegenden Rechenoperationen behandelt und daran angeknüpft.
Voraussetzungen für Rechenoperationen
Vektoren können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleich viele Komponenten besitzen.
a∈R2,b∈R2⟹a+b∈R2.
Dagegen ist
a∈R2,c∈R3⟹a+c
nicht definiert.
Für das Skalarprodukt müssen die beiden Vektoren ebenfalls dieselbe Anzahl an Komponenten besitzen. Bei der Multiplikation mit einer Zahl bleibt die Dimension des Vektors unverändert.
Merke: Vor dem Rechnen zuerst die Anzahl der Komponenten vergleichen.
Addition von Vektoren
Vektoren werden komponentenweise addiert:
(a1a2)+(b1b2)=(a1+b1a2+b
Beispiel 1
a=(32),b=(−14)
a+b=(3+(−1)2+4)=(26).
Beispiel 2
(−25)+(4−3)=(−2+45+(−3))=(22).
Dreieckregel
Der zweite Pfeil wird so verschoben, dass sein Anfang an der Spitze des ersten Pfeils liegt. Der Summenvektor führt vom Anfang des ersten zum Ende des zweiten Pfeils.
PQ+QR=PR.
Parallelogrammregel
Beginnen beide Pfeile im selben Punkt, ergänzt man sie zu einem Parallelogramm. Die Diagonale vom gemeinsamen Anfangspunkt ist der Summenvektor.
Kontrolle: Die Komponentenrechnung und die Zeichnung müssen denselben Summenvektor ergeben.
Subtraktion von Vektoren
Bei der Subtraktion werden die entsprechenden Komponenten voneinander abgezogen:
(a1a2)−(b
Der Vektor −b heißt Gegenvektor zu b. Er besitzt dieselbe Länge, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.
Beispiel
a=(5−1),b=(23)
a−b=(5−2−1−3)=(3−4).
Als Addition des Gegenvektors:
a−b=(5−1)+(−2−3)=(3−4).
Multiplikation mit einem Skalar
Eine reelle Zahl λ heißt in diesem Zusammenhang Skalar. Jede Komponente wird mit λ multipliziert:
λ(v1v2)=(λv1λv2).
Für λ>0 bleibt die Orientierung erhalten.
Für λ<0 kehrt sich die Orientierung um.
Für λ=0 entsteht der Nullvektor.
Beispiel 1
v=(2−3)
3v=3(2−3)=(6−9).
Beispiel 2
w=(−46)
−21w=−21(−46)=(2−3).
Parallele Vektoren
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:
a=λb(λ=0).
Beispiel mit bekannten Koordinaten
a=(6−9),b=(2−3).
Der muss in beiden Zeilen gleich sein:
λ=26÷2=3,λ=−3−9÷(−3)=3.
Damit gilt:
a=3b.
Die Vektoren sind parallel.
Beispiel mit fehlender Koordinate
Gegeben sind
a=(x6),b=(2−3).
Für parallele Vektoren gilt a=λb. Zeilenweise angeschrieben:
x6=2λ,=−3λ.
Zuerst wird die vollständig bekannte Zeile verwendet:
6=−3λ⟹λ=−2.
Dann folgt aus der ersten Zeile:
x=2⋅(−2)=−4.
Somit ist
a=(−46)=−2b.
Wichtig: Ein einziger gemeinsamer Faktor muss zu allen Komponenten passen.
Skalarprodukt
Orthogonalität mit dem Skalarprodukt erkennen
Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt:
a⋅b=0⟺a⊥b.
Damit wird das Skalarprodukt nicht nur berechnet, sondern auch geometrisch gedeutet. Dieser Spezialfall ist der zentrale geometrische Einsatz des Skalarprodukts in AG 3.3.
Beim Skalarprodukt werden die Komponenten in derselben Zeile miteinander multipliziert. Danach werden diese Produkte addiert. Das Ergebnis ist eine Zahl und kein Vektor.
(a1a2)⋅(b1b2)=a1b1+a2b2.
Beispiel 1
a=(23),b=(4−1)
a⋅b=2⋅4+3⋅(−1)=8−3=5.
Beispiel 2: Gesamtumsatz
Die verkauften Stückzahlen seien
a=(14055)
für Brötchen und Brezeln. Die Verkaufspreise pro Stück seien
b=(0,801,20) Euro.
Dann ergibt das Skalarprodukt den Gesamtumsatz:
a⋅b=140⋅0,80+55⋅1,20=112+66=178 Euro.
Merke: Das Skalarprodukt verbindet zwei gleich lange Zahlenlisten zu einer einzigen Zahl.
Länge eines Vektors
Die Länge eines Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras:
∥v∥=v12+v22.
In R3 gilt entsprechend:
∥v∥=v12+v22+v32.
Beispiel
v=(34)
∥v∥=32+42=9+16=25=5.
Winkel zwischen zwei Vektoren
Für zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren gilt:
cos(α)=∥a∥⋅ba⋅b.
Ausführliches Beispiel
Gegeben sind
a=(12),b=(21).
1. Skalarprodukt berechnen
a⋅b=1⋅2+2⋅1=4.
2. Längen berechnen
∥a∥=12+22=5,
b=22+12=5.
3. In die Winkelformel einsetzen
cos(α)=5⋅54=54.
4. Umkehrfunktion verwenden
α=arccos(54)≈36,87∘.
Taschenrechner: Bei Winkelaufgaben den Gradmodus kontrollieren.
Typische Fehler
Vektoren mit unterschiedlicher Dimension addieren
Ein Vektor aus R2 kann nicht mit einem Vektor aus R3 addiert werden.
Nicht zeilenweise rechnen
Bei Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation und Skalarprodukt gehören immer die Komponenten derselben Position zusammen.
Beim Skalarprodukt einen Vektor als Ergebnis angeben
Das Skalarprodukt liefert eine Zahl:
a⋅b∈R.
Bei Parallelität verschiedene Faktoren verwenden
Es muss in jeder Zeile derselbe Faktor λ entstehen.
Bei der Winkelberechnung zu früh runden
Skalarprodukt und Längen zunächst exakt berechnen und erst beim Endergebnis runden.
Zusammenfassung
Addition und Subtraktion sind nur bei gleicher Dimension möglich.
Vektoren werden komponentenweise addiert und subtrahiert.
Subtraktion ist Addition des Gegenvektors.
Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente mit derselben Zahl multipliziert.
Parallele Vektoren sind Vielfache voneinander.
Beim Skalarprodukt werden Zeilenprodukte addiert; das Ergebnis ist eine Zahl.
Die Vektorlänge folgt aus dem Satz des Pythagoras.
Winkel werden über Skalarprodukt und Vektorlängen berechnet.
b=λa
AG 3.3 – Skalarprodukt und Orthogonalität untersuchen
Das Skalarprodukt berechnen und Winkelart oder Orthogonalität daraus ableiten.
1
Dimensionen prüfen
Beide Vektoren müssen dieselbe Dimension besitzen.
2
Komponentenprodukte bilden
Multipliziere entsprechende Komponenten.
3
Produkte addieren
Addiere alle Komponentenprodukte zu einer Zahl.
4
Ergebnistyp prüfen
Notiere das Skalarprodukt als Skalar, nicht als Vektor.
5
Vorzeichen deuten
Ordne spitzen, rechten oder stumpfen Winkel zu.
6
Orthogonalität entscheiden
Bei Ergebnis null und von null verschiedenen Vektoren liegt ein rechter Winkel vor.
7
Optional Winkel berechnen
Verwende Längen und Kosinusformel, wenn der Winkel verlangt ist.
AG 3.3 – Vektor mit einem Skalar multiplizieren
Einen Vektor skalieren und die Wirkung auf Länge und Orientierung erklären.
1
Skalar identifizieren
Bestimme die Zahl, mit der der Vektor multipliziert wird.
2
Alle Komponenten multiplizieren
Wende den Skalar auf jede Komponente an.
3
Ergebnis notieren
Schreibe den skalierten Vektor korrekt auf.
4
Längenwirkung bestimmen
Multipliziere die ursprüngliche Länge mit dem Betrag des Skalars.
5
Orientierung bestimmen
Prüfe, ob das Vorzeichen die Orientierung umkehrt.
6
Sonderfall null prüfen
Bei Skalar null entsteht der Nullvektor.
7
Geometrisch deuten
Beschreibe Streckung, Stauchung oder Gegenrichtung.
AG 3.3 – Vektoren addieren und subtrahieren
Vektorsummen und -differenzen komponentenweise berechnen und als Gesamtänderung deuten.
1
Dimensionen prüfen
Stelle sicher, dass alle Vektoren gleich viele Komponenten besitzen.
2
Operation ordnen
Beachte Klammern und die Reihenfolge bei Subtraktionen.
3
Erste Komponenten verrechnen
Addiere oder subtrahiere die ersten Komponenten.
4
Weitere Komponenten verrechnen
Führe dieselbe Operation an jeder Position aus.
5
Ergebnis als Vektor notieren
Schreibe die Komponenten in der ursprünglichen Reihenfolge.
6
Geometrisch deuten
Beschreibe Gesamtverschiebung oder Addition des Gegenvektors.
7
Probe durchführen
Kontrolliere die Rechnung durch Rückoperation oder Skizze.
AG 3.3 – Vektoroperation im Kontext deuten
Vektoroperationen als Bewegungen, Änderungen oder physikalische Größen interpretieren.
1
Größen definieren
Ordne jedem Vektor und jeder Komponente eine Bedeutung zu.
2
Passende Operation wählen
Entscheide zwischen Gesamtänderung, Differenz, Skalierung und Skalarprodukt.
3
Rechnung ausführen
Berechne die Operation komponentenweise oder als Skalarprodukt.
4
Ergebnistyp bestimmen
Entscheide, ob ein Vektor oder eine Zahl erwartet wird.
5
Einheit bestimmen
Leite die Einheit aus den beteiligten Größen ab.
6
Sachlich deuten
Formuliere die Bedeutung des Ergebnisses in einem vollständigen Satz.
7
Plausibilität prüfen
Kontrolliere Vorzeichen, Größenordnung und Modellannahmen.
Winkel(<Vektor>, <Vektor>)
Beispiel
Winkel(u, v)
Mathematische Voraussetzung
Für einen sinnvoll bestimmten Winkel müssen beide Vektoren von null verschieden sein.
7. Länge kontrollieren
Länge(u)
Länge(-2u)
Damit lässt sich
∥λu∥=∣λ∣∥u∥
kontrollieren.
8. Parallele Vektoren sichtbar machen
u = Vektor((2, -3))
v = -2u
Die Pfeile sind parallel und entgegengesetzt orientiert.
Übersicht
Ziel
Syntax
Ergebnis
Addition
u + v
Vektor
Subtraktion
u - v
Vektor
Skalarmultiplikation
k u
Vektor
Skalarprodukt
Skalarprodukt(u, v)
Zahl
Winkel
Winkel(u, v)
Winkel
Länge
Länge(u)
nichtnegative Zahl
Wichtig: GeoGebra liefert das Ergebnis. Ob ein Ergebnis als Gesamtverschiebung, Kraftwirkung oder Winkelbeziehung zu deuten ist, muss aus der Aufgabe begründet werden.
Einsatz von GeoGebra im Themenverbund
GeoGebra unterstützt in AG 3.3 vor allem die geometrische Deutung von Addition, Skalarmultiplikation und Skalarprodukt.
Die wichtigste geometrische Kontrolle des Skalarprodukts ist der rechte Winkel bei a⋅b=0. Parallelität, Länge und allgemeine Winkelmessung werden anschließend zur Erweiterung und Kontrolle eingesetzt.
