Funktion oder keine Funktion?

Kompetenzcode: FA 1.1
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann.

Kernidee: Eine Zuordnung ist eine Funktion, wenn jede zulässige Eingabe genau einen Ausgang besitzt.

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1. Die Grundidee

Eine Funktion beschreibt eine eindeutige Zuordnung:

$$x \mapsto f(x)$$

• $x$ ist die Eingabe beziehungsweise das Argument.
• $f(x)$ ist der zugehörige Ausgang beziehungsweise Funktionswert.
• $(x\mid f(x))$ ist ein Wertepaar des Graphen.

Eine Funktion muss zwei Bedingungen erfüllen:

1. Jede zulässige Eingabe besitzt einen Ausgang.
2. Keine Eingabe besitzt zwei verschiedene Ausgänge.

Wichtig: Mehrere verschiedene Eingaben dürfen denselben Ausgang besitzen.

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2. Funktion und Nichtfunktion im Vergleich

Funktion

a ───→ 1
b ───→ 1
c ───→ 2

Jeder Eingang besitzt genau einen Pfeil. Dass $a$ und $b$ beide zum Ausgang $1$ führen, ist erlaubt.

Keine Funktion

      ┌──→ 1
a ────┤
      └──→ 2

Der Eingang $a$ besitzt zwei verschiedene Ausgänge. Die Zuordnung ist nicht eindeutig.

Entscheidende Frage: Hat jede einzelne Eingabe genau einen Ausgang?

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3. Mehrere Eingaben dürfen denselben Ausgang haben

Die konstante Funktion

$$f(x)=3$$

ordnet jeder zulässigen Eingabe den Wert $3$ zu.

Das ist eine Funktion. Jede einzelne Eingabe besitzt genau einen Funktionswert.

Auch bei

$$f(x)=x^2$$

gilt beispielsweise

$$f(-2)=4 \qquad\text{und}\qquad f(2)=4.$$

Dass zwei Eingaben denselben Ausgang $4$ haben, verletzt die Funktionsbedingung nicht.

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4. Tabellen und Pfeildiagramme prüfen

Pfeildiagramm

Von jedem Element der Eingabemenge muss genau ein Pfeil ausgehen.

• ein Pfeil: in Ordnung
• zwei oder mehr Pfeile: keine Funktion
• kein Pfeil: auf der angegebenen Eingabemenge keine Funktion

Tabelle

Suche gleiche Eingabewerte.

Funktion

Mehrere Eingaben dürfen denselben Ausgang $4$ besitzen.

Keine Funktion

Zur Eingabe $x=1$ gehören die verschiedenen Ausgänge $4$ und $7$.

Doppelte Tabellenzeile

Die Zeile $(1\mid4)$ steht doppelt in der Tabelle. Das ist überflüssig, aber die Zuordnung bleibt eindeutig und damit funktional.

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5. Graphen mit dem Vertikallinientest prüfen

Der Vertikallinientest gilt nur für grafische Darstellungen im Koordinatensystem:

Schneidet irgendeine senkrechte Linie die dargestellte Kurve mehr als einmal, ist die Darstellung kein Funktionsgraph $x\mapsto y$.

Beispiele

• Eine Parabel $y=x^2$ ist ein Funktionsgraph.
• Die waagrechte Gerade $y=3$ ist ein Funktionsgraph.
• Ein Kreis ist kein Funktionsgraph $x\mapsto y$.

Bei einem Kreis gibt es für viele $x$-Werte einen oberen und einen unteren $y$-Wert. Eine senkrechte Linie schneidet den Kreis daher zweimal.

Nicht verwechseln: Waagrechte Geraden sind Funktionsgraphen. Senkrechte Geraden sind keine Funktionsgraphen $x\mapsto y$.

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6. Formeln und Definitionsbereiche

Eine Formel beschreibt nur dann eine Funktion auf einer angegebenen Eingabemenge, wenn sie für jede zulässige Eingabe genau einen Ausgang liefert.

Eindeutige Formel

$$y=5-x$$

Für jedes reelle $x$ entsteht genau ein Wert $y$. Daher liegt eine Funktion vor.

Nicht eindeutige Beziehung

$$y^2=x$$

Für positive $x$ gibt es im Allgemeinen zwei mögliche Werte:

$$y=\sqrt{x} \qquad\text{oder}\qquad y=-\sqrt{x}.$$

Als Zuordnung $x\mapsto y$ ist diese Beziehung keine Funktion.

Der Definitionsbereich entscheidet mit

$$f(x)=\sqrt{x}$$

ist auf

$$D=[0;\infty)$$

eine Funktion.

Die Aussage „Jeder reellen Zahl wird ihre positive Quadratwurzel zugeordnet“ beschreibt auf $\mathbb{R}$ hingegen keine Funktion, weil negative reelle Zahlen keinen reellen Ausgang besitzen.

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7. Kontexte müssen genau formuliert sein

Bei Alltagssituationen muss klar sein, welche Eingabe und welcher Ausgang betrachtet werden und unter welchen Bedingungen die Zuordnung gilt.

Ohne einen festgelegten Zeitpunkt, Ort oder eine zusätzliche Auswahlregel kann eine Zuordnung mehrdeutig sein.

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8. Typische Fehler

Fehler 1: „Mehrere Eingaben haben denselben Ausgang.“

Das ist erlaubt. Die Funktionen $f(x)=3$ und $f(x)=x^2$ zeigen das deutlich.

Fehler 2: „Jeder Ausgang darf nur einmal vorkommen.“

Falsch. Die Funktionsbedingung betrifft die Eingaben: Jede Eingabe muss genau einen Ausgang besitzen.

Fehler 3: „Eine doppelte Tabellenzeile macht die Zuordnung nichtfunktional.“

Falsch. Dieselbe Eingabe mit demselben Ausgang bleibt eindeutig. Problematisch sind verschiedene Ausgänge zur gleichen Eingabe.

Fehler 4: „Jede gezeichnete Kurve ist ein Funktionsgraph.“

Falsch. Ein Kreis besteht den Vertikallinientest nicht.

Fehler 5: „Die Zuordnung ist meistens eindeutig.“

Das genügt nicht. Sie muss für jede zulässige Eingabe eindeutig und vollständig sein.

Fehler 6: „Der Kontext ist auch ohne genaue Bedingungen eindeutig.“

Zeitpunkt, Ort oder weitere Modellbedingungen können entscheidend sein.

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9. Sichere Vorgehensweise

1. Bestimme die Eingabe.
2. Bestimme die zulässigen Eingaben.
3. Ermittle zu jeder Eingabe alle möglichen Ausgänge.
4. Prüfe, ob jede Eingabe genau einen Ausgang besitzt.
5. Begründe die Entscheidung in einem vollständigen Satz.

Passende Begründungen

Die Zuordnung ist eine Funktion, weil jeder zulässigen Eingabe genau ein Ausgang zugeordnet ist.

Die Zuordnung ist keine Funktion, weil der Eingabe $\ldots$ mehrere verschiedene Ausgänge zugeordnet sind.

Die Zuordnung ist auf der angegebenen Eingabemenge keine Funktion, weil für die Eingabe $\ldots$ kein Ausgang vorhanden ist.

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10. Kurz zusammengefasst

• Eine Funktion ordnet jeder zulässigen Eingabe genau einen Ausgang zu.
• Mehrere Eingaben dürfen denselben Ausgang besitzen.
• Eine Eingabe darf nicht mehrere verschiedene Ausgänge besitzen.
• Auf der angegebenen Definitionsmenge darf keine Eingabe ohne Ausgang bleiben.
• Tabellen, Pfeildiagramme, Formeln, Graphen und Kontexte werden mit demselben Eindeutigkeitskriterium geprüft.
• Der Vertikallinientest wird nur bei Graphen verwendet.

Kern der Kompetenz FA 1.1: Sicher entscheiden und mit der Eindeutigkeit der Zuordnung begründen.