Komplexe Zahlen

Kompetenzcode: AG 1.4

Bei manchen Gleichungen reichen die reellen Zahlen nicht aus.

Zum Beispiel:

$$x^2=-1.$$

Für jede reelle Zahl gilt

$$x^2\geq0.$$

Deshalb besitzt diese Gleichung keine reelle Lösung.

Um solche Gleichungen lösen zu können, erweitert man den Zahlenbereich.

Man definiert die imaginäre Einheit

$$\boxed{i^2=-1}.$$

Damit gilt insbesondere

$$i=\sqrt{-1}$$

im Sinn der komplexen Zahlen.

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1. Komponentenform einer komplexen Zahl

Eine komplexe Zahl wird häufig geschrieben als

$$\boxed{z=a+bi}.$$

Dabei sind

$$a,b\in\mathbb R.$$

Diese Schreibweise nennt man Komponentenform oder algebraische Form.

Beispiele:

$$z=3+2i,$$ $$z=-4+5i,$$ $$z=7-3i.$$

Auch reelle Zahlen sind komplexe Zahlen.

Zum Beispiel:

$$5=5+0i.$$

Auch rein imaginäre Zahlen gehören dazu:

$$-3i=0-3i.$$

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2. Realteil und Imaginärteil

Für

$$z=a+bi$$

gilt:

$$\boxed{\operatorname{Re}(z)=a}$$

und

$$\boxed{\operatorname{Im}(z)=b}.$$

Wichtig:

Der Imaginärteil ist nicht $bi$, sondern der reelle Koeffizient $b$.

Beispiel:

$$z=4-7i.$$

Dann:

$$\operatorname{Re}(z)=4,$$ $$\operatorname{Im}(z)=-7.$$

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3. Die Gaußsche Zahlenebene

Eine komplexe Zahl

$$z=a+bi$$

kann als Punkt

$$P(a|b)$$

in einer Ebene dargestellt werden.

Die waagrechte Achse zeigt den Realteil.

Die senkrechte Achse zeigt den Imaginärteil.

Für

$$z=3+2i$$

gehört also der Punkt

$$P(3|2).$$

Man kann die komplexe Zahl auch als Ortsvektor vom Ursprung zu diesem Punkt auffassen.

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4. Aus einem Punkt die komplexe Zahl ablesen

Liegt in der Gaußschen Zahlenebene der Punkt

$$P(-2|4),$$

dann gilt:

$$\operatorname{Re}(z)=-2$$

und

$$\operatorname{Im}(z)=4.$$

Damit:

$$\boxed{z=-2+4i}.$$

Liegt der Punkt unterhalb der reellen Achse, ist der Imaginärteil negativ.

Zum Beispiel:

$$P(5|-3)$$

entspricht

$$z=5-3i.$$

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5. Komplexe Zahlen addieren

Beim Addieren werden Realteile mit Realteilen und Imaginärteile mit Imaginärteilen zusammengefasst.

Gegeben:

$$z_1=3+2i$$

und

$$z_2=4-5i.$$

Dann:

$$\begin{aligned} z_1+z_2 &=(3+2i)+(4-5i)\\ &=3+4+2i-5i\\ &=7-3i. \end{aligned}$$

Allgemein:

$$(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i.$$

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6. Komplexe Zahlen subtrahieren

Beim Subtrahieren muss besonders auf die Klammer geachtet werden.

Gegeben:

$$z_1=5+3i$$

und

$$z_2=2-4i.$$

Dann:

$$\begin{aligned} z_1-z_2 &=(5+3i)-(2-4i)\\ &=5+3i-2+4i\\ &=3+7i. \end{aligned}$$

Allgemein:

$$(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.$$

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7. Komplexe Zahlen multiplizieren

Komplexe Zahlen werden wie Klammerterme ausmultipliziert.

Zusätzlich wird verwendet:

$$i^2=-1.$$

Beispiel:

$$(2+3i)(4-i).$$

Ausmultiplizieren:

$$\begin{aligned} (2+3i)(4-i) &=8-2i+12i-3i^2\\ &=8+10i-3(-1)\\ &=11+10i. \end{aligned}$$

Merke:
Nach dem Ausmultiplizieren immer $i^2=-1$ einsetzen.

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8. Die konjugiert komplexe Zahl

Zur Zahl

$$z=a+bi$$

gehört die konjugiert komplexe Zahl

$$\boxed{\overline z=a-bi}.$$

Beispiel:

$$z=3+4i$$

hat die konjugierte Zahl

$$\overline z=3-4i.$$

Das Produkt ist besonders wichtig:

$$\begin{aligned} z\overline z &=(a+bi)(a-bi)\\ &=a^2-b^2i^2\\ &=a^2+b^2. \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist reell.

Diese Eigenschaft verwenden wir bei der Division.

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9. Komplexe Zahlen dividieren

Gegeben:

$$\frac{3+2i}{1-i}.$$

Im Nenner soll kein $i$ stehen.

Dazu erweitern wir mit der konjugierten Zahl des Nenners:

$$\frac{3+2i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i}.$$

Dann:

$$\frac{(3+2i)(1+i)} {(1-i)(1+i)}.$$

Zähler:

$$\begin{aligned} (3+2i)(1+i) &=3+3i+2i+2i^2\\ &=1+5i. \end{aligned}$$

Nenner:

$$\begin{aligned} (1-i)(1+i) &=1-i^2\\ &=2. \end{aligned}$$

Damit:

$$\frac{3+2i}{1-i} = \frac{1+5i}{2} = \boxed{ \frac12+\frac52i }.$$

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10. Betrag einer komplexen Zahl

In der Gaußschen Zahlenebene ist der Betrag der Abstand des Punktes vom Ursprung.

Für

$$z=a+bi$$

gilt nach dem Satz des Pythagoras:

$$\boxed{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }.$$

Beispiel:

$$z=3+4i.$$

Dann:

$$|z| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5.$$

Der Betrag ist immer eine nichtnegative reelle Zahl.

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11. Argument einer komplexen Zahl

Neben dem Abstand vom Ursprung kann man die Richtung einer komplexen Zahl angeben.

Der Winkel zur positiven reellen Achse heißt Argument.

Wir schreiben:

$$\arg(z)=\varphi.$$

Für

$$z=a+bi$$

kann der Winkel mithilfe von Real- und Imaginärteil bestimmt werden.

Beispiel:

$$z=1+\sqrt3\,i.$$

Der Punkt liegt im ersten Quadranten.

Es gilt:

$$\tan(\varphi) = \frac{\sqrt3}{1} = \sqrt3.$$

Daraus:

$$\boxed{ \varphi=\frac{\pi}{3} }$$

beziehungsweise

$$\boxed{ \varphi=60^\circ }.$$

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12. Beim Argument den Quadranten beachten

Die Rechnung

$$\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

allein reicht nicht immer aus.

Betrachten wir:

$$z=-1+\sqrt3\,i.$$

Der Punkt liegt im zweiten Quadranten.

Der Bezugswinkel beträgt

$$60^\circ.$$

Das tatsächliche Argument lautet aber

$$\boxed{ 120^\circ }$$

beziehungsweise

$$\boxed{ \frac{2\pi}{3} }.$$

Wichtig:
Vor der Winkelberechnung immer feststellen, in welchem Quadranten der Punkt liegt.

Für

$$z=0$$

ist das Argument nicht definiert, weil der Nullpunkt keine eindeutige Richtung besitzt.

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13. Polarform

Eine komplexe Zahl kann statt durch Real- und Imaginärteil auch durch

• ihren Betrag $r$,
• ihren Winkel $\varphi$

beschrieben werden.

Es gilt:

$$\boxed{ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) }.$$

Dabei:

$$r=|z|.$$

Diese Darstellung heißt Polarform.

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14. Von der Komponentenform zur Polarform

Gegeben:

$$z=1+\sqrt3\,i.$$

Schritt 1: Betrag

$$\begin{aligned} r &= \sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}\\ &= \sqrt4\\ &=2. \end{aligned}$$

Schritt 2: Argument

Der Punkt liegt im ersten Quadranten.

$$\tan(\varphi)=\sqrt3.$$

Also:

$$\varphi=60^\circ.$$

Schritt 3: Polarform

$$\boxed{ z= 2(\cos60^\circ+i\sin60^\circ) }.$$

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15. Von der Polarform zur Komponentenform

Gegeben:

$$z= 4(\cos30^\circ+i\sin30^\circ).$$

Wir verwenden:

$$\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

und

$$\sin30^\circ=\frac12.$$

Einsetzen:

$$z = 4\left( \frac{\sqrt3}{2} + \frac12i \right).$$

Damit:

$$\boxed{ z=2\sqrt3+2i }.$$

Allgemein gilt:

$$a=r\cos\varphi$$

und

$$b=r\sin\varphi.$$

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16. Addition geometrisch deuten

Eine komplexe Zahl kann als Vektor dargestellt werden.

Darum entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition.

Gegeben:

$$z_1=2+i$$

und

$$z_2=1+2i.$$

Dann:

$$z_1+z_2 = 3+3i.$$

In der Gaußschen Zahlenebene werden dabei die Vektoren

$$(2|1)$$

und

$$(1|2)$$

addiert:

$$(2|1)+(1|2)=(3|3).$$

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17. Multiplikation mit $i$ geometrisch deuten

Betrachten wir:

$$z=2+i.$$

Multiplikation mit $i$:

$$\begin{aligned} iz &=i(2+i)\\ &=2i+i^2\\ &=-1+2i. \end{aligned}$$

Der Punkt

$$(2|1)$$

wird zum Punkt

$$(-1|2).$$

Das entspricht einer Drehung um

$$90^\circ$$

gegen den Uhrzeigersinn.

Merke:
Multiplikation mit $i$ entspricht geometrisch einer Drehung um $90^\circ$.

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18. Warum wurden komplexe Zahlen eingeführt?

Betrachten wir:

$$x^2+1=0.$$

Dann:

$$x^2=-1.$$

In den reellen Zahlen gibt es dafür keine Lösung.

In den komplexen Zahlen gilt:

$$i^2=-1.$$

Damit:

$$x=i$$

oder

$$x=-i.$$

Die komplexen Zahlen erweitern also den Zahlenbereich so, dass auch Gleichungen lösbar werden, die in $\mathbb R$ keine Lösung besitzen.

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19. Fundamentalsatz der Algebra

Ein besonders wichtiges Ergebnis lautet:

Fundamentalsatz der Algebra:
Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Zum Beispiel besitzt

$$p(x)=x^2+1$$

die Nullstellen

$$x=i$$

und

$$x=-i.$$

Über den reellen Zahlen besitzt dieses Polynom keine Nullstelle.

Über den komplexen Zahlen schon.

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20. Bedeutung des Fundamentalsatzes

Der Fundamentalsatz zeigt, warum die komplexen Zahlen für Polynomgleichungen so wichtig sind.

Im Bereich

$$\mathbb C$$

fehlen nicht plötzlich Lösungen nur deshalb, weil eine benötigte Zahl außerhalb von $\mathbb R$ liegt.

Ein Polynom vom Grad $n$ kann über den komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden, wenn Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden.

Beispiel:

$$x^2+1 = (x-i)(x+i).$$

Die komplexen Zahlen bilden damit den natürlichen Zahlenbereich für das vollständige Lösen von Polynomgleichungen.

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21. Typische Fehler

Fehler 1: $i^2$ falsch behandeln

Falsch:

$$i^2=1.$$

Richtig:

$$\boxed{i^2=-1}.$$

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Fehler 2: Imaginärteil falsch angeben

Für

$$z=3-5i$$

gilt:

$$\operatorname{Im}(z)=-5.$$

Nicht:

$$-5i.$$

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Fehler 3: Bei der Subtraktion die Klammer vergessen

$$(4+2i)-(1-3i)$$

wird zu

$$4+2i-1+3i.$$

Das Minuszeichen wirkt auf beide Teile der zweiten Zahl.

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Fehler 4: Division ohne konjugierte Zahl

Bei einem komplexen Nenner wird mit seiner konjugierten Zahl erweitert.

Dadurch entsteht im Nenner eine reelle Zahl.

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Fehler 5: Betrag ohne Wurzel

Für

$$z=3+4i$$

gilt:

$$|z| = \sqrt{3^2+4^2} = 5.$$

Nicht:

$$25.$$

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Fehler 6: Quadrant beim Argument ignorieren

Der Taschenrechnerwert von

$$\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

muss zur Lage des Punktes in der Gaußschen Zahlenebene passen.

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Fehler 7: Polarform ohne Betrag

Die Polarform lautet:

$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

Der Faktor $r$ darf nicht vergessen werden.

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22. Vorgehensplan für komplexe Rechnungen

Addition oder Subtraktion

1. Klammern auflösen.
2. Realteile zusammenfassen.
3. Imaginärteile zusammenfassen.
4. Ergebnis als $a+bi$ schreiben.

Multiplikation

1. Klammern vollständig ausmultiplizieren.
2. $i^2=-1$ einsetzen.
3. Real- und Imaginärteil zusammenfassen.

Division

1. Konjugierte Zahl des Nenners bestimmen.
2. Zähler und Nenner damit multiplizieren.
3. $i^2=-1$ verwenden.
4. Ergebnis in Komponentenform schreiben.

Polarform

1. Betrag bestimmen.
2. Quadranten feststellen.
3. Argument bestimmen.
4. $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ schreiben.

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23. Zusammenfassung

Komponentenform

$$\boxed{ z=a+bi }$$

mit

$$i^2=-1.$$

Real- und Imaginärteil

$$\operatorname{Re}(z)=a, \qquad \operatorname{Im}(z)=b.$$

Betrag

$$\boxed{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }$$

Polarform

$$\boxed{ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) }$$

Gaußsche Zahlenebene

$$z=a+bi \quad\longleftrightarrow\quad P(a|b).$$

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante komplexe Polynom besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Merke:
Komponentenform beschreibt die Zahl durch Real- und Imaginärteil.
Polarform beschreibt dieselbe Zahl durch Länge und Richtung.