Zahlenmengen

Zahlenmengen helfen uns, Zahlen nach ihren Eigenschaften zu ordnen.

Verbindlicher Kern von AG 1.1: Die Bezeichnungen der Zahlenmengen kennen, ihre Teilmengenbeziehungen beschreiben, Zahlen und vereinfachte Ausdrücke zuordnen sowie die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle verstehen. Außerdem soll bekannt sein, dass es Zahlenbereiche über $\mathbb R$ hinaus gibt.

Dabei gilt:

$$\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R\subseteq\mathbb C.$$

Die irrationalen Zahlen werden mit $\mathbb I$ bezeichnet:

$$\mathbb I=\mathbb R\setminus\mathbb Q.$$

Wichtige Symbole

• $A\subseteq B$ bedeutet: $A$ ist eine Teilmenge von $B$.
• $x\in A$ bedeutet: $$ ist ein Element von .

Natürliche Zahlen $\mathbb N$

Im Lerncoach gilt:

$$\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}.$$

• Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger. Der Nachfolger von $7$ ist $8$.
• Jede natürliche Zahl außer $0$ besitzt in $\mathbb N$ einen Vorgänger. Der Vorgänger von $7$ ist $6$.
• Die Zahl besitzt in keinen Vorgänger.

Anmerkung: In manchen Schulbüchern beginnt $\mathbb N$ erst bei $1$. Dann wird die Menge mit der Zahl $0$ häufig als $\mathbb N_0$ bezeichnet. Im Lerncoach gehört $0$ zu .

Ganze Zahlen $\mathbb Z$

Zu den ganzen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen, ihre Gegenzahlen und die Zahl $0$:

$$\mathbb Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.$$

Gegenzahl

Die Gegenzahl liegt auf der Zahlengeraden gleich weit von $0$ entfernt, aber auf der anderen Seite.

• Die Gegenzahl von $5$ ist $-5$.
• Die Gegenzahl von $-8$ ist $8$.
• Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.

Betrag

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von $0$. Ein Abstand ist nie negativ.

$$|5|=5,\qquad |-5|=5,\qquad |0|=0.$$

Merke: Gegenzahl und Betrag sind nicht dasselbe.
Die Gegenzahl von $-5$ ist $5$. Der Betrag von $-5$ ist ebenfalls $5$ – bei einer positiven Zahl unterscheiden sich die beiden Begriffe aber: Die Gegenzahl von $5$ ist $-5$, während gilt.

Rationale Zahlen $\mathbb Q$

Eine rationale Zahl kann als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden:

$$\mathbb Q= \left\{ \frac pq \;\middle|\; p,q\in\mathbb Z,\ q\ne0 \right\}.$$

Dazu gehören:

• ganze Zahlen, zum Beispiel $-4=\frac{-4}{1}$,
• Brüche, zum Beispiel $\frac37$,

Irrationale Zahlen $\mathbb I$

Irrationale Zahlen können nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch.

Beispiele:

$$\sqrt2,\qquad \pi,\qquad e.$$

Dabei gilt:

$$\mathbb I=\mathbb R\setminus\mathbb Q.$$

Reelle Zahlen $\mathbb R$

Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen:

$$\mathbb R=\mathbb Q\cup\mathbb I.$$

Alle Zahlen, die auf der Zahlengeraden liegen, sind reelle Zahlen.

Reelle Zahlen bilden die Grundlage für kontinuierliche Modelle. Bei Größen wie Länge, Zeit, Masse oder Temperatur sind grundsätzlich auch Zwischenwerte möglich.

Beispiel:

Eine Länge kann $2\,\text{m}$, $2{,}1\,\text{m}$, $2{,}01\,\text{m}$ oder einen irrationalen Wert wie $\sqrt5\,\text{m}$ besitzen. Das Modell verwendet deshalb nicht nur ganze oder rationale Zahlen, sondern den gesamten reellen Zahlenbereich.

Zahlen der kleinsten passenden Menge zuordnen

Vor der Zuordnung wird ein Ausdruck vollständig vereinfacht.

Beispiele:

$$\sqrt{49}=7\in\mathbb N,$$ $$-\frac{12}{3}=-4\in\mathbb Z,$$ $$0{,}125=\frac18\in\mathbb Q,$$ $$\sqrt2\in\mathbb I,$$ $$3+2i\in\mathbb C\setminus\mathbb R.$$

Gefragt ist meist die kleinste passende Zahlenmenge. Für $7$ wäre die Angabe $7\in\mathbb R$ zwar richtig, aber nicht die kleinste mögliche Zuordnung. Die präziseste Antwort lautet

$$7\in\mathbb N.$$

Ein sinnvoller Entscheidungsweg ist:

1. Ausdruck vereinfachen.
2. Prüfen, ob das Ergebnis natürlich oder ganz ist.
3. Prüfen, ob es als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist.
4. Bei reellen, nicht rationalen Zahlen irrational zuordnen.
5. Bei einem nicht verschwindenden $i$-Anteil komplex und nicht reell zuordnen.

Lerncoach-Erweiterung: Zahlen vergleichen und Intervalle

Zahlen vergleichen

Auf der Zahlengeraden gilt:

Die weiter rechts liegende Zahl ist größer.

Beispiele:

$$-8<-3,$$

denn $-8$ liegt weiter links als $-3$.

Brüche und Dezimalzahlen lassen sich leichter vergleichen, wenn sie zuerst in dieselbe Darstellung umgewandelt werden.

Beispiel 1

Vergleiche $-\frac34$ und $-0{,}7$.

$$-\frac34=-0{,}75.$$

Damit gilt:

$$-0{,}75<-0{,}7.$$

Also:

$$-\frac34<-0{,}7.$$

Beispiel 2

Vergleiche $\sqrt2$ und $1{,}4$.

$$\sqrt2\approx1{,}414.$$

Daher:

$$\sqrt2>1{,}4.$$

Intervalle lesen

Ein Intervall beschreibt einen zusammenhängenden Bereich auf der Zahlengeraden.

• Geschlossene Grenze: Der Randwert gehört dazu.
• Offene Grenze: Der Randwert gehört nicht dazu.

Zwei gleichwertige Schreibweisen

Eine offene eckige Klammer bedeutet dasselbe wie eine runde Klammer:

$$]a;b[=(a;b),$$ $$[a;b[=[a;b),$$ $$]a;b]=(a;b].$$

Beispiele

$$x\in[-2;4] \quad\Longleftrightarrow\quad -2\le x\le4.$$

Beide Randwerte gehören dazu.

$$x\in]-2;4[ \quad\Longleftrightarrow\quad -2<x<4.$$

Keiner der Randwerte gehört dazu.

$$x\in]-2;4] \quad\Longleftrightarrow\quad -2<x\le4.$$

$-2$ gehört nicht dazu, $4$ gehört dazu.

Zahlenbereiche über $\mathbb R$: komplexe Zahlen $\mathbb C$

Für den Kern von AG 1.1 genügt es, zu wissen, dass es Zahlenbereiche über den reellen Zahlen gibt und dass komplexe Zahlen die Form

$$z=a+bi$$

besitzen. Ausführliche Rechenregeln mit komplexen Zahlen sind Zusatzwissen und werden nur bearbeitet, wenn eine Aufgabe dies ausdrücklich verlangt.

In den reellen Zahlen besitzt die Gleichung

$$x^2=-1$$

keine Lösung. Das Quadrat einer reellen Zahl ist nämlich nie negativ. Vereinfacht gesagt: Innerhalb der reellen Zahlen kann man keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

Deshalb wird die imaginäre Einheit $i$ eingeführt:

$$i^2=-1.$$

Eine komplexe Zahl hat die Form

$$z=a+bi.$$

Dabei ist:

$$\operatorname{Re}(z)=a$$

der Realteil und

$$\operatorname{Im}(z)=b$$

der Imaginärteil.

Beispiel:

$$z=4-3i$$

hat den Realteil

$$\operatorname{Re}(z)=4$$

und den Imaginärteil

$$\operatorname{Im}(z)=-3.$$

Optionales Zusatzwissen: Rechnen mit komplexen Zahlen

Seien

$$z_1=a+bi \qquad\text{und}\qquad z_2=c+di.$$

Addition

Man addiert Realteile und Imaginärteile getrennt:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$$

Beispiel:

$$(2+3i)+(-5+4i)$$ $$=(2-5)+(3+4)i$$ $$=-3+7i.$$

Subtraktion

Man subtrahiert Realteile und Imaginärteile getrennt:

$$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$$

Beispiel:

$$(6-2i)-(1+5i)$$ $$=(6-1)+(-2-5)i$$ $$=5-7i.$$

Multiplikation

Man multipliziert wie bei Klammerausdrücken und verwendet anschließend $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$

Beispiel:

$$(2+3i)(4-i)$$ $$=8-2i+12i-3i^2$$ $$=8+10i-3(-1)$$ $$=11+10i.$$

Division

Im Nenner soll kein $i$ stehen. Deshalb erweitert man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners:

$$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.$$

Beispiel:

$$\frac{4+2i}{1-i}.$$

Wir erweitern mit $1+i$:

$$\frac{4+2i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}.$$

Zähler:

$$(4+2i)(1+i) = 4+4i+2i+2i^2 = 2+6i.$$

Nenner:

$$(1-i)(1+i)=1-i^2=2.$$

Damit:

$$\frac{4+2i}{1-i} = \frac{2+6i}{2} = 1+3i.$$

Optionales Zusatzwissen: Mengenoperationen

Wir verwenden für die folgenden Beispiele:

$$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},$$ $$A=\{2,4,6,8,10\},$$ $$B=\{2,3,5,7\}.$$

Vereinigung $A\cup B$

Die Vereinigung enthält alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ oder in beiden Mengen liegen.

Wir schreiben zuerst alle Elemente aus $A$ auf und ergänzen danach die noch fehlenden Elemente aus $B$:

$$A\cup B = \{2,3,4,5,6,7,8,10\}.$$

Jedes Element wird nur einmal angeschrieben.

Schnitt $A\cap B$

Der Schnitt enthält nur Elemente, die gleichzeitig in $A$ und in $B$ liegen.

Die Zahl $2$ kommt in beiden Mengen vor. Alle anderen Elemente liegen nur in einer der beiden Mengen.

$$A\cap B=\{2\}.$$

Differenz $A\setminus B$

$A\setminus B$ bedeutet:

Nimm alle Elemente aus $A$ und streiche jene, die auch in $B$ liegen.

Aus

$$A=\{2,4,6,8,10\}$$

wird die gemeinsame Zahl $2$ gestrichen. Daher:

$$A\setminus B=\{4,6,8,10\}.$$

Die Reihenfolge ist wichtig:

$$B\setminus A=\{3,5,7\}.$$

Im Allgemeinen gilt also:

$$A\setminus B\ne B\setminus A.$$

Komplement $U\setminus A$

Das Komplement von $A$ enthält alle Elemente der Grundmenge $U$, die nicht in $A$ liegen.

Wir beginnen mit

$$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$

und streichen die Elemente aus $A$:

$$2,4,6,8,10.$$

Übrig bleiben:

$$U\setminus A=\{1,3,5,7,9\}.$$

Hinweis: Das Komplement von $A$ wird manchmal auch als $A^c$ geschrieben. Im Lerncoach verwenden wir bevorzugt $U\setminus A$, weil dabei die Grundmenge sichtbar ist.

Zusammengesetztes Beispiel

Bestimme

$$(A\cup B)\setminus A.$$

Zuerst berechnen wir die Vereinigung:

$$A\cup B=\{2,3,4,5,6,7,8,10\}.$$

Nun entfernen wir alle Elemente aus $A$:

$$2,4,6,8,10.$$

Es bleiben:

$$(A\cup B)\setminus A=\{3,5,7\}.$$

Das sind genau jene Elemente, die in $B$, aber nicht in $A$ liegen.

Typische Fehler

Obermenge statt kleinster Zahlenmenge

Die Aussage $5\in\mathbb R$ ist richtig, bei einer Zuordnungsaufgabe aber meist zu ungenau. Die kleinste passende Menge ist $\mathbb N$.

Ausdruck vor der Zuordnung nicht vereinfacht

$\sqrt{25}$ wird nicht als irrational eingeordnet. Zuerst gilt

$$\sqrt{25}=5.$$

Danach folgt

$$5\in\mathbb N.$$

Rationale und irrationale Dezimaldarstellungen verwechselt

Endliche und periodische Dezimalzahlen sind rational. Unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen sind irrational.

Element und Teilmenge verwechselt

Für eine Zahl wird $\in$ verwendet:

$$3\in\mathbb N.$$

Für eine Beziehung zwischen Mengen wird $\subseteq$ verwendet:

$$\mathbb N\subseteq\mathbb Z.$$

Reelle und komplexe Zahlen als getrennte Mengen behandeln

Jede reelle Zahl ist auch komplex:

$$\mathbb R\subseteq\mathbb C.$$

Nicht jede komplexe Zahl ist reell. Beispielsweise gilt

$$2+i\in\mathbb C\setminus\mathbb R.$$

Eine vertiefende Zusatzaufgabe mit dem AG-1.1-Kern verwechseln

Komplexe Grundrechenarten, Abgeschlossenheit und ausführliche Mengenoperationen sind im Lerncoach als Zusatzwissen gekennzeichnet. Sie werden nicht vorausgesetzt, wenn lediglich die Grundkompetenz AG 1.1 geprüft wird.

Abschlussübersicht

Nach AG 1.1 solltest du sicher können:

• $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb I,\mathbb R,\mathbb C$ beschreiben,
• die Teilmengenbeziehung $$\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R\subseteq\mathbb C$$ erklären,

Die Abschnitte zu Zahlenvergleich und Intervallen sind eine Lerncoach-Erweiterung. Komplexe Arithmetik und ausführliche Mengenoperationen sind optionales Zusatzwissen.