Sinus und Cosinus lassen sich im rechtwinkeligen Dreieck zunächst nur für spitze Winkel erklären. Für größere Winkel verwenden wir den Einheitskreis. Dort werden Sinus und Cosinus als Koordinaten eines Punktes verstanden.

Arbeitsplan: Quadrant bestimmen → Vorzeichen festlegen → Bezugswinkel oder Taschenrechner verwenden → Ergebnis am Kreis prüfen.

Warum brauchen wir den Einheitskreis?

In einem rechtwinkeligen Dreieck sind die beiden spitzen Winkel kleiner als $90^\circ$. Für Winkel über $90^\circ$, für negative Winkel und für Winkel mit mehreren Umdrehungen benötigen wir eine allgemeinere Definition.

Der Einheitskreis hat:

• den Mittelpunkt $O(0|0)$,
• den Radius $1$,
• eine positive Winkelrichtung gegen den Uhrzeigersinn.

Ein Winkel $\alpha$ beginnt auf der positiven $x$-Achse. Der zugehörige Punkt $P$ liegt auf dem Einheitskreis.

$$P(\alpha)=\bigl(\cos(\alpha)\mid\sin(\alpha)\bigr)$$

Damit gilt:

• $\cos(\alpha)$ ist die $x$-Koordinate des Punktes.
• $\sin(\alpha)$ ist die $y$-Koordinate des Punktes.

Merke: Cosinus bedeutet waagerechte Koordinate, Sinus bedeutet senkrechte Koordinate.

Beispiel: $\alpha=120^\circ$

Der Punkt liegt links von der $y$-Achse und oberhalb der $x$-Achse. Deshalb ist die $x$-Koordinate negativ und die $y$-Koordinate positiv:

$$\cos(120^\circ)<0, \qquad \sin(120^\circ)>0$$

Vorzeichen in den vier Quadranten

Das Vorzeichen von Sinus und Cosinus hängt davon ab, in welchem Quadranten der Kreispunkt liegt.

Warum stimmen diese Vorzeichen?

• Rechts vom Ursprung ist die $x$-Koordinate positiv.
• Links vom Ursprung ist die $x$-Koordinate negativ.
• Oberhalb des Ursprungs ist die $y$-Koordinate positiv.
• Unterhalb des Ursprungs ist die $y$-Koordinate negativ.

Da der Cosinus die $x$-Koordinate und der Sinus die $y$-Koordinate ist, lassen sich die Vorzeichen direkt am Kreis ablesen.

Zuerst den Quadranten bestimmen: Der Bezugswinkel liefert später den Betrag. Das Vorzeichen kommt aus dem Quadranten.

Bezugswinkel verwenden

Der Bezugswinkel $\beta$ ist der spitze Winkel zwischen dem Schenkel des Winkels und der $x$-Achse. Er hilft dabei, bekannte Sinus- und Cosinuswerte aus dem ersten Quadranten zu verwenden.

Zweiter Quadrant

Für $90^\circ<\alpha<180^\circ$ gilt:

$$\beta=180^\circ-\alpha$$ $$\sin(\alpha)=\sin(\beta), \qquad \cos(\alpha)=-\cos(\beta)$$

Dritter Quadrant

Für $180^\circ<\alpha<270^\circ$ gilt:

$$\beta=\alpha-180^\circ$$ $$\sin(\alpha)=-\sin(\beta), \qquad \cos(\alpha)=-\cos(\beta)$$

Vierter Quadrant

Für $270^\circ<\alpha<360^\circ$ gilt:

$$\beta=360^\circ-\alpha$$ $$\sin(\alpha)=-\sin(\beta), \qquad \cos(\alpha)=\cos(\beta)$$

Beispiel: $\alpha=150^\circ$

Der Winkel liegt im zweiten Quadranten. Dort ist Sinus positiv und Cosinus negativ.

$$\beta=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$ $$\sin(150^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$$ $$\cos(150^\circ)=-\cos(30^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Wichtige exakte Werte

Nicht nur auswendig lernen: Bestimme zuerst Quadrant und Bezugswinkel. So kannst du viele Werte aus den bekannten Winkeln $30^\circ$, $45^\circ$ und $60^\circ$ herleiten.

Symmetrien verstehen

Der Einheitskreis zeigt wichtige Zusammenhänge:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$$ $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos(\alpha)$$ $$\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin(\alpha)$$ $$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos(\alpha)$$

Beispiel

Für $\alpha=40^\circ$ gilt:

$$\sin(140^\circ)=\sin(40^\circ)$$ $$\cos(140^\circ)=-\cos(40^\circ)$$

Die beiden Punkte liegen spiegelbildlich zur $y$-Achse. Deshalb bleibt die $y$-Koordinate gleich, während sich das Vorzeichen der $x$-Koordinate ändert.

Mit dem Taschenrechner arbeiten

Für beliebige Winkel kann der Taschenrechner direkt verwendet werden. Stelle ihn dabei auf DEG, wenn die Winkel in Grad angegeben sind.

Koordinaten eines Kreispunktes

Für $\alpha=125^\circ$ gilt:

$$P=\bigl(\cos(125^\circ)\mid\sin(125^\circ)\bigr)$$ $$P\approx(-0{,}574\mid0{,}819)$$

Der Punkt liegt im zweiten Quadranten. Deshalb muss die $x$-Koordinate negativ und die $y$-Koordinate positiv sein.

Winkel aus einer Koordinate bestimmen

Gegeben ist:

$$\sin(\alpha)=0{,}6, \qquad 90^\circ<\alpha<180^\circ$$

Zuerst berechnen wir den spitzen Bezugswinkel:

$$\beta=\arcsin(0{,}6)\approx36{,}87^\circ$$

Der gesuchte Winkel liegt im zweiten Quadranten:

$$\alpha=180^\circ-\beta\approx143{,}13^\circ$$

Mehrere Lösungen sind möglich: Zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ kann derselbe Sinus- oder Cosinuswert zu zwei Winkeln gehören. Der angegebene Quadrant oder Winkelbereich entscheidet.

Periodizität

Nach einer vollen Umdrehung liegt der Kreispunkt wieder an derselben Stelle. Deshalb wiederholen sich Sinus und Cosinus nach $360^\circ$:

$$\sin(\alpha+360^\circ)=\sin(\alpha)$$ $$\cos(\alpha+360^\circ)=\cos(\alpha)$$

Beispiel: $\cos(750^\circ)$

$$750^\circ-720^\circ=30^\circ$$

Daher:

$$\cos(750^\circ)=\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}$$

Auch negative Winkel lassen sich am Kreis darstellen. Ein negativer Winkel wird im Uhrzeigersinn gemessen.

Anwendungen

Punkt auf einem Kreis mit Radius $r$

Bei einem Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt im Ursprung gilt:

$$P=\bigl(r\cos(\alpha)\mid r\sin(\alpha)\bigr)$$

Für $r=5$ und $\alpha=140^\circ$ erhält man:

$$P\approx\bigl(5\cdot(-0{,}766)\mid5\cdot0{,}643\bigr)$$ $$P\approx(-3{,}83\mid3{,}21)$$

Richtung eines Vektors

Ein Vektor mit Länge $12$ zeigt in Richtung $220^\circ$. Seine Komponenten sind:

$$\vec v= \begin{pmatrix} 12\cos(220^\circ)\\ 12\sin(220^\circ) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -9{,}19\\ -7{,}71 \end{pmatrix}$$

Beide Komponenten sind negativ, weil der Winkel im dritten Quadranten liegt.

Grundidentität und Kontrolle

Für jeden Punkt auf dem Einheitskreis gilt:

$$x^2+y^2=1$$

Mit $x=\cos(\alpha)$ und $y=\sin(\alpha)$ folgt:

$$\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$$

Diese Gleichung eignet sich zur Kontrolle und zur Berechnung einer fehlenden Koordinate.

Beispiel

Gegeben ist:

$$\cos(\alpha)=-0{,}6$$

Dann:

$$\sin^2(\alpha)=1-(-0{,}6)^2=0{,}64$$ $$\sin(\alpha)=\pm0{,}8$$

Ohne weitere Angabe sind beide Vorzeichen möglich. Liegt der Winkel im zweiten Quadranten, ist der Sinus positiv:

$$\sin(\alpha)=0{,}8$$

Typische Fehler vermeiden

• Sinus und Cosinus vertauscht: Cosinus ist die $x$-Koordinate, Sinus die $y$-Koordinate.
• Vorzeichen vergessen: Der Bezugswinkel bestimmt nur den Betrag.
• Falscher Taschenrechnermodus: Bei Gradangaben muss der Rechner auf DEG stehen.
• Nur eine mögliche Lösung genannt: Quadrant oder Winkelbereich beachten.
• Unmöglicher Wert: Sinus und Cosinus liegen immer zwischen $-1$ und $1$.
• Winkelrichtung verwechselt: Positive Winkel werden normalerweise gegen den Uhrzeigersinn gemessen.

Das solltest du können: Du kannst Sinus und Cosinus am Einheitskreis deuten, Vorzeichen über die Quadranten bestimmen, Bezugswinkel einsetzen und Koordinaten beziehungsweise Winkel berechnen.