Funktionswerte und Wertepaare sicher ermitteln

Kompetenzcode: FA 1.4
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte beziehungsweise Wertepaare ermitteln und im Kontext deuten können.

Kernidee: $f(a)=b$ bedeutet genau dasselbe wie: Der Punkt $(a\mid b)$ liegt auf dem Graphen von $f$.

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1. Eingabe, Funktionswert und Wertepaar

Eine Funktion ordnet jeder zulässigen Eingabe $x$ genau einen Funktionswert $f(x)$ zu.

$$x\longmapsto f(x)$$

Für eine konkrete Eingabe $a$ gilt:

$$f(a)=b \quad\Longleftrightarrow\quad (a\mid b)\text{ liegt auf dem Graphen von }f.$$

Beispiel:

$$f(4)=11$$

bedeutet gleichzeitig:

• Zur Eingabe $4$ gehört der Funktionswert $11$.
• Das Wertepaar lautet $(4\mid11)$.
• Der Punkt $P(4\mid11)$ liegt auf dem Graphen.

Reihenfolge: Im Wertepaar steht zuerst die Eingabe, danach der Funktionswert.

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2. Funktionsschreibweise richtig lesen

Die Schreibweise

$$f(4)$$

wird „$f$ von $4$“ gelesen. Sie bedeutet nicht $f\cdot4$.

Dabei ist:

• $f$ der Name der Funktion,
• $4$ die eingesetzte Eingabe,
• $f(4)$ der dazugehörige Funktionswert.

Unterscheide sorgfältig:

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3. Funktionswerte aus einer Formel bestimmen

Gegeben sei

$$f(x)=2x+3.$$

Gesucht ist $f(4)$.

Schritt 1: Eingabe einsetzen

Ersetze jedes $x$ durch $4$:

$$f(4)=2\cdot4+3.$$

Schritt 2: Berechnen

$$f(4)=8+3=11.$$

Schritt 3: Wertepaar notieren

$$(4\mid11).$$

Schritt 4: Deuten

Bei der Eingabe $4$ besitzt die Funktion den Funktionswert $11$.

Bei Sachaufgaben gehören Größen und Einheiten in die Deutung.

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4. Negative Eingaben und Klammern

Bei negativen Eingaben muss der eingesetzte Wert in Klammern stehen.

Gegeben:

$$g(x)=x^2-1.$$

Gesucht:

$$g(-3).$$

Richtig:

$$g(-3)=(-3)^2-1=9-1=8.$$

Falsch wäre:

$$-3^2-1=-9-1.$$

Die Klammer zeigt, dass die gesamte Zahl $-3$ quadriert wird.

Sicherheitsregel: Beim Einsetzen wird jedes $x$ vollständig durch den eingesetzten Wert samt Klammern ersetzt.

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5. Vorwärtsfrage und Rückwärtsfrage

Es gibt zwei verschiedene Aufgabenrichtungen.

Vorwärtsfrage

Die Eingabe ist gegeben, der Funktionswert wird gesucht:

$$x=4 \quad\Longrightarrow\quad f(4)=?$$

Dazu setzt man den Wert in die Formel ein oder liest Tabelle beziehungsweise Graph bei $x=4$.

Rückwärtsfrage

Der Funktionswert ist gegeben, passende Eingaben werden gesucht:

$$f(x)=8 \quad\Longrightarrow\quad x=?$$

Dazu löst man eine Gleichung oder sucht in Tabelle beziehungsweise Graph alle Stellen mit der Höhe $8$.

Wichtig: Zu einem Funktionswert können mehrere verschiedene Eingaben gehören.

Beispiel:

$$f(x)=x^2-1,\qquad f(x)=8.$$

Dann gilt

$$x^2-1=8 \quad\Longrightarrow\quad x^2=9 \quad\Longrightarrow\quad x=-3\text{ oder }x=3.$$

Die zugehörigen Wertepaare sind

$$(-3\mid8)\qquad\text{und}\qquad(3\mid8).$$

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6. Werte aus Tabellen ermitteln

Gegeben ist:

Funktionswert gesucht

Für $f(-1)$ suche die Zeile mit $x=-1$:

$$f(-1)=2.$$

Argumentwert gesucht

Für $f(x)=5$ suche alle Zeilen mit Funktionswert $5$:

$$x=-2\quad\text{oder}\quad x=2.$$

Wertepaare bilden

Die Tabelle enthält unter anderem

$$(-2\mid5),\qquad(-1\mid2),\qquad(0\mid1).$$

Nicht nur den ersten Treffer nennen: Bei einer Rückwärtsfrage müssen alle in der Darstellung erkennbaren passenden Eingaben angegeben werden.

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7. Werte aus Graphen ermitteln

Funktionswert $f(a)$ ablesen

1. Beginne beim Wert $a$ auf der waagrechten Achse.
2. Gehe senkrecht bis zum Graphen.
3. Gehe vom Schnittpunkt waagrecht zur senkrechten Achse.
4. Lies den Funktionswert ab.

Argumentwerte zu $f(x)=b$ ablesen

1. Beginne beim Wert $b$ auf der senkrechten Achse.
2. Gehe waagrecht zum Graphen.
3. Gehe von jedem Schnittpunkt senkrecht zur $x$-Achse.
4. Lies alle passenden Argumentwerte ab.

Exakt oder näherungsweise?

Liegt der Punkt eindeutig auf einem markierten Gitterpunkt, kann der Wert exakt angegeben werden:

$$f(2)=5.$$

Wird der Wert aus einer Zeichnung geschätzt, verwende:

$$f(2)\approx5{,}1.$$

Die Skalierung und die Linienstärke begrenzen die Ablesegenauigkeit.

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8. Punkte auf dem Graphen prüfen

Für den Punkt

$$P(a\mid b)$$

gilt:

$$P\text{ liegt auf dem Graphen von }f \quad\Longleftrightarrow\quad f(a)=b.$$

Beispiel:

$$f(x)=2x+3,\qquad P(4\mid11).$$

Probe:

$$f(4)=2\cdot4+3=11.$$

Damit liegt $P(4\mid11)$ auf dem Graphen.

Für $Q(4\mid10)$ gilt dagegen:

$$f(4)=11\neq10.$$

Also liegt $Q$ nicht auf dem Graphen.

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9. Kontext und Einheiten

Eine Zahl allein ist noch keine vollständige Deutung.

Gegeben sei die Kostenfunktion

$$K(x)=4x+12,$$

wobei $x$ die Stückzahl und $K(x)$ die Kosten in Euro bezeichnet.

$$K(5)=4\cdot5+12=32.$$

Vollständige Deutung:

Bei einer Produktion von $5$ Stück betragen die Gesamtkosten $32\,€$.

Beachte:

• Was bedeutet die Eingabe?
• Was bedeutet der Funktionswert?
• Welche Einheit gehört zum Ergebnis?
• Ist die Eingabe im Kontext zulässig?
• Ist der Wert exakt berechnet oder nur abgelesen?

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10. Typische Fehler

Fehler 1: $f(4)$ als Produkt lesen

$f(4)$ bedeutet „Funktionswert bei $x=4$“, nicht $f\cdot4$.

Fehler 2: Koordinaten vertauschen

Aus $f(4)=11$ folgt $(4\mid11)$, nicht $(11\mid4)$.

Fehler 3: Negative Eingabe ohne Klammern einsetzen

Bei $f(-3)$ muss jedes $x$ durch $(-3)$ ersetzt werden.

Fehler 4: Vorwärts- und Rückwärtsfrage verwechseln

• $f(3)$ fragt nach einem Funktionswert.
• $f(x)=3$ fragt nach möglichen Eingaben.

Fehler 5: Bei der Rückwärtsfrage nur eine Lösung nennen

Ein Funktionswert kann an mehreren Stellen auftreten.

Fehler 6: Abgelesene Werte als exakt ausgeben

Bei einer Schätzung aus dem Graphen wird $\approx$ verwendet.

Fehler 7: Kontext und Einheit fehlen

Ein Ergebnis muss als Aussage über die betrachteten Größen formuliert werden.

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11. Sichere Vorgehensweise

1. Bestimme, ob eine Eingabe oder ein Funktionswert gesucht ist.
2. Wähle die passende Leserichtung.
3. Setze in Formeln sorgfältig mit Klammern ein.
4. Lies Tabellen zeilenweise und Graphen achsengerecht.
5. Notiere das Ergebnis als Gleichung und gegebenenfalls als Wertepaar.
6. Prüfe durch Einsetzen oder Rückablesen.
7. Deute den Wert mit Größe, Einheit und Bezug.

Passende Antwortformen

$f(4)=11$. Das zugehörige Wertepaar lautet $(4\mid11)$.

Für $f(x)=8$ sind die Argumentwerte $x=-3$ und $x=3$.

Nach fünf Stunden beträgt die modellierte Temperatur ungefähr $18\,^\circ\mathrm{C}$.

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12. Kurz zusammengefasst

• $f(a)=b$ und $(a\mid b)$ beschreiben dieselbe Zuordnung.
• Für einen Funktionswert wird bei der Eingabe begonnen.
• Für Argumentwerte wird bei der vorgegebenen Höhe begonnen.
• Bei negativen Eingaben sind Klammern entscheidend.
• Ein Funktionswert kann zu mehreren Eingaben gehören.
• Tabellen, Graphen und Formeln müssen dieselben Wertepaare liefern.
• Kontext, Einheit und Ablesegenauigkeit gehören zur vollständigen Antwort.

Kern der Kompetenz FA 1.4: Funktionswerte und Wertepaare aus verschiedenen Darstellungen ermitteln und verständlich deuten.