Funktionen als mathematische Modelle

Kompetenzcode: FA 1.7

Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Ein mathematisches Modell beschreibt einen ausgewählten Teil der Wirklichkeit mit mathematischen Mitteln. Es ist keine vollständige Kopie der Realität: Ein Modell vereinfacht bewusst und gilt nur unter bestimmten Annahmen.

Kernidee: Ein gutes Modell verbindet eine reale Situation mit einer Funktion, liefert verständliche Ergebnisse und wird anschließend an der Wirklichkeit geprüft.

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1. Der Modellkreislauf

Beim Modellieren arbeitet man nicht nur in eine Richtung. Nach der Rechnung muss das Ergebnis wieder zur Ausgangssituation passen.

1. Situation verstehen: Welche Größen kommen vor? Was soll bestimmt werden?
2. Vereinfachen und Annahmen treffen: Welche Einflüsse werden berücksichtigt oder weggelassen?
3. Mathematisieren: Variablen festlegen und eine Funktion aufstellen oder auswählen.
4. Mit dem Modell arbeiten: Werte berechnen, Gleichungen lösen oder einen Graphen auswerten.
5. Interpretieren und prüfen: Ergebnis mit Einheit deuten und mit der Realität vergleichen.
6. Verbessern: Falls das Modell unpassend ist, Annahmen oder Funktion ändern.

Wichtig: Eine richtige Rechnung kann trotzdem zu einer unbrauchbaren Aussage führen, wenn das Modell oder sein Gültigkeitsbereich nicht zur Situation passt.

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2. Bestandteile eines Funktionsmodells

Ein Funktionsmodell besteht mindestens aus einer Eingabegröße, einer Zielgröße und einer Zuordnung.

Die Bedeutung einer Formel ist erst klar, wenn Variablen, Parameter und Einheiten erklärt sind.

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3. Aus einem Text ein Modell aufstellen

Ein Taxi verlangt eine Grundgebühr von $4$ Euro und zusätzlich $2$ Euro pro gefahrenem Kilometer.

Schritt 1: Größen festlegen

• $x$: gefahrene Strecke in km
• $K(x)$: Kosten für $x$ km in Euro

Schritt 2: Feste und veränderliche Anteile erkennen

• Die Grundgebühr $4$ fällt auch bei $x=0$ an.
• Pro Kilometer kommen $2$ Euro dazu.

Schritt 3: Funktion aufstellen

$\boxed{K(x)=4+2x\qquad\text{für }x\ge 0}$

Parameter deuten

• $K(0)=4$: Grundgebühr in Euro
• Steigung $2$: Kostenanstieg um $2$ Euro je zusätzlichem Kilometer

Modellannahme: Das Modell setzt voraus, dass der Preis je Kilometer konstant bleibt und keine Wartezeit, Zuschläge oder Rabatte auftreten.

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4. Mit einem Modell rechnen und das Ergebnis deuten

Modellwert berechnen

Für eine Fahrt von $7{,}5$ km gilt

$$\begin{aligned} K(7{,}5) &= 4+2\cdot7{,}5\\ K(7{,}5) &= 19 \end{aligned}$$

Deutung: Nach dem Modell kostet eine Fahrt von $7{,}5$ km insgesamt $19$ Euro.

Zu einem Modellwert die Eingabe bestimmen

Wie weit kann man für $24$ Euro fahren?

$$\begin{aligned} 4+2x &= 24 && /-4\\ 2x &= 20 && /:2\\ x &= 10 && \end{aligned}$$

Deutung: Unter den Modellannahmen entsprechen $24$ Euro einer Strecke von $10$ km.

Schreibweise: Gleichheitszeichen und Umformungsstriche bleiben in festen Spalten. Jede Zeile zeigt genau einen nachvollziehbaren Schritt; Pfeile werden nicht verwendet.

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5. Definitionsbereich und sachlicher Gültigkeitsbereich

Der mathematische Definitionsbereich einer Formel kann größer sein als der sachlich sinnvolle Bereich.

Für das Taximodell liefert $K(-3)=-2$. Die Rechnung ist algebraisch möglich, aber eine gefahrene Strecke von $-3$ km ist in diesem Kontext nicht zulässig. Deshalb gilt sachlich $x\ge0$.

Typische Einschränkungen sind:

• Zeit kann erst ab einem Startzeitpunkt betrachtet werden.
• Stückzahlen sind nicht negativ und oft nur ganzzahlig.
• Ein Tankinhalt kann nicht kleiner als $0$ Liter werden.
• Ein Tarifmodell gilt nur innerhalb eines bestimmten Vertragsbereichs.

Merke: Zuerst rechnen, danach prüfen, ob das Ergebnis im sachlichen Definitionsbereich liegt.

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6. Interpolation und Extrapolation

• Interpolation: Ein Modellwert wird zwischen bereits beobachteten Datenstellen bestimmt.
• Extrapolation: Das Modell wird außerhalb des beobachteten Bereichs fortgesetzt.

Interpolation ist meistens besser abgesichert, weil das Modell innerhalb bekannter Daten verwendet wird. Bei einer Extrapolation können sich Bedingungen ändern, die das Modell nicht berücksichtigt.

Beispiel: Aus Messwerten der Jahre 2022 bis 2026 ist eine Schätzung für 2025 eine Interpolation. Eine Schätzung für 2045 ist eine Extrapolation und deutlich unsicherer.

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7. Modellannahmen und Modellgrenzen

Jedes Modell beruht auf Annahmen. Diese müssen genannt und geprüft werden.

Beispiel: gleichförmige Fahrt

$s(t)=18t$

Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden und $s(t)$ der Weg in Kilometern.

Das Modell nimmt an:

• Die Geschwindigkeit beträgt ständig $18$ km/h.
• Es gibt keine Pausen.
• Start- und Endphase werden nicht gesondert berücksichtigt.

Für eine kurze, gleichmäßige Fahrt kann das Modell brauchbar sein. Für eine lange Radtour mit Pausen und wechselndem Gelände ist es nur eingeschränkt geeignet.

Fragen zur Modellkritik

1. Welche Einflüsse wurden weggelassen?
2. Für welchen Bereich liegen Daten oder Erfahrungen vor?
3. Passen Einheit und Größenordnung?
4. Wie groß sind Abweichungen zwischen Modell und Messwerten?
5. Ist ein anderes Modell möglicherweise angemessener?

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8. Modelle auswählen und vergleichen

Nicht jede Entwicklung ist linear. Die Art der Änderung hilft bei der Modellwahl.

Beispiel: Verdopplung

Eine Bakterienkultur startet mit $500$ Bakterien und verdoppelt sich alle $3$ Stunden.

$\boxed{N(t)=500\cdot2^{t/3}}$

Für $t=6$ gilt

$$\begin{aligned} N(6) &= 500\cdot2^{6/3}\\ N(6) &= 500\cdot2^2\\ N(6) &= 2000 \end{aligned}$$

Deutung: Nach dem Modell sind nach $6$ Stunden $2000$ Bakterien vorhanden. In der Realität kann das exponentielle Wachstum nicht unbegrenzt weitergehen, weil Platz und Nährstoffe begrenzt sind.

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9. Vollständiger Arbeitsplan

1. Reale Situation und Fragestellung lesen.
2. Eingabegröße, Zielgröße und Einheiten festlegen.
3. Annahmen und zulässigen Bereich nennen.
4. Funktion aufstellen oder auswählen.
5. Rechnung mit sichtbaren Zwischenschritten durchführen.
6. Ergebnis mit Einheit in einem vollständigen Satz deuten.
7. Plausibilität, Datenbereich und Modellgrenzen prüfen.
8. Modell bei Bedarf verändern oder verwerfen.

Das solltest du können: Funktionen als vereinfachte Beschreibungen realer Situationen verstehen, mit ihnen rechnen und begründet beurteilen, wann ihre Ergebnisse sinnvoll sind.