Algebraische Begriffe, Umformungen und Lösbarkeit

Algebraische Begriffe, Umformungen und Lösbarkeit

Algebra verwendet Zahlen, Zeichen und Rechenoperationen, um allgemeine mathematische Zusammenhänge zu beschreiben.

Wichtige algebraische Objekte sind:

• Variablen, Konstanten und Parameter
• Terme und Formeln
• Gleichungen und Ungleichungen
• Gleichungssysteme

Merksatz: Ein Term enthält kein Gleichheits- oder Ungleichheitszeichen. Eine Gleichung setzt zwei Terme gleich.

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Variablen, Konstanten und Parameter

Eine Variable ist ein Zeichen, das für einen Wert steht. In einer Gleichung kann sie eine Unbekannte sein:

$$2x+3=11$$

Hier ist $x=4$ die Lösung.

In einer Funktion kann eine Variable unterschiedliche Werte annehmen:

$$y=2x+1.$$

Ein Parameter wird innerhalb einer Aufgabe als fest betrachtet, kann aber unterschiedliche Fälle beschreiben. Bei

$$ax=b$$

hängt die Lösbarkeit von $a$ ab:

• $a\neq 0$: genau eine Lösung $x=\frac{b}{a}$

Eine Konstante besitzt im betrachteten Zusammenhang einen festen Wert, zum Beispiel $2$, $-5$, $\pi$ oder $e$.

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Terme

Ein Term ist ein sinnvoll aufgebauter mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenoperationen.

Beispiele:

$$3x+7, \qquad \frac{x-2}{x+1}, \qquad \sqrt{x+4}, \qquad 2a^2b-3ab^2.$$

Auch eine einzelne Zahl oder Variable ist ein Term.

Der Ausdruck

$$3x+7$$

ist ein Term. Der Ausdruck

$$3x+7=19$$

ist eine Gleichung.

Termwert

Für

$$T(x)=3x^2-2x+1$$

und $x=2$ gilt:

$$T(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2+1=9.$$

Beim Einsetzen negativer Zahlen sind Klammern wichtig:

$$(-2)^2=4.$$

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Definitionsbedingungen

Nicht jeder Term ist für jede reelle Zahl definiert.

Nenner

Ein Nenner darf nicht null sein. Für

$$\frac{3}{x-2}$$

gilt:

$$x\neq 2.$$

Wurzeln

Im Bereich der reellen Zahlen muss der Teil unter der Wurzel größer oder gleich null sein:

$$\sqrt{x-4} \quad\Rightarrow\quad x\geq 4.$$

Logarithmen

Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein:

$$\ln(x+3) \quad\Rightarrow\quad x>-3.$$

Wichtig: Definitionsbedingungen müssen vor dem Umformen festgehalten werden.

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Äquivalente Terme

Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie für alle gemeinsam zulässigen Werte denselben Wert besitzen.

$$2(x+3)\equiv 2x+6.$$

Beim Kürzen darf der ursprüngliche Definitionsbereich nicht vergessen werden:

$$\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \qquad (x\neq 1).$$

Der vereinfachte Ausdruck $x+1$ ist zwar auch bei $x=1$ definiert, der ursprüngliche Bruchterm jedoch nicht.

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Termumformungen

Gleichartige Terme zusammenfassen

$$3x+5x=8x$$ $$4a^2-7a^2=-3a^2.$$

Ungleichartige Terme dürfen nicht zusammengefasst werden. Daher ist

$$3x+5x^2$$

nicht gleich $8x^3$.

Distributivgesetz

$$a(b+c)=ab+ac.$$

Beispiel:

$$3(x-4)=3x-12.$$

Umgekehrt kann ausgeklammert werden:

$$6x+9=3(2x+3).$$

Binomische Formeln

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$

Bruchterme

Brüche werden über einen gemeinsamen Nenner zusammengeführt:

$$\frac{x}{2b}-\frac{y}{b} = \frac{x-2y}{2b}, \qquad b\neq 0.$$

Es dürfen nur gemeinsame Faktoren, nicht einzelne Summanden gekürzt werden.

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Formeln

Eine Formel beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Größen.

Beispiele:

$$A=ab$$ $$O=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Formel umstellen

Beim Umstellen einer Formel wird auf beiden Seiten derselbe Rechenschritt ausgeführt. Der Umformungsschritt steht über dem Äquivalenzzeichen.

Aus $A=ab$ folgt für $a\neq 0$:

$$A=ab \mathrel{\overset{\div a}{\Longleftrightarrow}} b=\frac{A}{a}.$$

Wichtig: Durch $a$ darf nur dividiert werden, wenn $a\neq 0$ gilt.

Ein zweites Beispiel:

$$A=\frac{ah}{2} \mathrel{\overset{\cdot 2}{\Longleftrightarrow}} 2A=ah \mathrel{\overset{\div a}{\Longleftrightarrow}} h=\frac{2A}{a}, \qquad a\neq 0.$$

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Gleichungen

Eine Gleichung behauptet, dass zwei Terme denselben Wert besitzen.

$$\text{linke Seite}=\text{rechte Seite}$$

Eine Zahl ist Lösung, wenn beim Einsetzen eine wahre Aussage entsteht.

Grundmenge und Lösungsmenge

Die Grundmenge bestimmt, aus welcher Zahlenmenge Lösungen stammen dürfen. Für

$$x^2=2$$

gibt es in $\mathbb{Q}$ keine Lösung, in $\mathbb{R}$ jedoch:

$$L=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}.$$

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Äquivalente Gleichungen

Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge besitzen.

$$2x+3=11 \Longleftrightarrow 2x=8 \Longleftrightarrow x=4.$$

Zulässige Äquivalenzumformungen

Auf beiden Seiten darf derselbe Term addiert oder subtrahiert werden.

Beide Seiten dürfen mit derselben von null verschiedenen Zahl multipliziert oder durch sie dividiert werden.

$$a=b \Longleftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c} \qquad(c\neq 0).$$

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Nicht immer äquivalente Umformungen

Division durch eine Variable

Aus

$$x^2-5x=0$$

folgt durch Faktorisieren:

$$x(x-5)=0.$$

Daher gilt:

$$x=0 \quad\text{oder}\quad x=5.$$

Eine Division durch $x$ würde die Lösung $x=0$ verlieren.

Merksatz: Durch einen Term mit Variable darf nur dividiert werden, wenn sicher ist, dass dieser Term nicht null ist.

Quadrieren

Aus $x=-2$ folgt zwar $x^2=4$, aber die Gleichung $x^2=4$ besitzt zusätzlich die Lösung . Quadrieren kann daher Scheinlösungen erzeugen.

Nach nicht eindeutig umkehrbaren Schritten ist eine Probe in der ursprünglichen Gleichung notwendig.

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Lösbarkeit von Gleichungen

Eine Gleichung kann keine, genau eine, mehrere oder unendlich viele Lösungen besitzen.

Keine Lösung

Entsteht am Ende eine falsche Aussage ohne Variable, hat die Gleichung keine Lösung. Typische Endergebnisse sind zum Beispiel:

$$3=2 \qquad\text{oder}\qquad 0=4.$$

Auch beim Umformen kann eine solche falsche Aussage entstehen:

$$2x=2x+1 \mathrel{\overset{-2x}{\Longleftrightarrow}} 0=1.$$

Die Lösungsmenge ist leer:

$$L=\varnothing \qquad\text{oder}\qquad L=\{\}.$$

Genau eine Lösung

$$3x+2=11 \Longleftrightarrow x=3.$$

Mehrere Lösungen

$$x^2=4 \Longleftrightarrow x=-2\ \text{oder}\ x=2.$$

Unendlich viele Lösungen

$$2(x+1)=2x+2 \Longleftrightarrow 0=0.$$

Daher gilt in der Grundmenge $\mathbb{R}$:

$$L=\mathbb{R}.$$

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Ungleichungen

Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme. Die vier wichtigsten Ungleichheitszeichen heißen:

$$\mathrel{\overset{\text{kleiner}}{<}} \qquad \mathrel{\overset{\text{größer}}{>}} \qquad \mathrel{\overset{\text{kleiner gleich}}{\leq}} \qquad \mathrel{\overset{\text{größer gleich}}{\geq}}.$$

Beispiel:

$$2x+1<7 \Longleftrightarrow 2x<6 \Longleftrightarrow x<3.$$

Bei Addition oder Subtraktion desselben Terms bleibt das Ungleichheitszeichen unverändert.

Bei Multiplikation oder Division mit einer positiven Zahl bleibt es ebenfalls unverändert.

Merksatz: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.

$$-3x>6 \mathrel{\overset{\div(-3)}{\Longleftrightarrow}} x<-2.$$

Ist das Vorzeichen eines Parameters unbekannt, ist eine Fallunterscheidung erforderlich.

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Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

$$\begin{aligned} x+y&=5\\ x-y&=1 \end{aligned}$$

Addition liefert:

$$2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3.$$

Einsetzen ergibt $y=2$. Somit:

$$(x,y)=(3,2).$$

Lösungsverfahren

• Einsetzungsverfahren
• Gleichsetzungsverfahren
• Additionsverfahren

Lösbarkeit

Zwei lineare Gleichungen in zwei Variablen können geometrisch zwei Geraden beschreiben:

• ein Schnittpunkt: genau eine Lösung
• parallele verschiedene Geraden: keine Lösung
• dieselbe Gerade: unendlich viele Lösungen

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Begriffe unterscheiden

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Typische Fehler

• Ungleichartige Terme werden zusammengefasst.
• Definitionsbedingungen werden vergessen.
• Durch einen möglicherweise null werdenden Term wird dividiert.
• Beim Dividieren einer Ungleichung durch eine negative Zahl wird das Zeichen nicht umgedreht.
• Nach dem Quadrieren wird keine Probe durchgeführt.
• Ein Term wird mit einer Formel oder Gleichung verwechselt.

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Zusammenfassung

• Variablen können Unbekannte, veränderliche Größen oder Parameter sein.
• Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck ohne Vergleichszeichen.
• Eine Formel beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang.
• Äquivalente Gleichungen besitzen dieselbe Lösungsmenge.
• Definitionsbedingungen müssen erhalten bleiben.
• Division durch variable Terme erfordert eine Nullfallprüfung.
• Nicht umkehrbare Schritte erfordern eine Probe.
• Bei Ungleichungen kehrt eine negative Multiplikation oder Division das Zeichen um.
• Gleichungssysteme können keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben.