Mengen und Mengenoperationen
Kompetenzcode: AG 1.3
Eine Menge fasst bestimmte Objekte zusammen.
Diese Objekte nennt man Elemente der Menge.
Zum Beispiel können wir die geraden positiven Zahlen kleiner als in einer Menge zusammenfassen:
Die geschweiften Klammern zeigen, dass eine Menge angegeben wird.
In diesem Kapitel lernst du,
- was eine Menge ist,
- wie du angibst, ob ein Objekt Element einer Menge ist,
- wie du Teilmengen erkennst,
- wie du Vereinigungsmengen bildest,
- wie du Schnittmengen bildest,
- wie du Differenzmengen bildest,
- wie du die leere Menge erkennst und notierst.
1. Was ist eine Menge?
Eine Menge ist eine Zusammenfassung eindeutig bestimmter Objekte.
Das bedeutet:
Für jedes betrachtete Objekt muss klar entschieden werden können, ob es zur Menge gehört oder nicht.
Beispiel:
Diese Menge enthält fünf ungerade Zahlen.
Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle.
Daher beschreiben
und
dieselbe Menge.
Auch mehrfaches Anschreiben verändert die Menge nicht:
Ein Element ist entweder enthalten oder nicht enthalten.
2. Mengen aufzählen
Bei kleinen endlichen Mengen kann man alle Elemente zwischen geschweiften Klammern aufschreiben.
Beispiel:
Die Menge der positiven Teiler von lautet
Die Menge der Wochentage des Wochenendes könnte geschrieben werden als
Mengen müssen also nicht nur Zahlen enthalten.
3. Mengen durch eine Eigenschaft beschreiben
Statt alle Elemente einzeln aufzuzählen, kann man auch beschreiben, welche Eigenschaft sie erfüllen.
Zum Beispiel:
ist die Menge aller natürlichen Zahlen kleiner als .
Aufgezählt:
falls in der verwendeten Definition gilt.
In einer Aufgabe muss deshalb immer beachtet werden, welche Grundmenge beziehungsweise welche Konvention verwendet wird.
4. Element einer Menge
Um auszudrücken, dass ein Objekt zu einer Menge gehört, verwenden wir das Symbol
Es wird gelesen als:
ist Element von
Beispiel:
Dann gilt:
Denn kommt in der Menge vor.
Auch
5. Kein Element einer Menge
Das Symbol
bedeutet:
ist kein Element von
Für
gilt zum Beispiel:
Auch
Wichtig ist immer die konkrete Definition der Menge.
6. Element und Menge nicht verwechseln
Betrachten wir
Dann gilt:
Die Zahl ist ein Element.
Die Schreibweise
bezeichnet dagegen eine Menge, die genau ein Element enthält.
Deshalb muss man zwischen
und
unterscheiden.
7. Teilmengen
Eine Menge ist Teilmenge einer Menge , wenn jedes Element von auch Element von ist.
Wir schreiben:
Beispiel:
und
Da sowohl als auch in vorkommen, gilt:
8. Keine Teilmenge
Betrachten wir
und
Die Elemente und liegen in .
Aber:
Damit ist nicht jedes Element von auch in .
Also gilt:
Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus, um zu zeigen, dass keine Teilmengenbeziehung vorliegt.
9. Eine Menge ist Teilmenge von sich selbst
Für jede Menge gilt:
Denn selbstverständlich ist jedes Element von auch Element von .
Beim Symbol
ist Gleichheit also erlaubt.
10. Elementbeziehung und Teilmengenbeziehung unterscheiden
Das ist eine besonders wichtige Unterscheidung.
Gegeben sei
Dann gilt:
Hier vergleichen wir ein Element mit einer Menge.
Dagegen gilt:
Hier vergleichen wir eine Menge mit einer anderen Menge.
Merke:
verbindet Element und Menge.
verbindet Menge und Menge.
11. Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge zweier Mengen und enthält alle Elemente, die
- in ,
- in ,
- oder in beiden Mengen
liegen.
Das Symbol lautet:
Man liest:
vereinigt mit
12. Vereinigung berechnen
Gegeben:
und
Wir nehmen alle Elemente aus beiden Mengen.
Dabei wird jedes Element nur einmal angeschrieben:
Die gemeinsamen Elemente und werden nicht doppelt angeführt.
13. Vereinigungsmenge im Sachkontext
In einer Klasse lernen einige Schülerinnen und Schüler Englisch und einige Französisch.
Sei
und
Dann beschreibt
alle Personen, die mindestens eine der beiden Sprachen lernen.
Das Wort oder ist häufig ein Hinweis auf eine Vereinigung.
14. Schnittmenge
Die Schnittmenge zweier Mengen enthält genau jene Elemente, die in beiden Mengen gleichzeitig vorkommen.
Das Symbol lautet:
Man liest:
geschnitten mit
15. Schnittmenge berechnen
Wieder:
und
Gemeinsam kommen nur und vor.
Daher:
16. Schnittmenge im Sachkontext
Mit den Mengen
und
beschreibt
jene Personen, die beide Sprachen lernen.
Das Wort und ist häufig ein Hinweis auf eine Schnittmenge.
17. Vereinigung und Schnitt unterscheiden
Gegeben:
Dann:
Die Vereinigung enthält alles aus beiden Mengen.
Dagegen:
Der Schnitt enthält nur die gemeinsamen Elemente.
Merke:
Vereinigung: alles aus A oder B.
Schnitt: nur das Gemeinsame.
18. Differenzmenge
Die Differenzmenge
enthält alle Elemente, die in , aber nicht in liegen.
Man kann lesen:
ohne
oder
minus
19. Differenzmenge berechnen
Gegeben:
und
Wir starten mit .
Aus entfernen wir alle Elemente, die auch in vorkommen.
Das sind .
Übrig bleiben:
20. Die Reihenfolge bei der Differenz ist wichtig
Mit denselben Mengen:
und
gilt:
Aber:
Also gilt im Allgemeinen:
Wichtig:
Bei der Differenzmenge bestimmt die Reihenfolge, von welcher Menge Elemente entfernt werden.
21. Die leere Menge
Eine Menge, die kein einziges Element enthält, heißt leere Menge.
Sie wird geschrieben als
Auch
kann zur Darstellung einer leeren Menge verwendet werden.
22. Wann entsteht eine leere Menge?
Gegeben:
und
Die beiden Mengen besitzen kein gemeinsames Element.
Daher:
Ein weiteres Beispiel:
Dann gilt:
Denn aus werden alle Elemente von entfernt.
23. Leere Menge und Menge mit null nicht verwechseln
Die leere Menge lautet:
Sie enthält kein Element.
Dagegen enthält
genau ein Element, nämlich die Zahl .
Daher:
Ebenso wichtig:
ist nicht leer.
Diese Menge enthält ein Element, nämlich die leere Menge.
24. Vollständiges Beispiel
Gegeben sind:
und
Elementbeziehungen
aber
Außerdem:
und
Vereinigung
Alle Elemente aus oder :
Schnitt
Gemeinsame Elemente:
Differenz
Elemente aus , die nicht in liegen:
Differenz
Elemente aus , die nicht in liegen:
25. Beispiel zu Teilmengen
Gegeben:
und
Wir prüfen jedes Element aus :
und
Damit sind alle Elemente aus auch in .
Also:
26. Typische Fehler
Fehler 1: Runde statt geschweifte Klammern
Eine aufgezählte Menge wird mit geschweiften Klammern geschrieben:
Fehler 2: und verwechseln
Für
gilt:
Aber:
Fehler 3: Elemente in einer Vereinigung doppelt anschreiben
Bei
und
lautet die Vereinigung
Nicht:
Fehler 4: Vereinigung und Schnitt verwechseln
enthält alle Elemente aus beiden Mengen.
enthält nur die gemeinsamen Elemente.
Fehler 5: Differenz in falscher Reihenfolge bilden
bedeutet:
Starte mit und entferne alles, was auch in liegt.
Fehler 6: und verwechseln
enthält kein Element.
enthält ein Element.
27. Vorgehensplan für Mengenoperationen
Gegeben sind zwei endliche Mengen und .
Vereinigung
Für
- schreibe alle Elemente aus ,
- ergänze alle noch fehlenden Elemente aus ,
- schreibe kein Element doppelt.
Schnitt
Für
- gehe die Elemente aus durch,
- prüfe, welche davon auch in vorkommen,
- schreibe nur diese gemeinsamen Elemente auf.
Differenz
Für
- beginne mit den Elementen von ,
- entferne alle Elemente, die auch in liegen,
- schreibe die verbleibenden Elemente auf.
28. Zusammenfassung
Element
bedeutet:
ist Element von .
bedeutet:
ist kein Element von .
Teilmenge
bedeutet:
Jedes Element von ist auch Element von .
Vereinigung
enthält alle Elemente aus oder .
Schnitt
enthält die gemeinsamen Elemente.
Differenz
enthält die Elemente aus , die nicht in liegen.
Leere Menge
enthält kein Element.
Merke:
: Element und Menge.
: Menge und Menge.
: alles zusammen.
: das Gemeinsame.
: aus der ersten Menge entfernen.