Zwischen Wertetabelle und Funktionsgraph wechseln

Kompetenzcode: FA 1.3
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können.

Kernidee: Eine Tabellenzeile $(x\mid f(x))$ und ein Punkt im Koordinatensystem beschreiben genau dasselbe Wertepaar.

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1. Dieselbe Funktion in zwei Darstellungen

Eine Wertetabelle zeigt ausgewählte Wertepaare einer Funktion:

Im Koordinatensystem werden daraus die Punkte

$$(-1\mid0),\qquad (0\mid2),\qquad (1\mid4).$$

Die Tabelle und der Graph widersprechen einander nicht. Sie zeigen dieselbe Zuordnung auf unterschiedliche Weise:

• Die Tabelle liefert einzelne Werte übersichtlich und genau.
• Der Graph zeigt Lage, Verlauf und Veränderungen anschaulich.
• Das Wertepaar verbindet beide Darstellungen.

Reihenfolge: Im Punkt $(x\mid f(x))$ steht zuerst die Eingabe $x$, danach der Funktionswert $f(x)$.

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2. Von der Tabelle zum Graphen

Gehe für jede Tabellenzeile gleich vor.

Schritt 1: Wertepaar bilden

Aus

$$x=2,\qquad f(x)=5$$

wird das Wertepaar

$$(2\mid5).$$

Schritt 2: Vom Ursprung aus gehen

• zuerst waagrecht zum $x$-Wert,
• danach senkrecht zum $f(x)$-Wert.

Schritt 3: Punkt markieren

Der Punkt $(2\mid5)$ liegt zwei Einheiten rechts und fünf Einheiten oberhalb des Ursprungs.

Schritt 4: Alle Zeilen übertragen

Erst wenn alle Punkte eingezeichnet sind, wird beurteilt, ob und wie sie verbunden werden dürfen.

Kontrolle: Lies einen eingezeichneten Punkt wieder an beiden Achsen ab. Er muss genau zur ursprünglichen Tabellenzeile passen.

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3. Achsen und Skalierung vorbereiten

Vor dem Einzeichnen müssen beide Achsen eindeutig festgelegt werden.

Waagrechte Achse

Sie zeigt normalerweise die Eingabe beziehungsweise das Argument $x$.

Senkrechte Achse

Sie zeigt den Funktionswert $f(x)$.

Skalierung

Die Abstände müssen zu den vorkommenden Werten passen. Dabei müssen nicht beide Achsen dieselbe Schrittweite besitzen.

Beispiel:

• $x$-Achse: ein Kästchen entspricht $1$ Zeiteinheit,
• $f(x)$-Achse: ein Kästchen entspricht $10$ Euro.

Das ist erlaubt, solange die Skalierung klar beschriftet und gleichmäßig ist.

Einheiten

Bei Sachkontexten gehören Größen und Einheiten an die Achsen, zum Beispiel:

• Zeit $t$ in Stunden,
• Temperatur $T(t)$ in Grad Celsius.

Typischer Fehler: Punkte werden in gleich großen Abständen eingezeichnet, obwohl die $x$-Werte ungleich weit auseinanderliegen.

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4. Punkte verbinden oder einzeln lassen

Nicht jede Punktmenge darf automatisch durch eine Linie verbunden werden.

Kontinuierlicher Zusammenhang

Zwischenwerte sind sinnvoll.

Beispiele:

• Temperatur im Verlauf der Zeit,
• Füllhöhe eines Behälters,
• zurückgelegter Weg.

Hier kann ein zusammenhängender Verlauf sinnvoll sein.

Diskreter Zusammenhang

Nur einzelne Eingaben sind möglich.

Beispiele:

• Anzahl verkaufter Karten pro Tag,
• Zahl der Kinder in einer Familie,
• Ergebnis nach jedem Spieltag.

Hier bleiben die Punkte einzeln.

Entscheidende Frage: Sind auch Eingaben zwischen zwei Tabellenwerten sinnvoll?

Nicht einfach „gerade verbinden“

Selbst bei einem kontinuierlichen Zusammenhang ist nicht automatisch bekannt, ob der tatsächliche Graph zwischen zwei Punkten geradlinig verläuft. Eine Verbindung ist nur dann gerechtfertigt, wenn der Kontext oder eine zusätzliche Information das erlaubt.

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5. Vom Graphen zur Tabelle

Beim Ablesen wird die Richtung umgekehrt.

1. Wähle den gewünschten $x$-Wert auf der waagrechten Achse.
2. Gehe senkrecht bis zum Graphen.
3. Gehe vom Schnittpunkt waagrecht zur senkrechten Achse.
4. Lies den zugehörigen Funktionswert ab.
5. Trage das Wertepaar in die Tabelle ein.

Beispiel:

$$x=3,\qquad f(3)\approx3{,}2.$$

Das zugehörige Wertepaar lautet näherungsweise

$$(3\mid3{,}2).$$

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6. Exakte und näherungsweise Werte unterscheiden

Tabellenwerte können exakt angegeben sein. Aus einem gezeichneten Graphen werden Werte dagegen oft nur näherungsweise abgelesen.

Exakter Wert

Ein markierter Punkt liegt eindeutig auf einem Gitterpunkt:

$$f(2)=4.$$

Näherungswert

Der Graph liegt zwischen zwei Gitterlinien:

$$f(2)\approx4{,}3.$$

Verwende dann das Zeichen

$$\approx$$

und gib nur so viele Dezimalstellen an, wie die Zeichnung erlaubt.

Ablesegenauigkeit: Ein dicker Graph, eine grobe Skalierung oder ein kleines Bild begrenzen die Genauigkeit. Mehr Nachkommastellen machen den Wert nicht genauer.

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7. Werte zwischen Stützpunkten

Eine Tabelle enthält häufig nur ausgewählte Stützpunkte.

Interpolation

Ein Wert wird zwischen bekannten Eingaben geschätzt.

Beispiel: Aus Werten bei $t=2$ und $t=4$ wird ein Wert bei $t=3$ abgeschätzt.

Extrapolation

Ein Wert wird außerhalb des dargestellten oder gemessenen Bereichs geschätzt.

Extrapolation ist riskanter, weil nicht sicher ist, ob der bisherige Verlauf weitergeht.

Wichtig: Aus wenigen Tabellenpunkten ist der genaue Verlauf zwischen den Punkten im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.

Mehrere verschiedene Funktionsgraphen können durch dieselben endlich vielen Punkte verlaufen.

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8. Graphen im Kontext lesen

Eine vollständige Deutung nennt nicht nur Zahlen, sondern auch Bezug und Einheit.

Beispiel:

$$T(6)\approx18.$$

Vollständige Deutung:

Sechs Stunden nach Beginn beträgt die Temperatur ungefähr $18\,^\circ\mathrm{C}$.

Beachte dabei:

• Welche Größe steht auf der $x$-Achse?
• Welche Größe steht auf der $y$-Achse?
• Welche Einheiten werden verwendet?
• Welche Eingaben sind im Kontext zulässig?
• Ist der abgelesene Wert exakt oder näherungsweise?

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9. Typische Fehler

Fehler 1: Koordinaten vertauschen

Aus $x=2$ und $f(x)=5$ wird fälschlich $(5\mid2)$.

Richtig: $(2\mid5)$.

Fehler 2: Ungleichmäßige Werte gleichmäßig verteilen

Die Werte $0$, $1$, $4$, $9$ dürfen auf der Achse nicht in gleichen Abständen stehen.

Fehler 3: Achsen nicht beschriften

Ohne Größe, Einheit und Skalierung ist ein Graph nicht eindeutig lesbar.

Fehler 4: Alle Punkte verbinden

Bei diskreten Eingaben entstehen dadurch nicht vorhandene Zwischenwerte.

Fehler 5: Zu viele Nachkommastellen angeben

Ein grob abgelesener Wert wie $3{,}1736$ täuscht Genauigkeit vor.

Fehler 6: Aus wenigen Punkten einen eindeutigen Verlauf behaupten

Eine Tabelle allein legt den Verlauf zwischen den Stützpunkten nicht immer fest.

Fehler 7: Beim Ablesen waagrecht beginnen

Um $f(3)$ zu bestimmen, beginnt man beim $x$-Wert $3$ und geht zuerst senkrecht zum Graphen.

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10. Sichere Vorgehensweisen

Tabelle → Graph

1. Achsen mit Größen und Einheiten beschriften.
2. Passende gleichmäßige Skalierungen wählen.
3. Jede Tabellenzeile als $(x\mid f(x))$ notieren.
4. Punkte sorgfältig eintragen.
5. Kontext prüfen: verbinden oder einzeln lassen?
6. Punkte durch Rückablesen kontrollieren.

Graph → Tabelle

1. Gewünschte $x$-Werte festlegen.
2. Vom $x$-Wert senkrecht zum Graphen gehen.
3. Waagrecht zur $y$-Achse gehen.
4. Funktionswert ablesen.
5. Exakt oder näherungsweise kennzeichnen.
6. Einheit und Kontext ergänzen.

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11. Kurz zusammengefasst

• Eine Tabellenzeile und ein Punkt beschreiben dasselbe Wertepaar.
• Im Punkt $(x\mid f(x))$ steht zuerst $x$, dann $f(x)$.
• Achsen, Skalierung und Einheiten müssen eindeutig sein.
• Punkte werden nur verbunden, wenn Zwischenwerte im Modell sinnvoll sind.
• Beim Ablesen beginnt man auf der $x$-Achse und geht senkrecht zum Graphen.

Kern der Kompetenz FA 1.3: Informationen sicher zwischen Wertetabelle und Funktionsgraph übertragen und dabei Kontext, Skalierung und Ablesegenauigkeit beachten.