Mathematische Terme und Formeln übersetzen reale Situationen in eine kurze, eindeutige Sprache.

Arbeitsplan: Größen festlegen → Variablen erklären → Zusammenhang in Worten klären → Term, Formel oder Gleichung aufstellen → Ergebnis mit Einheit und Situation prüfen.

1. Welche Größe ist größer?

Stefan ist um $10\,\text{cm}$ größer als Amelie.

Wir setzen:

$$a=\text{Amelies Größe in Zentimetern}$$ $$s=\text{Stefans Größe in Zentimetern}.$$

Stefan ist die größere Person. Deshalb muss Amelies Größe um $10\,\text{cm}$ erhöht werden, damit beide Seiten gleich groß sind:

$$\boxed{s=a+10}$$

Die Gleichung

$$s+10=a$$

wäre falsch. Sie würde bedeuten, dass Amelie um $10\,\text{cm}$ größer als Stefan ist.

Merksatz: Frage zuerst: Welche Größe ist größer? Der Zusatz wird bei der kleineren Größe ergänzt.

Dasselbe in umgekehrter Form

Aus

$$s=a+10$$

kann man durch eine Äquivalenzumformung Amelies Größe ausdrücken:

$$s=a+10 \overset{-10}{\Longleftrightarrow} s-10=a \Longleftrightarrow a=s-10.$$

Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Situation.

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2. Von einer Situation zur Mathematik

Vor dem Aufstellen eines Terms oder einer Gleichung werden die Größen festgelegt.

Sicherer Ablauf

1. Größen und Einheiten erkennen.
2. Variablen eindeutig definieren.
3. Den Zusammenhang zuerst in Worten formulieren.
4. Rechenzeichen und Reihenfolge festlegen.
5. Prüfen, ob die Formel zur Situation passt.

Beispiel: Stadion

In einem Stadion sind $300$ Erwachsene mehr als Kinder.

Wir setzen:

$$k=\text{Anzahl der Kinder}$$ $$e=\text{Anzahl der Erwachsenen}.$$

Die Anzahl der Erwachsenen ist größer. Daher gilt:

$$\boxed{e=k+300}.$$

Umgekehrt kann man schreiben:

$$e=k+300 \overset{-300}{\Longleftrightarrow} e-300=k \Longleftrightarrow k=e-300.$$

Signalwörter

Achtung: Signalwörter helfen, ersetzen aber nicht das Nachdenken über die Richtung des Zusammenhangs.

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3. Terme, Formeln und Gleichungen unterscheiden

Term

Ein Term ist ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen:

$$3x+5.$$

Formel

Eine Formel beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Größen:

$$K(x)=4+2x.$$

Gleichung

Eine Gleichung setzt zwei Terme gleich. Häufig ist eine Größe gesucht:

$$3x+5=20.$$

Merksatz: Ein Term wird berechnet oder vereinfacht. Eine Formel beschreibt einen Zusammenhang. Eine Gleichung kann gelöst oder umgeformt werden.

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4. Terme aus Texten aufstellen

Beispiel: Taxifahrt

Eine Taxifahrt kostet $4\,€$ Grundgebühr und zusätzlich $2\,€$ pro Kilometer.

Wir setzen:

$$x=\text{gefahrene Kilometer}.$$

Dann gilt:

$$\boxed{K(x)=4+2x}.$$

Dabei ist $4$ der feste Anteil und $2x$ der veränderliche Anteil.

Weitere Übersetzungen

Die Klammer ist im letzten Beispiel notwendig:

$$3(x+4)\neq 3x+4.$$

Beispiel: Einnahmen im Stadion

Eine Erwachsenenkarte kostet $14\,€$, eine Kinderkarte $8\,€$.

Mit

$$e=\text{Anzahl der Erwachsenen},\qquad k=\text{Anzahl der Kinder}$$

lautet der Einnahmenterm:

$$E=14e+8k.$$

Wenn zusätzlich $e=k+300$ gilt, kann dieser Zusammenhang später in den Einnahmenterm eingesetzt werden.

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5. Termwerte berechnen und Einheiten beachten

Für

$$K(x)=4+2x$$

und $x=6$ gilt:

$$K(6)=4+2\cdot 6=4+12=16.$$

Die Fahrt kostet $16\,€$.

Dreischritt beim Einsetzen

1. Wert mit Klammern einsetzen.
2. Nach der Rechenreihenfolge berechnen.
3. Ergebnis mit passender Einheit angeben.

Beispiel: Rechteck

Ein Rechteck hat die Länge $x+3$ Meter und die Breite $x$ Meter.

Umfang:

$$U(x)=2(x+3)+2x=4x+6.$$

Flächeninhalt:

$$A(x)=x(x+3)=x^2+3x.$$

Für $x=5\,\text{m}$ gilt:

$$U(5)=26\,\text{m}, \qquad A(5)=40\,\text{m}^2.$$

Plausibilitätskontrolle: Ein Flächeninhalt wird in Quadrateinheiten angegeben. $40\,\text{m}$ wäre deshalb keine passende Einheit.

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6. Terme vereinfachen

Gleichartige Terme zusammenfassen

$$3x+5x-2+4=8x+2.$$

Nur gleiche Variablen mit gleichen Exponenten dürfen zusammengefasst werden.

Klammern auflösen

$$4(2a-3)+a =8a-12+a =9a-12.$$

Ausklammern

$$6x+18=6(x+3).$$

Beim Vereinfachen bleibt der Wert des Terms unverändert.

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7. Was ist eine Formel?

Eine Formel beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen mehreren Größen.

Abhängige und unabhängige Größe

Bei

$$K(x)=4+2x$$

wird $x$ gewählt. Die Kosten $K(x)$ hängen davon ab.

• $x$: unabhängige Größe
• $K(x)$: abhängige Größe

Variablen müssen im Kontext immer erklärt werden.

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8. Formeln mit Äquivalenzumformungen umstellen

Beim Umstellen wird auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation durchgeführt.

Beispiel 1: $s=v\cdot t$ nach $t$

$$s=v\cdot t \overset{:v}{\Longleftrightarrow} \frac{s}{v}=t \Longleftrightarrow \boxed{t=\frac{s}{v}}, \qquad v\neq 0.$$

Beispiel 2: $A=a\cdot b$ nach $b$

$$A=a\cdot b \overset{:a}{\Longleftrightarrow} \frac{A}{a}=b \Longleftrightarrow \boxed{b=\frac{A}{a}}, \qquad a\neq 0.$$

Beispiel 3: $K=G+px$ nach $x$

$$K=G+px \overset{-G}{\Longleftrightarrow} K-G=px \overset{:p}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=\frac{K-G}{p}}, \qquad p\neq 0.$$

Beispiel 4: $U=2a+2b$ nach $b$

$$U=2a+2b \overset{-2a}{\Longleftrightarrow} U-2a=2b \overset{:2}{\Longleftrightarrow} \boxed{b=\frac{U-2a}{2}}.$$

Nicht über das Gleichheitszeichen schieben: Rechenzeichen ändern sich nicht von selbst. Die Änderung entsteht durch dieselbe Gegenoperation auf beiden Seiten.

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9. Ergebnisse prüfen

Inhaltliche Prüfung

• Ist die größere Größe tatsächlich auf der richtigen Seite beschrieben?
• Wurde ein fester Betrag addiert oder subtrahiert?
• Wurde ein Preis pro Stück mit der Stückzahl multipliziert?
• Sind Klammern richtig gesetzt?

Rechnerische Prüfung

Eine umgestellte Formel kann durch Einsetzen geprüft werden.

Aus

$$K=G+px$$

wurde

$$x=\frac{K-G}{p}.$$

Setzt man $G=4$, $p=2$ und $x=6$, erhält man zunächst:

$$K=4+2\cdot 6=16.$$

Probe:

$$x=\frac{16-4}{2}=6.$$

Das Ergebnis stimmt.

Typische Fehler

• Variablen werden nicht erklärt.
• „Mehr als“ und „weniger als“ werden vertauscht.
• Feste und veränderliche Anteile werden verwechselt.
• Klammern fehlen.
• Beim Umstellen wird nur auf einer Seite gerechnet.
• Die Einheit passt nicht zum Ergebnis.

Das solltest du können: Situationen in Terme, Formeln und Gleichungen übersetzen, Variablen erklären, Termwerte berechnen, Terme vereinfachen und Formeln mit sichtbaren Äquivalenzumformungen nach einer Größe umstellen.