Formeln als Funktionen interpretieren

Kompetenzcode: FA 1.2
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Formeln als Darstellungen von Funktionen lesen, ihre Größen und Parameter deuten und die Formel einem passenden Funktionstyp zuordnen.

Kernidee: Eine Funktionsformel beschreibt, wie aus jeder zulässigen Eingabe eindeutig eine Ausgabe entsteht.

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1. Eine Formel als Zuordnung lesen

Die Schreibweise

$$y=f(x)$$

bedeutet: Zu einer Eingabe $x$ gehört der Funktionswert $f(x)$.

• $x$ ist die unabhängige Größe beziehungsweise Eingabe.
• $f(x)$ ist die abhängige Größe beziehungsweise Ausgabe.
• Die rechte Seite der Formel ist die Zuordnungsvorschrift.
• $(x\mid f(x))$ ist das zugehörige Wertepaar.

Sprechweise: $f(3)=7$ bedeutet: Zur Eingabe $3$ gehört der Funktionswert $7$.

Eine Formel ist daher keine bloße Rechenanweisung. Sie beschreibt eine Abhängigkeit zwischen Größen.

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2. Die Bestandteile einer Formel deuten

Betrachte die Kostenfunktion

$$K(x)=4x+12.$$

Dabei kann gelten:

• $x$: Anzahl der gekauften Stücke
• $K(x)$: Gesamtkosten in Euro
• $4$: Preis pro Stück, also $4\,\text{Euro/Stück}$
• : Fixkosten in Euro

Die Formel liest man im Kontext so:

Die Gesamtkosten bestehen aus vier Euro pro Stück und zwölf Euro Fixkosten.

Funktionswert und Wertepaar

Für fünf Stück gilt

$$K(5)=4\cdot5+12=32.$$

Das bedeutet: Fünf Stück kosten insgesamt $32$ Euro. Das zugehörige Wertepaar lautet $(5\mid32)$.

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3. Variable, Parameter und Konstante unterscheiden

In einer Funktionsfamilie wie

$$f(x)=a\cdot x+b$$

haben die Zeichen verschiedene Rollen.

Wichtig: Ein Parameter ist nicht „für immer konstant“. Er ist innerhalb eines bestimmten Modells fest, kann aber bei einem anderen Modell einen anderen Wert besitzen.

Beispielsweise beschreibt $K(x)=4x+12$ ein konkretes Kostenmodell mit den Parameterwerten $a=4$ und $b=12$.

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4. Den Funktionstyp an der Formel erkennen

Der Funktionstyp hängt davon ab, wo und wie die Variable vorkommt.

Polynomfunktionen

Bei einem Polynom ist der höchste vorkommende ganzzahlige, nichtnegative Exponent entscheidend:

$$f(x)=x^4-2x^2+1$$

ist eine Polynomfunktion vierten Grades.

Konstante Funktion

$$f(x)=7$$

ist eine konstante Funktion. Sie kann zugleich als lineare Funktion mit Steigung $0$ aufgefasst werden.

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5. Parameter im Kontext interpretieren

Lineares Kostenmodell

$$K(x)=12x+50$$

• $12$: variable Kosten pro Stück
• $50$: Fixkosten
• $K(0)=50$: Auch bei null produzierten Stück fallen $50$ Euro an.

Exponentielles Wachstum

$$N(t)=800\cdot1{,}05^t$$

• $800$: Anfangswert $N(0)$
• $1{,}05$: Wachstumsfaktor pro Zeiteinheit
• $5\,\%$: prozentuelle Zunahme pro Zeiteinheit

Nicht verwechseln: Der Faktor ist $1{,}05$, die Wachstumsrate ist $5\,\%$.

Periodisches Modell

$$T(t)=18+4\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)$$

• $18$: Mittellage
• $4$: Amplitude
• $\frac{\pi}{12}$: bestimmt die Periodenlänge

Eine gute Interpretation nennt nicht nur eine Zahl, sondern auch ihre Bedeutung und Einheit.

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6. Definitionsbereich und Kontext beachten

Eine Formel kann mathematisch für mehr Werte definiert sein, als im Sachzusammenhang sinnvoll sind.

Kreisfläche

$$A(r)=\pi r^2$$

Als reine Formel entsteht für jedes reelle $r$ ein Wert. Als Kreisradius sind jedoch nur Werte

$$r\geq0$$

sinnvoll. $A(r)$ ist die Fläche, $r$ die Eingabe.

Indirekte Proportionalität

$$f(x)=\frac{6}{x}$$

Hier muss $x\neq0$ gelten, weil eine Division durch null nicht definiert ist.

Wurzelfunktion

$$f(x)=4\sqrt{x}-2$$

Für reelle Funktionswerte gilt $x\geq0$.

Prüffrage: Welche Eingaben sind durch die Formel ausgeschlossen, und welche zusätzlichen Einschränkungen entstehen durch den Kontext?

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7. Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Die Formel

$$z(x,y)=2x+3y$$

beschreibt eine Funktion mit zwei Eingaben. Zu jedem zulässigen Paar $(x,y)$ gehört genau ein Wert $z(x,y)$.

Sie ist daher nicht einfach eine lineare Funktion einer Veränderlichen. Wird jedoch eine Variable festgehalten, ist der Zusammenhang in der jeweils anderen Variable linear.

Beispiel für $y=4$:

$$z(x,4)=2x+12.$$

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8. Sichere Vorgehensweise

1. Eingabe und Ausgabe benennen. Welche Größe darf verändert werden, welche hängt davon ab?
2. Rollen markieren. Welche Zeichen sind Variable, Parameter oder Konstanten?
3. Einheiten ergänzen. Welche Einheit besitzt jeder Term?
4. Definitionsbereich prüfen. Welche Eingaben sind mathematisch und im Kontext zulässig?
5. Funktionstyp erkennen. Wo steht die Variable und welche höchste Potenz tritt auf?
6. Parameter deuten. Welche Bedeutung besitzen Faktoren, Summanden oder Exponenten?
7. Aussage formulieren. Die Formel in einem vollständigen Satz erklären.

Passende Zielform

$K(x)=4x+12$ ist eine lineare Kostenfunktion. $x$ bezeichnet die Stückzahl, $4$ Euro pro Stück sind die variablen Stückkosten und $12$ Euro sind die Fixkosten.

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9. Typische Fehler

Fehler 1: $f(x)$ als Produkt lesen

$f(x)$ bedeutet „Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$“, nicht $f\cdot x$.

Fehler 2: Jede Formel mit nur einer Variablen für linear halten

$A(r)=\pi r^2$ ist quadratisch, weil $r$ in zweiter Potenz vorkommt.

Fehler 3: Variable und Parameter vertauschen

In $f(x)=a x+b$ ist $x$ die Eingabe. $a$ und $b$ sind im betrachteten Modell fest.

Fehler 4: Exponential- und Potenzfunktion verwechseln

• $x^3$: Variable in der Basis, daher Potenz- beziehungsweise Polynomfunktion
• $3^x$: Variable im Exponenten, daher Exponentialfunktion

Fehler 5: Einheiten ignorieren

Bei $K(x)=4x+12$ müssen sowohl $4x$ als auch $12$ Kosten darstellen. Nur Größen gleicher Art können addiert werden.

Fehler 6: Definitionsbereich vergessen

Bei $6/x$ ist $x=0$ ausgeschlossen; bei $\sqrt{x}$ gilt im Reellen .

Fehler 7: Nur den Funktionstyp nennen

FA 1.2 verlangt auch eine Interpretation der Formel. Eine vollständige Antwort nennt Eingabe, Ausgabe, Parameter, Funktionstyp und gegebenenfalls den Kontext.

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10. Kurz zusammengefasst

• Eine Funktionsformel ordnet jeder zulässigen Eingabe einen Funktionswert zu.
• Variable, Funktionswert, Parameter und Konstanten haben verschiedene Rollen.
• Einheiten helfen, die Bedeutung der Terme zu erkennen und Formeln zu kontrollieren.
• Der Funktionstyp wird daran erkannt, wo und mit welcher Potenz die Variable vorkommt.
• Parameter müssen im Kontext mit Bedeutung und Einheit gedeutet werden.
• Der Definitionsbereich gehört zur Interpretation.

Kern der Kompetenz FA 1.2: Eine Formel nicht nur berechnen, sondern als funktionale Abhängigkeit lesen, erklären und einem Funktionstyp zuordnen.