Schnittpunkte von Funktionsgraphen

Kompetenzcode: FA 1.6
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Ein Schnittpunkt ist ein Punkt, der auf beiden Funktionsgraphen liegt. Deshalb besitzen beide Funktionen an derselben Stelle $x$ denselben Funktionswert $y$.

Kernidee: Am Schnittpunkt gilt gleichzeitig $y=f(x)$ und $y=g(x)$. Daher setzt man die Funktionswerte gleich:

$\boxed{f(x)=g(x)}$

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1. Was bedeutet ein Schnittpunkt?

Ein Schnittpunkt hat zwei Koordinaten:

• Die $x$-Koordinate gibt die gemeinsame Stelle an.
• Die $y$-Koordinate gibt den gemeinsamen Funktionswert an.

Liegt beispielsweise $S(3\mid 7)$ auf beiden Graphen, dann gilt

$f(3)=7 \qquad \text{und} \qquad g(3)=7.$

Damit gilt auch $f(3)=g(3)$.

Wichtig: Die Gleichung $f(x)=g(x)$ liefert zuerst nur die $x$-Koordinate. Danach muss der zugehörige $y$-Wert berechnet werden.

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2. Schnittpunkte grafisch bestimmen

Beim grafischen Bestimmen liest man die gemeinsamen Punkte der Graphen im Koordinatensystem ab.

Sichere Vorgehensweise

1. Suche jene Stelle, an der sich die Graphen schneiden.
2. Lies die $x$-Koordinate an der waagrechten Achse ab.
3. Lies die $y$-Koordinate an der senkrechten Achse ab.
4. Notiere den vollständigen Punkt $S(x\mid y)$.
5. Beachte die Skalierung der Achsen.

Grafisch abgelesene Werte sind häufig Näherungswerte. Dann verwendet man das Zeichen $\approx$.

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3. Rechnerisch bestimmen: zwei lineare Funktionen

Gegeben sind

$f(x)=2x+1 \qquad \text{und} \qquad g(x)=x+4.$

Schritt 1: Funktionswerte gleichsetzen

$2x+1=x+4$

Schritt 2: Gleichung lösen

Die Gleichungen bleiben untereinander. Die ausgeführte Umformung steht rechts nach einem Schrägstrich. Es werden keine Pfeile verwendet.

$$\begin{aligned} 2x+1 &= x+4 && /-x\\ x+1 &= 4 && /-1\\ x &= 3 && \end{aligned}$$

Die gemeinsame Stelle ist also $x=3$.

Schritt 3: Gemeinsamen Funktionswert berechnen

$$\begin{aligned} y &= f(3)\\ y &= 2\cdot3+1\\ y &= 7 \end{aligned}$$

Zur Kontrolle:

$$\begin{aligned} g(3) &= 3+4\\ g(3) &= 7 \end{aligned}$$

Schritt 4: Schnittpunkt angeben

$\boxed{S(3\mid 7)}$

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4. Rechnerisch bestimmen: Gerade und Parabel

Gegeben sind

$f(x)=x^2-1 \qquad \text{und} \qquad g(x)=x+1.$

Schritt 1: Gleichsetzen

$x^2-1=x+1$

Schritt 2: Auf die Normalform bringen

Bei einer quadratischen Gleichung bringen wir zuerst alle Terme auf eine Seite. Die Zeichen $=$ und $/$ bleiben dabei zeilenweise an derselben Stelle.

$$\begin{aligned} x^2-1 &= x+1 && /-x-1\\ x^2-x-2 &= 0 && \end{aligned}$$

Schritt 3: Mit der abc-Formel lösen

Für

$ax^2+bx+c=0$

gilt die abc-Formel

$\boxed{x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}.$

Hier sind

$a=1,\qquad b=-1,\qquad c=-2.$

Einsetzen und schrittweise vereinfachen:

$$\begin{aligned} x_{1,2} &=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}\\ &=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\\ &=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}\\ &=\frac{1\pm3}{2} \end{aligned}$$

Daraus folgen

$x_1=2 \qquad \text{und} \qquad x_2=-1.$

Schritt 4: Beide $y$-Werte berechnen

Für $x_1=2$:

$$\begin{aligned} y_1 &= g(2)\\ y_1 &= 2+1\\ y_1 &= 3 \end{aligned}$$

Für $x_2=-1$:

$$\begin{aligned} y_2 &= g(-1)\\ y_2 &= -1+1\\ y_2 &= 0 \end{aligned}$$

Schritt 5: Beide Punkte angeben

$\boxed{S_1(-1\mid 0) \qquad S_2(2\mid 3)}$

Standardweg: Entsteht beim Gleichsetzen eine quadratische Gleichung, wird sie auf die Form $ax^2+bx+c=0$ gebracht und mit der abc-Formel gelöst. So funktioniert das Verfahren auch dann, wenn sich der Term nicht leicht faktorisieren lässt.

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5. Wie viele Schnittpunkte sind möglich?

Die Anzahl der Lösungen von $f(x)=g(x)$ entspricht der Anzahl der Schnittpunkte im gemeinsamen Definitionsbereich.

• Keine Lösung: Die Graphen besitzen keinen gemeinsamen Punkt.
• Eine Lösung: Die Graphen besitzen genau einen gemeinsamen Punkt.
• Mehrere Lösungen: Zu jeder Lösung gehört ein Schnittpunkt.
• Unendlich viele Lösungen: Die Graphen stimmen vollständig überein.

Bei zwei Geraden gilt zusätzlich:

• Verschiedene Steigungen bedeuten genau einen Schnittpunkt.
• Gleiche Steigung und verschiedene Achsenabschnitte bedeuten keinen Schnittpunkt.
• Dieselbe Funktionsgleichung bedeutet unendlich viele Schnittpunkte.

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6. Schnittpunkte im Kontext deuten

Zwei Handytarife werden durch folgende Kostenfunktionen beschrieben:

$A(x)=8+0{,}10x, \qquad B(x)=20+0{,}04x.$

Dabei ist $x$ die Gesprächsdauer in Minuten und der Funktionswert sind die Kosten in Euro.

Gleichsetzen und lösen

$$\begin{aligned} 8+0{,}10x &= 20+0{,}04x && /-0{,}04x\\ 8+0{,}06x &= 20 && /-8\\ 0{,}06x &= 12 && /:0{,}06\\ x &= 200 && \end{aligned}$$

Gemeinsame Kosten berechnen

$$\begin{aligned} A(200) &= 8+0{,}10\cdot200\\ A(200) &= 28 \end{aligned}$$

Auch $B(200)=28$.

Deutung

Bei 200 Minuten kosten beide Tarife 28 Euro. Der Schnittpunkt lautet im Modell

$S(200\mid 28).$

Für eine vollständige Interpretation müssen beide Koordinaten mit Bedeutung und Einheit genannt werden.

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7. Ergebnis kontrollieren

Eine vollständige Probe besteht aus drei Teilen:

1. Setze jeden gefundenen $x$-Wert in $f$ ein.
2. Setze denselben $x$-Wert in $g$ ein.
3. Prüfe, ob beide Funktionswerte gleich sind.

Für einen Schnittpunkt $S(x_S\mid y_S)$ muss gelten:

$f(x_S)=y_S \qquad \text{und} \qquad g(x_S)=y_S.$

Typische Fehler

• Nur den $x$-Wert statt des vollständigen Punktes angeben.
• Die Umformungsoperation nicht rechts mit /Operation notieren.
• Beim Einsetzen Klammern oder Vorzeichen verlieren.
• Eine rechnerische Lösung außerhalb des gemeinsamen Definitionsbereichs übernehmen.
• Im Sachkontext Einheiten und Bedeutung der Koordinaten vergessen.

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8. Arbeitsplan

Graphisch: Zuerst die gemeinsamen Punkte suchen. Danach die Koordinaten ablesen, den Punkt notieren und die Skalierung prüfen.

Rechnerisch: Zuerst $f(x)=g(x)$ aufstellen. Danach die Gleichung zeilenweise lösen und jede Umformung rechts mit einem Schrägstrich notieren. Anschließend $y$ berechnen, den Schnittpunkt angeben und die Probe sowie die Deutung durchführen.

Das solltest du jetzt können

• Schnittpunkte als gemeinsame Punkte zweier Graphen erklären,
• Schnittpunkte grafisch ablesen,
• die Gleichung $f(x)=g(x)$ aufstellen und zeilenweise lösen,
• Umformungen rechts in der Form /Operation notieren,
• zu jeder Lösung den gemeinsamen Funktionswert berechnen,
• keinen, einen, mehrere oder unendlich viele Schnittpunkte unterscheiden,
• Schnittpunkte in einem Sachzusammenhang vollständig interpretieren.