Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck

Sinus, Cosinus und Tangens verbinden in einem rechtwinkeligen Dreieck einen spitzen Winkel mit den Seitenlängen. Entscheidend ist, dass du die Seiten immer zum betrachteten Winkel benennst.

Arbeitsplan: Skizze → Seiten benennen → passende Funktion wählen → Gleichung aufstellen → umformen → berechnen → Einheit und Probe.

Seiten im rechtwinkeligen Dreieck

Ein rechtwinkeliges Dreieck besitzt einen Winkel von $90^\circ$. Die Seite gegenüber diesem Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite.

Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Ihre genaueren Namen hängen davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest:

• Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.
• Die Ankathete berührt den betrachteten Winkel und ist nicht die Hypotenuse.
• Die Hypotenuse bleibt unabhängig vom betrachteten Winkel dieselbe Seite.

Zuerst beschriften: Markiere vor jeder Rechnung den rechten Winkel, die Hypotenuse und den betrachteten Winkel. Viele Fehler entstehen nur durch vertauschte Seiten.

Der Bezugswinkel entscheidet

Wird statt $\alpha$ der andere spitze Winkel $\beta$ betrachtet, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt unverändert.

Sinus, Cosinus und Tangens

Für einen spitzen Winkel $\alpha$ im rechtwinkeligen Dreieck gelten:

$$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$$ $$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$ $$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$

Beispiel mit einem $6$-$8$-$10$-Dreieck

Zum Winkel $\alpha$ seien die Gegenkathete $6\,\text{cm}$, die Ankathete $8\,\text{cm}$ und die Hypotenuse $10\,\text{cm}$.

$$\sin(\alpha)=\frac{6}{10}=0{,}6$$ $$\cos(\alpha)=\frac{8}{10}=0{,}8$$ $$\tan(\alpha)=\frac{6}{8}=0{,}75$$

Taschenrechner: Stelle den Rechner auf DEG, wenn die Winkel in Grad angegeben sind. Im Modus RAD erhältst du andere Werte.

Die passende Funktion auswählen

Die richtige Funktion hängt davon ab, welche Seiten bekannt und gesucht sind.

1. Bestimme Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse zum gegebenen Winkel.
2. Markiere die bekannte und die gesuchte Seite.
3. Wähle jene Funktion, in der genau diese beiden Seiten vorkommen.

Beispiel

Gegeben sind $\alpha=35^\circ$ und die Hypotenuse $h=12\,\text{cm}$. Gesucht ist die Gegenkathete $g$.

Gegenkathete und Hypotenuse kommen im Sinus vor:

$$\sin(35^\circ)=\frac{g}{12}$$

Nicht raten: Schreibe zuerst das Seitenverhältnis hin. Erst danach setzt du Zahlen ein und formst um.

Eine fehlende Seite berechnen

Gegenkathete gesucht

Gegeben sind $\alpha=35^\circ$ und $h=12\,\text{cm}$.

$$\sin(35^\circ)=\frac{g}{12}$$ $$g=12\sin(35^\circ)\approx6{,}88\,\text{cm}$$

Ankathete gesucht

Gegeben sind $\alpha=52^\circ$ und $h=9\,\text{m}$.

$$\cos(52^\circ)=\frac{a}{9}$$ $$a=9\cos(52^\circ)\approx5{,}54\,\text{m}$$

Hypotenuse gesucht

Gegeben sind $\alpha=28^\circ$ und die Gegenkathete $g=4{,}5\,\text{cm}$.

$$\sin(28^\circ)=\frac{4{,}5}{h}$$ $$h=\frac{4{,}5}{\sin(28^\circ)}\approx9{,}59\,\text{cm}$$

Plausibilitätsprüfung: Die Hypotenuse muss länger sein als jede Kathete. Ein Ergebnis mit $h<g$ oder $h<a$ kann nicht stimmen.

Einen Winkel berechnen

Ist ein Seitenverhältnis bekannt, verwendest du die passende Umkehrfunktion:

$$\alpha=\arcsin(\ldots),\qquad \alpha=\arccos(\ldots),\qquad \alpha=\arctan(\ldots)$$

Am Taschenrechner stehen dafür häufig $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$.

Beispiel mit Sinus

Gegeben sind $g=7\,\text{cm}$ und $h=11\,\text{cm}$.

$$\sin(\alpha)=\frac{7}{11}$$ $$\alpha=\arcsin\left(\frac{7}{11}\right)\approx39{,}5^\circ$$

Beispiel mit Tangens

Gegeben sind $g=5\,\text{m}$ und $a=12\,\text{m}$.

$$\tan(\alpha)=\frac{5}{12}$$ $$\alpha=\arctan\left(\frac{5}{12}\right)\approx22{,}6^\circ$$

Nicht verwechseln: $\sin^{-1}$ bedeutet auf dem Taschenrechner in diesem Zusammenhang die Umkehrfunktion $\arcsin$, nicht den Kehrwert $\frac{1}{\sin}$.

Der zweite spitze Winkel

In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:

$$\alpha+\beta=90^\circ$$

Daher:

$$\beta=90^\circ-\alpha$$

Ein Dreieck vollständig auflösen

Ein Dreieck auflösen bedeutet, alle fehlenden Seiten und Winkel zu bestimmen.

Gegeben sind $h=15\,\text{cm}$ und $\alpha=40^\circ$.

$$g=h\sin(\alpha)=15\sin(40^\circ)\approx9{,}64\,\text{cm}$$ $$a=h\cos(\alpha)=15\cos(40^\circ)\approx11{,}49\,\text{cm}$$ $$\beta=90^\circ-40^\circ=50^\circ$$

Damit sind alle Seiten und Winkel bekannt.

Sachaufgaben

Bei einer Sachaufgabe ist das rechtwinkelige Dreieck oft nicht direkt eingezeichnet. Fertige deshalb zuerst eine Skizze an und übertrage die Größen aus dem Text.

Leiter an einer Wand

Eine $5\,\text{m}$ lange Leiter bildet mit dem Boden einen Winkel von $68^\circ$. Die gesuchte Höhe ist die Gegenkathete, die Leiter die Hypotenuse.

$$h=5\sin(68^\circ)\approx4{,}64\,\text{m}$$

Höhe eines Baumes

Eine Person steht $18\,\text{m}$ von einem Baum entfernt. Der Höhenwinkel zur Baumspitze beträgt $32^\circ$. Die Augenhöhe beträgt $1{,}65\,\text{m}$.

Zuerst wird die Höhe oberhalb der Augen berechnet:

$$\tan(32^\circ)=\frac{h_1}{18}$$ $$h_1=18\tan(32^\circ)\approx11{,}25\,\text{m}$$

Danach wird die Augenhöhe addiert:

$$h\approx11{,}25+1{,}65=12{,}90\,\text{m}$$

Neigungswinkel einer Rampe

Eine Rampe überwindet $0{,}8\,\text{m}$ Höhe auf einer waagerechten Länge von $6\,\text{m}$.

$$\tan(\alpha)=\frac{0{,}8}{6}$$ $$\alpha=\arctan\left(\frac{0{,}8}{6}\right)\approx7{,}6^\circ$$

Kontrollieren und richtig runden

• Rechne möglichst mit ungerundeten Zwischenwerten.
• Runde erst das Endergebnis passend zur Aufgabenstellung.
• Schreibe immer eine passende Einheit dazu.
• Prüfe, ob die Hypotenuse die längste Seite ist.
• Prüfe, ob ein Winkel im rechtwinkeligen Dreieck zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ liegt.
• Vergleiche das Ergebnis mit deiner Skizze und der Sachsituation.

Das solltest du können: Du kannst Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse richtig zuordnen, die passende trigonometrische Funktion wählen und damit fehlende Seiten sowie Winkel in rechtwinkeligen Dreiecken und einfachen Sachaufgaben berechnen.