Ein Punkt beschreibt eine Lage, ein Vektor beschreibt eine gerichtete Veränderung. Dieselben Zahlen können deshalb je nach Schreibweise etwas anderes bedeuten.
Arbeitsplan: Objektart klären → Anfang und Ende festlegen → passende Vektorregel wählen → zeilenweise rechnen → mit einer Skizze prüfen.
Orientierung im Themenverbund
Geometrische Deutung als Ausgangspunkt
Im Mittelpunkt steht die geometrische Deutung von Vektoren:
einen Punkt als Lage im Koordinatensystem verstehen,
den Ortsvektor eines Punktes deuten,
einen Vektor als freien Pfeil mit Richtung, Orientierung und Länge auffassen,
Verbindungsvektoren bestimmen und geometrisch einsetzen,
Anfangs- und Endpunkte aus einer Verschiebung ermitteln,
Punkte, Pfeile und Verschiebungen in R2 und R unterscheiden.
So gehst du vor
Schrittlisten
Öffne die passende Liste und arbeite die Schritte der Reihe nach ab.
AG 3.2 – Anfangs- oder Endpunkt eines Pfeils bestimmen
Aus einem Punkt und einem Vektor den fehlenden Pfeilpunkt berechnen.
1
Gegebene Größen markieren
Kennzeichne Anfangspunkt, Endpunkt und Vektor.
2
Gesuchte Größe festlegen
Entscheide, ob Anfangs- oder Endpunkt fehlt.
3
Grundbeziehung notieren
Verwende B=A+v.
Digitales Werkzeug
GeoGebra
Wichtige Befehle und ihre Verwendung zu diesem Thema.
GeoGebra-Übersicht zur geometrischen Deutung von Vektoren
GeoGebra eignet sich zum Zeichnen von Punkten, Pfeilen, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren sowie zur Kontrolle von Längen und Mittelpunkten.
1. Punkte eingeben
A = (1, -2)
B = (6, 4)
Großbuchstaben erzeugen Punkte in der Grafik-Ansicht.
2. Verbindungsvektor zeichnen
Befehl
Vektor(<Anfangspunkt>, <Endpunkt>)
Beispiel
u = Vektor(A, B)
Verwendung
Zeichnet den Pfeil von A nach B und gibt seine Komponenten in der Algebra-Ansicht aus.
3. Ortsvektor eines Punktes
p = Vektor(B)
Der Pfeil beginnt im Ursprung und endet in .
Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben.
Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
Streckenteilung, Mittelpunkt und Figurenverschiebung bleiben als sinnvolle Anwendungen dieser geometrischen Sichtweise erhalten.
Verbindungen zu den Nachbarthemen
Länge und Parallelität werden hier anschaulich vorbereitet und später rechnerisch weiterverwendet.
Normale Vektoren werden hier erstmals geometrisch sichtbar; das systematische Aufstellen, Einsetzen und Interpretieren folgt in AG 3.5.
Rechenoperationen und das Skalarprodukt werden in AG 3.3 systematisch behandelt.
Punkt, Ortsvektor und freier Pfeil
Der Punkt
P=(3∣2)
bezeichnet einen festen Ort im Koordinatensystem.
Der Ortsvektor
p=OP=(32)
beginnt im Ursprung O und endet im Punkt P.
Ein freier Vektor
v=(32)
kann dagegen an verschiedenen Stellen eingezeichnet werden. Entscheidend sind seine Komponenten, seine Länge und seine Orientierung; der Anfangspunkt ist nicht festgelegt.
Nicht verwechseln:P=(3∣2) ist ein Punkt. p=(32) ist ein Vektor. Die Zahlen stimmen überein, aber die geometrische Bedeutung ist verschieden.
Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten
Der Verbindungsvektor von A nach B beschreibt die Verschiebung vom Anfangspunkt A zum Endpunkt B:
AB=B−A.
Für
A=(a1∣a2),B=(b1∣b2)
gilt daher:
AB=(b1−a1b2−a2).
Beispiel
Gegeben sind
A=(−1∣−1),B=(5∣3).
Zeilenweise gerechnet:
AB=(5−(−1)3−(−1))=(64).
Der Pfeil führt also 6 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben.
Für die Gegenrichtung gilt:
BA=−AB=(−6−4).
Merke: Bei AB wird immer Endpunkt minus Anfangspunkt gerechnet.
Endpunkt oder Anfangspunkt bestimmen
Sind der Anfangspunkt A und der Verschiebungsvektor v bekannt, gilt:
B=A+v.
Beispiel: Endpunkt
A=(−2∣1),v=(5−3).
Zeilenweise:
xB=−2+5=3,
yB=1+(−3)=−2.
Daher:
B=(3∣−2).
Ist stattdessen der Endpunkt gegeben, wird rückwärts gerechnet:
A=B−v.
Probe: Der berechnete Anfangspunkt plus Vektor muss wieder den Endpunkt ergeben.
Streckenteilung im Verhältnis m:n
Ein Teilpunkt wird am verständlichsten über den Verbindungsvektor bestimmt.
Die Strecke von A nach B wird im Verhältnis
m:n
geteilt. Insgesamt besteht sie aus
m+n
gleich großen Teilen.
Allgemeines Vorgehen
Berechne den gesamten Verbindungsvektor:
AB=B−A.
Berechne einen gleich großen Teilschritt:
s=m+n1AB.
Gehe vom Anfangspunkt A aus m Teilschritte:
T=A+ms.
Zusammengefasst:
T=A+m+nm(B−A).
Beispiel: Teilung im Verhältnis 3:5
Gegeben sind:
A=(1∣2),B=(9∣10).
Die Strecke besitzt insgesamt
3+5=8
gleich große Teile.
Zuerst:
AB=(9−110−2)=(88).
Ein Teilschritt ist:
s=81AB=(11).
Der erste Bereich umfasst 3 Teile:
T=A+3s=(12)+3(11)=(45).
Damit ist:
T=(4∣5).
Wichtig: Die Zahlen 3 und 5 zählen gleich große Teilstücke. Sie sind keine Koordinaten.
Mittelpunkt als Sonderfall der Streckenteilung
Beim Mittelpunkt wird die Strecke im Verhältnis
1:1
geteilt. Insgesamt entstehen also 2 gleich große Teile.
Daher gilt:
AB=B−A,
s=21AB,
M=A+s.
Also:
M=A+21(B−A).
Beispiel
A=(2∣−1),B=(8∣5).
Zuerst:
AB=(66).
Der halbe Verbindungsvektor ist:
21AB=(33).
Damit:
M=(2−1)+(33)=(52).
Der Mittelpunkt ist:
M=(5∣2).
Merke: Der bekannte koordinatenweise Mittelwert liefert dasselbe Ergebnis. Der Vektorweg zeigt zusätzlich, warum der Mittelpunkt genau halbwegs liegt.
Länge eines Vektors
Die Komponenten eines Vektors bilden die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Daher folgt aus dem Satz des Pythagoras:
(xy)=x2+y2.
Im Raum gilt:
xyz=x2+y2+z2.
Beispiel
v=(34)
besitzt die Länge:
∥v∥=32+42=5.
Eine Vektorlänge ist niemals negativ.
Parallele Vektoren
Zwei von null verschiedene Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:
b=ka(k=0).
Beispielsweise:
a=(21)⟶⋅33a=(63).
Rückwärts:
(63)⟶:3(21).
Ein negativer kehrt die Orientierung um:
a=(21)⟶⋅(−2)−2a=(−4−2).
Alle diese Pfeile liegen auf parallelen Trägergeraden.
Prüfung: Ein einziger Faktor muss zu allen entsprechenden Komponenten passen.
Normale Vektoren und der Übergang zu AG 3.5
Normale Vektoren stehen im rechten Winkel aufeinander.
Für
v=(ab)
erhält man durch eine Drehung um 90∘ beispielsweise den Normalvektor
n=(−ba).
Ebenso ist
−n=(b−a)
ein Normalvektor.
Beispiel
Zu
v=(42)
passt:
n=(−24).
Auch jedes von null verschiedene Vielfache von n ist normal zu v.
Einordnung: Hier wird die geometrische Grundidee eingeführt. Das Skalarprodukt wird in AG 3.3 behandelt; Normalvektoren werden in AG 3.5 ausführlich vertieft.
Fehlende Koordinate bestimmen
Bei einer fehlenden Koordinate wird zuerst jene Zeile verwendet, die vollständig bekannt ist.
Beispiel: parallele Vektoren
Gegeben sind:
a=(2−3),b=(x12).
Da die Vektoren parallel sein sollen, gilt:
b=ka.
Zuerst die zweite Zeile:
12=k⋅(−3).
Daraus:
k=−4.
Nun die erste Zeile:
x=(−4)⋅2=−8.
Also:
b=(−812).
Beispiel: normaler Vektor
Gegeben ist:
v=(34).
Ein Grundnormalvektor ist:
n0=(−43).
Gesucht ist:
n=(x6)=μn0.
Zuerst die zweite Zeile:
6=μ⋅3.
Daraus:
μ=2.
Nun die erste Zeile:
x=2⋅(−4)=−8.
Figuren verschieben
Wird eine Figur mit einem Vektor v verschoben, erhält jeder Punkt denselben Verschiebungsvektor:
P′=P+v.
Dadurch bleiben Form und Größe der Figur erhalten.
Für die Eckpunkte eines Dreiecks gilt beispielsweise:
A′=A+v,B′=B+v,C′=C+v.
Vektoren im Raum
Im Raum werden drei Komponenten verwendet.
Für
A=(1∣2∣−1),B=(4∣−2∣5)
gilt:
AB=4−1−2−25−(−1)3−46
Die drei Komponenten beschreiben die Veränderung in x-, y- und z-Richtung. Die Regeln für Verbindungsvektoren, Endpunkte und Streckenteilung bleiben gleich.
Typische Fehler
Anfang und Ende vertauschen
Für AB wird B−A gerechnet, nicht A−B.
Punkt und Vektor gleichsetzen
Gleiche Zahlen bedeuten nicht dieselbe Objektart.
Beim Teilpunkt die falsche Zahl von Schritten verwenden
Bei einer Teilung im Verhältnis m:n wird die Strecke zuerst in m+n Teile geteilt. Vom Punkt A aus werden anschließend m Schritte gegangen.
Bei Parallelität verschiedene Faktoren verwenden
Ein gemeinsamer Faktor muss zu allen Komponenten passen.
Einen Normalvektor nicht um 90∘ drehen
Aus (a,b) wird beispielsweise (−b,a), nicht einfach (b,a).
Länge ohne angeben
x2+y2 ist das Längenquadrat. Die Länge ist x2+y2.
Zusammenfassung
Punkte beschreiben Orte, Vektoren beschreiben gerichtete Veränderungen.
Der Ortsvektor führt vom Ursprung zu einem Punkt.
Für den Verbindungsvektor gilt AB=B−A.
Ein Endpunkt entsteht durch B=A+v.
Bei einer Teilung im Verhältnis m:n wird AB in m+ gleiche Schritte zerlegt.
Der Mittelpunkt folgt als Sonderfall aus M=A+21(B−A).
Parallele Vektoren sind Vielfache voneinander.
Normale Vektoren entstehen in R2 durch eine Drehung um 90∘.
Fehlende Koordinaten werden zeilenweise über einen gemeinsamen Faktor bestimmt.
Eine Skizze dient immer als geometrische Kontrolle.
4
Komponenten berechnen
Addiere oder subtrahiere die Komponenten passend.
5
Punkt notieren
Schreibe das Ergebnis in Punktschreibweise.
6
Pfeilrichtung deuten
Kontrolliere die Orientierung des Vektors.
7
Probe durchführen
Berechne den Verbindungsvektor zwischen den erhaltenen Punkten.
AG 3.2 – Geometrische Vektoraufgabe prüfen
Konstruktionen, Mittelpunkte und Verschiebungen rechnerisch und geometrisch kontrollieren.
1
Skizze anfertigen
Zeichne Punkte und Pfeilrichtung grob ein.
2
Vorzeichen vergleichen
Prüfe, ob die berechnete Bewegung zur Skizze passt.
3
Endpunktprobe
Kontrolliere Anfangspunkt plus Vektor gleich Endpunkt.
4
Längenprobe
Vergleiche berechnete Länge mit der Zeichnung und den Koordinatenabständen.
5
Mittelpunktprobe
Prüfe, ob beide Teilvektoren zum Mittelpunkt gleich sind.
6
Objektarten prüfen
Achte auf Punkt- und Vektorschreibweise.
7
Ergebnis deuten
Formuliere die geometrische Aussage vollständig.
AG 3.2 – Länge, Richtung und Orientierung deuten
Einen Vektor geometrisch durch Länge, Richtung und Orientierung beschreiben.
1
Komponenten erfassen
Lies den Vektor vollständig und beachte Vorzeichen.
2
Längenquadrat bilden
Addiere die Quadrate aller Komponenten.
3
Wurzel ziehen
Bestimme die nichtnegative Vektorlänge.
4
Richtung beschreiben
Ordne den Vektor einer parallelen Geradenrichtung zu.
5
Orientierung beschreiben
Erkläre, in welche der beiden Richtungen der Pfeil zeigt.
6
Vielfache vergleichen
Erkenne gleichgerichtete, entgegengesetzte oder nicht parallele Vektoren.
7
Geometrische Aussage formulieren
Fasse Länge, Richtung und Orientierung zusammen.
AG 3.2 – Punkt, Ortsvektor und Pfeil unterscheiden
Geometrische Objekte anhand von Schreibweise, Anfangspunkt und Bedeutung unterscheiden.
1
Schreibweise prüfen
Unterscheide Punktklammern und Vektorschreibweise.
2
Objektart benennen
Entscheide zwischen Punkt, Ortsvektor und Verbindungsvektor.
3
Anfangspunkt bestimmen
Kläre, ob der Ursprung oder ein anderer Punkt der Pfeilanfang ist.
4
Endpunkt bestimmen
Identifiziere die Pfeilspitze beziehungsweise den beschriebenen Punkt.
5
Bedeutung formulieren
Beschreibe Lage oder Verschiebung in Worten.
6
Darstellung kontrollieren
Prüfe, ob Schreibweise und geometrische Bedeutung zusammenpassen.
AG 3.2 – Verbindungsvektor bestimmen
Den Vektor von einem gegebenen Anfangspunkt zu einem Endpunkt in $\mathbb R^2$ oder $\mathbb R^3$ berechnen.
1
Orientierung lesen
Entnimm aus AB den Anfangspunkt A und den Endpunkt B.
2
Koordinaten anordnen
Schreibe die Koordinaten von A und B in derselben Reihenfolge.
3
Erste Differenz bilden
Berechne erste Endkoordinate minus erste Anfangskoordinate.
4
Weitere Differenzen bilden
Berechne die übrigen Komponenten analog.
5
Vektor notieren
Schreibe das Ergebnis als Spaltenvektor.
6
Gegenrichtung prüfen
Kontrolliere, dass BA der Gegenvektor ist.
7
Probe
Addiere den Vektor zu A und prüfe, ob B entsteht.
B
4. Länge bestimmen
Befehl
Länge(<Vektor>)
Beispiel
Länge(u)
Mathematische Voraussetzung
Die Länge beruht auf der euklidischen Längenformel.
5. Mittelpunkt bestimmen
Befehl
Mittelpunkt(<Punkt>, <Punkt>)
Beispiel
M = Mittelpunkt(A, B)
6. Gegenvektor darstellen
v = -u
Der Gegenvektor hat dieselbe Länge und die entgegengesetzte Orientierung.
7. Vektor an anderem Anfangspunkt abtragen
C = (-2, 1)
D = C + u
w = Vektor(C, D)
Damit wird derselbe freie Vektor an einem anderen Anfangspunkt dargestellt.
8. Vektoren im Raum
A = (1, 2, -1)
B = (4, 0, 5)
u = Vektor(A, B)
Länge(u)
Benötigte Ansicht
3D-Grafik-Ansicht.
Übersicht
Ziel
Syntax
Ansicht
Punkte erzeugen
A = (x, y) oder A = (x, y, z)
Grafik/3D
Pfeil von A nach B
Vektor(A, B)
Grafik/3D
Ortsvektor
Vektor(P)
Grafik/3D
Länge
Länge(u)
Algebra/Grafik
Mittelpunkt
Mittelpunkt(A, B)
Grafik/3D
Gegenvektor
-u
Algebra/Grafik
Wichtig: Die Zeichnung unterstützt die Kontrolle. Die Orientierung von AB und die Berechnung Endpunkt minus Anfangspunkt müssen mathematisch verstanden werden.
Einsatz von GeoGebra im Themenverbund
GeoGebra dient in AG 3.2 vor allem dazu, Punkte, Ortsvektoren, freie Pfeile, Verbindungsvektoren und Verschiebungen sichtbar zu machen.
Länge und Parallelität können zur Kontrolle eingeblendet werden. Normale Vektoren bleiben ein kurzer geometrischer Ausblick; die rechnerische und geradenbezogene Vertiefung erfolgt in AG 3.5.
