Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Kompetenzcode: FA 1.8
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine Funktion kann von mehreren Eingabegrößen gleichzeitig abhängen. Entscheidend ist: Zu jeder zulässigen Kombination der Eingaben gehört genau ein Funktionswert.

Kernidee: Bei $f(x,y)$ bestimmen $x$ und $y$ gemeinsam den Wert der Funktion. Ein einzelner Eingabewert reicht daher nicht aus.

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1. Von einer zu mehreren Eingaben

Bei einer Funktion einer Veränderlichen gilt zum Beispiel

$$K(x)=4x+10.$$

Der Funktionswert hängt nur von $x$ ab.

Bei einer Funktion mit zwei Veränderlichen kann gelten

$$K(x,y)=4x+6y+10.$$

Jetzt hängt der Funktionswert von zwei Eingaben ab:

• $x$: Anzahl eines Produkts A
• $y$: Anzahl eines Produkts B
• $K(x,y)$: Gesamtkosten

Die Eingaben bilden ein geordnetes Paar $(x,y)$. Die Reihenfolge ist wichtig:

$$K(2,3)\neq K(3,2)$$

muss im Allgemeinen gelten.

Sprechweise: $K(2,3)=36$ bedeutet: Für $x=2$ und $y=3$ beträgt der Funktionswert $$.

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2. Schreibweisen richtig lesen

Bei drei Eingaben schreibt man zum Beispiel

$$V(a,b,h)=a\cdot b\cdot h.$$

Hier bestimmen $a$, $b$ und $h$ gemeinsam das Volumen $V$.

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3. Veränderliche, Parameter und Konstanten unterscheiden

Betrachte

$$K(x,y)=3x+5y+20.$$

• $x$ und $y$ sind die veränderlichen Eingaben.
• $K(x,y)$ ist die abhängige Ausgabe.
• $3$ und $5$ geben an, wie stark die beiden Eingaben zum Ergebnis beitragen.

In einer allgemeineren Formel

$$K(x,y)=ax+by+c$$

sind $x$ und $y$ die Veränderlichen. Die Größen $a$, $b$ und $c$ sind Parameter: Für ein konkretes Modell werden sie festgelegt.

Nicht verwechseln: Mehrere Buchstaben in einer Formel bedeuten nicht automatisch, dass alle davon verändert werden. Der Kontext legt fest, welche Größen Eingaben und welche Parameter sind.

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4. Funktionswerte sicher berechnen

Gegeben ist

$$K(x,y)=3x+5y+20.$$

Gesucht ist $K(4,2)$.

Schritt 1: Eingaben zuordnen

$$x=4,\qquad y=2$$

Schritt 2: Mit Klammern einsetzen

$$K(4,2)=3\cdot4+5\cdot2+20$$

Schritt 3: Berechnen

$$K(4,2)=12+10+20=42$$

Schritt 4: Im Kontext deuten

Wenn $K$ Kosten in Euro beschreibt, dann betragen die Gesamtkosten für $4$ Stück von A und $2$ Stück von B insgesamt $42$ Euro.

Arbeitsregel: Erst alle Eingaben mit Bedeutung und Einheit notieren, dann einsetzen, berechnen und das Ergebnis in einem vollständigen Satz deuten.

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5. Geometrisches Beispiel: Volumen eines Quaders

Für einen Quader gilt

$$V(a,b,h)=a\cdot b\cdot h.$$

Für

$$a=5\,\text{cm},\qquad b=3\,\text{cm},\qquad h=4\,\text{cm}$$

erhält man

$$V(5,3,4)=5\cdot3\cdot4=60\,\text{cm}^3.$$

Alle drei Längen werden benötigt. Fehlt eine Eingabe, kann der Funktionswert nicht eindeutig bestimmt werden.

Einheitenkontrolle

$$\text{cm}\cdot\text{cm}\cdot\text{cm}=\text{cm}^3.$$

Die Einheiten helfen zu prüfen, ob die Formel und das Ergebnis zur gesuchten Größe passen.

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6. Eine Veränderliche festhalten

Bei

$$K(x,y)=3x+5y+20$$

kann $y$ festgehalten werden. Für $y=2$ gilt

$$K(x,2)=3x+5\cdot2+20=3x+30.$$

Damit entsteht eine Funktion nur noch in $x$.

Bedeutung

• $y=2$ bleibt unverändert.
• Nur $x$ wird variiert.
• Erhöht man $x$ um $1$, steigen die Kosten um $3$ Euro.

Umgekehrt gilt für $x=4$:

$$K(4,y)=3\cdot4+5y+20=5y+32.$$

Wichtig: Beim Festhalten einer Veränderlichen wird sie durch einen festen Wert ersetzt. Die übrige Veränderliche bleibt als Eingabe erhalten.

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7. Änderungen im Kontext beschreiben

Gegeben ist erneut

$$K(x,y)=3x+5y+20.$$

Vergleiche $K(4,2)$ und $K(5,2)$:

$$K(4,2)=42,\qquad K(5,2)=45.$$

Bei unverändertem $y=2$ führt eine Erhöhung von $x$ um $1$ zu einer Erhöhung des Funktionswerts um $3$.

Vergleiche nun $K(4,2)$ und $K(4,3)$:

$$K(4,2)=42,\qquad K(4,3)=47.$$

Bei unverändertem $x=4$ führt eine Erhöhung von $y$ um $1$ zu einer Erhöhung um $5$.

Diese Aussagen beziehen sich immer darauf, dass alle anderen Eingaben festgehalten werden.

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8. Tabellen mit zwei Eingaben lesen

Bei zwei Veränderlichen kann eine Tabelle so aufgebaut sein:

Um $K(2,1)$ abzulesen, sucht man

• die Zeile $x=2$,
• die Spalte $y=1$.

Dort steht

$$K(2,1)=31.$$

Typischer Fehler: Zeile und Spalte werden vertauscht. Deshalb zuerst ausdrücklich notieren, welche Eingabe zu den Zeilen und welche zu den Spalten gehört.

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9. Definitionsbereich und sachliche Bedingungen

Nicht jede Zahlenkombination ist im Kontext sinnvoll.

Quader

$$V(a,b,h)=a\cdot b\cdot h$$

Für reale Kantenlängen gilt

$$a>0,\qquad b>0,\qquad h>0.$$

Leistungsformel

$$P(U,I)=U\cdot I$$

Hier müssen Spannung $U$ und Stromstärke $I$ in passenden Einheiten eingesetzt werden. Dann wird $P$ in Watt erhalten.

Formel mit Nenner

$$B(m,h)=\frac{m}{h^2}$$

Mathematisch ist $h=0$ ausgeschlossen. In einem realen Körpergrößenmodell gelten zusätzlich $m>0$ und $h>0$.

Prüffrage: Welche Eingabekombinationen sind durch die Formel ausgeschlossen, und welche zusätzlichen Einschränkungen entstehen durch den Kontext?

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10. Sichere Vorgehensweise

1. Ausgabe benennen: Welche Größe wird berechnet?
2. Alle Eingaben bestimmen: Welche Veränderlichen kommen vor?
3. Reihenfolge beachten: Welcher Wert gehört zu welchem Argument?
4. Einheiten notieren: Sind die eingesetzten Größen kompatibel?
5. Mit Klammern einsetzen: Besonders bei negativen Zahlen und Brüchen.
6. Schrittweise berechnen: Keine Eingabe auslassen.
7. Ergebnis deuten: Bedeutung, Einheit und Eingabekombination nennen.
8. Bereich prüfen: Ist die Kombination mathematisch und sachlich zulässig?
9. Bei Vergleichen festhalten: Welche Eingaben bleiben unverändert?

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11. Typische Fehler

Fehler 1: Nur eine Eingabe einsetzen

Bei $f(x,y)$ reichen die Angaben $x=3$ allein nicht aus, wenn $y$ unbekannt bleibt.

Fehler 2: Eingaben vertauschen

Bei $f(2,5)$ gilt $x=2$ und $y=5$, nicht umgekehrt.

Fehler 3: Parameter als Veränderliche behandeln

In $K(x,y)=3x+5y+20$ sind $3$, $5$ und $$ im konkreten Modell fest.

Fehler 4: Klammern bei negativen Werten vergessen

Für $f(x,y)=x^2+2y$ und $x=-3$ gilt

$$f(-3,y)=(-3)^2+2y,$$

nicht $-3^2+2y$.

Fehler 5: Einheit des Ergebnisses nicht prüfen

Bei $V=a\cdot b\cdot h$ entsteht eine Volumeneinheit, keine Längeneinheit.

Fehler 6: Eine Veränderung ohne festgehaltene Größen beschreiben

Die Aussage „Wenn $x$ steigt, steigt $f$ um $3$“ ist nur vollständig, wenn angegeben wird, welche anderen Eingaben konstant bleiben.

Fehler 7: Unzulässige Eingabekombination übernehmen

Ein rechnerisch erzeugter Wert ist kein gültiges Ergebnis, wenn die Eingaben außerhalb des sachlichen Bereichs liegen.

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12. Kurz zusammengefasst

• Eine Funktion mit mehreren Veränderlichen besitzt mehrere Eingaben und genau eine Ausgabe.
• Die Eingaben werden als geordnetes Tupel eingesetzt.
• Alle Veränderlichen müssen zugeordnet und mit passenden Einheiten angegeben werden.
• Parameter bleiben im betrachteten Modell fest.
• Wird eine Veränderliche festgehalten, entsteht ein Zusammenhang in den übrigen Veränderlichen.
• Aussagen über Änderungen gelten nur bei festgehaltenen anderen Eingaben.
• Definitionsbereich, Kontext und Einheiten gehören zur vollständigen Interpretation.

Kern der Kompetenz FA 1.8: Formeln mit mehreren Veränderlichen verständig lesen, Funktionswerte korrekt bestimmen und die Abhängigkeiten im jeweiligen Kontext erklären.