Lineare Gleichungen entstehen, wenn zwei Ausdrücke denselben Wert beschreiben und eine unbekannte Größe nur in der ersten Potenz vorkommt.

Arbeitsplan: Variable festlegen → zwei gleichwertige Ausdrücke bilden → Gleichung aufstellen → mit Äquivalenzumformungen lösen → Probe durchführen → Lösung im Kontext deuten.

1. Was ist eine lineare Gleichung?

Eine Gleichung setzt zwei Terme gleich.

Beispiele:

$$3x+5=20$$ $$7-2x=x+1$$ $$4(x-2)=2x+6.$$

Diese Gleichungen sind linear, weil $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt.

Nicht linear sind beispielsweise:

$$x^2=9, \qquad \frac{1}{x}=4, \qquad \sqrt{x}=3.$$

Eine häufige Grundform ist:

$$ax+b=c.$$

Für $a\neq 0$ besitzt diese Gleichung genau eine Lösung.

Zentrales Ziel: Eine lineare Gleichung wird aus einem Sachzusammenhang entwickelt, händisch gelöst und anschließend mit Einheit und vollständigem Antwortsatz gedeutet.

2. Eine Gleichung aus einem Text aufstellen

Bei einer Sachaufgabe muss zuerst festgelegt werden, wofür die Variable steht.

Beispiel: Eintrittskarten

Eine Gruppe bezahlt $12\,€$ Grundgebühr und zusätzlich $8\,€$ pro Person. Insgesamt werden $76\,€$ bezahlt.

Wir setzen:

$$n=\text{Anzahl der Personen}.$$

Die Gesamtkosten können auf zwei Arten beschrieben werden:

$$12+8n$$

und

$$76.$$

Da beide Ausdrücke dieselben Gesamtkosten darstellen, gilt:

$$\boxed{12+8n=76}.$$

Merksatz: Eine Sachgleichung entsteht aus zwei gleichwertigen Beschreibungen derselben Größe.

3. Das Waagenprinzip

Eine Gleichung kann als Waage betrachtet werden. Damit die Gleichheit erhalten bleibt, muss auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation durchgeführt werden.

Aus

$$a=b$$

folgt zum Beispiel:

$$a+c=b+c.$$

Für $c\neq 0$ gilt außerdem:

$$ac=bc$$

und

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}.$$

Wichtig: Multiplizieren oder Dividieren ist nur mit einer sicher von null verschiedenen Zahl erlaubt.

4. Äquivalenzumformungen sichtbar anschreiben

Äquivalenzumformungen verändern die Lösungsmenge nicht. Jeder Rechenschritt wird direkt über dem Äquivalenzpfeil angegeben.

Beispiel

$$3x+5=20 \overset{-5}{\Longleftrightarrow} 3x=15 \overset{:3}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=5}.$$

Die Schreibweise zeigt gleichzeitig:

• welche Operation durchgeführt wird,
• dass sie auf beiden Seiten gilt,
• dass die neue Gleichung dieselbe Lösungsmenge besitzt.

Erlaubte Grundoperationen

• auf beiden Seiten denselben Term addieren,
• auf beiden Seiten denselben Term subtrahieren,
• beide Seiten mit derselben von null verschiedenen Zahl multiplizieren,
• beide Seiten durch dieselbe von null verschiedene Zahl dividieren,
• beide Seiten korrekt vereinfachen.

Beim Vereinfachen wird der Schritt ebenfalls sichtbar beschriftet:

$$2x+3x+4=19 \overset{\text{zusammenfassen}}{\Longleftrightarrow} 5x+4=19.$$

5. Grundform $ax+b=c$

Gegeben ist:

$$ax+b=c.$$

Zuerst wird $b$ auf beiden Seiten subtrahiert. Danach wird durch $a$ dividiert:

$$ax+b=c \overset{-b}{\Longleftrightarrow} ax=c-b \overset{:a}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=\frac{c-b}{a}}, \qquad a\neq 0.$$

Zahlenbeispiel

$$7x-9=26 \overset{+9}{\Longleftrightarrow} 7x=35 \overset{:7}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=5}.$$

6. Variable auf beiden Seiten

Gegeben ist:

$$5x+4=2x+19.$$

Zuerst werden die Variablenterme auf einer Seite gesammelt:

$$5x+4=2x+19 \overset{-2x}{\Longleftrightarrow} 3x+4=19 \overset{-4}{\Longleftrightarrow} 3x=15 \overset{:3}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=5}.$$

Sinnvolle Strategie

1. Klammern auflösen.
2. Beide Seiten vereinfachen.
3. Variablenterme auf einer Seite sammeln.
4. Zahlenterme auf der anderen Seite sammeln.
5. Durch den Koeffizienten der Variablen dividieren.

Tipp: Wähle die Seite für die Variable so, dass möglichst wenige negative Vorzeichen entstehen.

7. Gleichungen mit Klammern

Weg 1: Klammer zuerst auflösen

$$3(x+2)=18 \overset{\text{ausmultiplizieren}}{\Longleftrightarrow} 3x+6=18 \overset{-6}{\Longleftrightarrow} 3x=12 \overset{:3}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=4}.$$

Weg 2: Zuerst dividieren

$$3(x+2)=18 \overset{:3}{\Longleftrightarrow} x+2=6 \overset{-2}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=4}.$$

Beide Wege sind korrekt, weil jeder Schritt eine zulässige Äquivalenzumformung ist.

Minus vor einer Klammer

$$-(x-4)=7 \overset{\text{Klammer auflösen}}{\Longleftrightarrow} -x+4=7 \overset{-4}{\Longleftrightarrow} -x=3 \overset{:(-1)}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=-3}.$$

8. Gleichungen mit Brüchen

Ein einzelner Bruch

$$\frac{x}{3}+2=7 \overset{-2}{\Longleftrightarrow} \frac{x}{3}=5 \overset{\cdot 3}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=15}.$$

Mehrere Brüche

$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10.$$

Der kleinste gemeinsame Nenner ist $6$. Beide Seiten werden mit $6$ multipliziert:

$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10 \overset{\cdot 6}{\Longleftrightarrow} 3x+2x=60 \overset{\text{zusammenfassen}}{\Longleftrightarrow} 5x=60 \overset{:5}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=12}.$$

Kontrolle: Beim Multiplizieren mit dem gemeinsamen Nenner muss jeder Term der Gleichung berücksichtigt werden.

9. Die drei Lösungsfälle

Nach dem Vereinfachen können genau drei Fälle auftreten.

Genau eine Lösung

$$3x+2=11 \overset{-2}{\Longleftrightarrow} 3x=9 \overset{:3}{\Longleftrightarrow} x=3.$$

Damit gilt:

$$L=\{3\}.$$

Keine Lösung

$$2x+1=2x+5 \overset{-2x}{\Longleftrightarrow} 1=5.$$

Die Aussage $1=5$ ist falsch. Daher besitzt die Gleichung keine Lösung:

$$L=\varnothing.$$

Unendlich viele Lösungen

$$3(x+2)=3x+6 \overset{\text{ausmultiplizieren}}{\Longleftrightarrow} 3x+6=3x+6 \overset{-3x}{\Longleftrightarrow} 6=6.$$

Die Aussage $6=6$ ist immer wahr. Bei der Grundmenge $\mathbb R$ gilt daher:

$$L=\mathbb R.$$

Merksatz: Ein Widerspruch bedeutet keine Lösung. Eine wahre Identität bedeutet, dass alle Werte der Grundmenge Lösungen sind.

10. Probe

Eine gefundene Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.

Für

$$3x+5=20$$

und $x=5$ gilt:

$$3\cdot 5+5=15+5=20.$$

Linke und rechte Seite stimmen überein. Die Lösung ist bestätigt.

Wichtig: Die Probe wird mit der ursprünglichen Gleichung durchgeführt, nicht nur mit einer bereits umgeformten Zeile.

11. Lösung im Kontext deuten

Beim Eintrittskartenbeispiel gilt:

$$12+8n=76 \overset{-12}{\Longleftrightarrow} 8n=64 \overset{:8}{\Longleftrightarrow} n=8.$$

Die Rechnung allein ist noch keine vollständige Antwort.

Vollständige Deutung:

Die Gruppe besteht aus acht Personen.

Eine gute Antwort enthält:

• die gefundene Zahl,
• die passende Einheit oder Bedeutung,
• einen vollständigen Satz,
• eine Prüfung des zulässigen Wertebereichs.

12. Zulässige Werte beachten

Nicht jede mathematische Lösung ist in einer Sachaufgabe sinnvoll.

Personen- und Stückzahlen

Normalerweise gilt:

$$n\in\mathbb N_0.$$

Eine Lösung wie

$$n=4{,}5$$

ist bei einer Personenanzahl nicht zulässig.

Längen und Zeitspannen

Im üblichen Kontext müssen Längen und Zeitspannen nicht negativ sein:

$$x\geq 0.$$

Kontextkontrolle

Nach dem Lösen wird geprüft:

1. Liegt die Lösung im erlaubten Wertebereich?
2. Passt die Einheit?
3. Ist das Ergebnis realistisch?
4. Beantwortet der Antwortsatz tatsächlich die gestellte Frage?

13. Beispiel: Tarifvergleich

Tarif A kostet $10\,€$ Grundgebühr und $3\,€$ pro Nutzung. Tarif B kostet keine Grundgebühr, aber $5\,€$ pro Nutzung.

Wir setzen:

$$x=\text{Anzahl der Nutzungen}.$$

Bei gleichen Gesamtkosten gilt:

$$10+3x=5x \overset{-3x}{\Longleftrightarrow} 10=2x \overset{:2}{\Longleftrightarrow} \boxed{x=5}.$$

Deutung:

Bei fünf Nutzungen kosten beide Tarife gleich viel.

Probe:

$$10+3\cdot 5=25 \qquad\text{und}\qquad 5\cdot 5=25.$$

14. Beispiel: Rechteck

Der Umfang eines Rechtecks beträgt $46\,\text{cm}$. Die Länge ist um $5\,\text{cm}$ größer als die Breite.

Wir setzen:

$$b=\text{Breite in Zentimetern}.$$

Dann ist die Länge:

$$b+5.$$

Die Umfangsgleichung lautet:

$$2b+2(b+5)=46.$$

Lösen:

$$2b+2(b+5)=46 \overset{\text{ausmultiplizieren}}{\Longleftrightarrow} 2b+2b+10=46 \overset{\text{zusammenfassen}}{\Longleftrightarrow} 4b+10=46 \overset{-10}{\Longleftrightarrow} 4b=36 \overset{:4}{\Longleftrightarrow} \boxed{b=9}.$$

Die Länge ist:

$$9+5=14.$$

Deutung:

Das Rechteck ist $9\,\text{cm}$ breit und $14\,\text{cm}$ lang.

Probe mit dem Umfang:

$$2\cdot 9+2\cdot 14=18+28=46\,\text{cm}.$$

15. Typische Fehler

Variable wird nicht definiert

Vor dem Aufstellen muss klar sein, wofür die Variable steht.

Klammer wird vergessen

Wenn die Länge $x+5$ zweimal vorkommt, muss geschrieben werden:

$$2(x+5).$$

Operation wird nur auf einer Seite durchgeführt

Falsch wäre:

$$x+3=8 \Longleftrightarrow x=8.$$

Richtig ist:

$$x+3=8 \overset{-3}{\Longleftrightarrow} x=5.$$

Vorzeichenfehler

$$-(x-4) \overset{\text{Klammer auflösen}}{\Longleftrightarrow} -x+4.$$

Durch null teilen

Eine Division ist nur zulässig, wenn der Divisor sicher nicht null ist.

Lösung wird nicht gedeutet

$x=8$ muss in einen vollständigen Satz im Sachzusammenhang übersetzt werden.

16. Arbeitsablauf

Das solltest du können: Lineare Gleichungen aus Sachzusammenhängen aufstellen, jeden Rechenschritt als Äquivalenzumformung sichtbar anschreiben, die drei Lösungsfälle unterscheiden, eine Probe durchführen und die Lösung im Kontext deuten.