Eine quadratische Gleichung enthält die gesuchte Variable höchstens in der zweiten Potenz.

Die allgemeine Form lautet:

$$ax^2+bx+c=0$$

mit

$$a,b,c\in\mathbb{R} \qquad\text{und}\qquad a\neq 0.$$

Zentrales Ziel: Die Gleichung soll in eine geeignete Form gebracht, mit einem passenden Verfahren gelöst und geometrisch als Nullstellenproblem verstanden werden.

1. Quadratische und nichtquadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen

$$x^2-5x+6=0$$ $$3(x-2)^2=12$$ $$2x^2+7=5x.$$

Nichtquadratische Gleichungen

$$4x+1=9$$ $$x^3=8$$ $$\frac{1}{x}=2.$$

2. Normalform

Die Normalform ist:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Alle Terme werden auf eine Seite gebracht und nach fallenden Potenzen geordnet.

Beispiel:

$$2x^2+5=3x$$

wird zu:

$$2x^2-3x+5=0.$$

3. Lösen durch Faktorisieren

Beispiel:

$$x^2-5x+6=0.$$

Faktorisieren:

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Mit dem Nullprodukt:

$$x-2=0 \qquad\text{oder}\qquad x-3=0.$$

Daher:

$$x_1=2,\qquad x_2=3.$$

Nullproduktregel: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

4. Ausklammern

Beispiel:

$$x^2-4x=0.$$

Ausklammern:

$$x(x-4)=0.$$

Daraus folgt:

$$x=0 \qquad\text{oder}\qquad x=4.$$

Es darf nicht einfach durch $x$ dividiert werden, weil dadurch die Lösung $x=0$ verloren gehen würde.

5. Wurzelziehen

Beispiel:

$$(x-3)^2=16.$$

Wurzelziehen liefert zwei Fälle:

$$x-3=4 \qquad\text{oder}\qquad x-3=-4.$$

Daher:

$$x_1=7,\qquad x_2=-1.$$

Merksatz: Aus $u^2=k$ folgt für $k>0$ immer $u=\pm\sqrt{k}$.

6. Quadratische Ergänzung

Beispiel:

$$x^2+6x+5=0.$$

Zunächst:

$$x^2+6x=-5.$$

Die Hälfte von $6$ ist $3$. Ergänzt wird $3^2=9$:

$$x^2+6x+9=4.$$

Damit:

$$(x+3)^2=4.$$

Also:

$$x+3=\pm 2.$$

Daraus:

$$x_1=-1,\qquad x_2=-5.$$

7. Lösungsformeln

Allgemeine Lösungsformel

Für

$$ax^2+bx+c=0$$

mit $a\neq 0$ gilt:

$$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante:

$$D=b^2-4ac.$$

p-q-Formel

Die p-q-Formel gilt für eine normierte quadratische Gleichung:

$$x^2+px+q=0.$$

Für die p-q-Formel wird die Diskriminante so berechnet:

$$\boxed{ D= \left(\frac p2\right)^2-q }.$$

Dann lautet die p-q-Formel:

$$\boxed{ x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{D} }.$$

Zusammengefasst:

$$x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{ \left(\frac p2\right)^2-q }.$$

Ist der Koeffizient vor $x^2$ nicht gleich $1$, muss zuerst durch $a$ dividiert werden.

Beispiel:

$$2x^2+4x-6=0 \overset{:2}{\Longleftrightarrow} x^2+2x-3=0.$$

Damit sind

$$p=2 \qquad\text{und}\qquad q=-3.$$

Zuerst wird $D$ berechnet:

$$D = \left(\frac 22\right)^2-(-3) = 1+3 = 4.$$

Einsetzen:

$$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{4} = -1\pm 2.$$

Also:

$$x_1=1, \qquad x_2=-3.$$

Merksatz: Die allgemeine Lösungsformel funktioniert in der Form $ax^2+bx+c=0$ mit $D=b^2-4ac$. Die p-q-Formel funktioniert nach dem Normieren auf mit .

8. Die drei Lösungsfälle der Diskriminante

Die Diskriminante wird je nach verwendeter Lösungsformel unterschiedlich berechnet:

In beiden Fällen entscheidet das Vorzeichen von $D$ bereits vor dem vollständigen Ausrechnen, wie viele reelle Lösungen existieren.

Fall 1: $D>0$

Unter der Wurzel steht eine positive Zahl.

$$\boxed{\text{Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen.}}$$

Fall 2: $D=0$

Unter der Wurzel steht null.

$$\boxed{\text{Es gibt genau eine reelle Lösung.}}$$

Fall 3: $D<0$

Unter der Wurzel steht eine negative Zahl.

$$\boxed{\text{Es gibt keine reelle Lösung.}}$$

9. Geometrische Deutung

Zur Gleichung

$$ax^2+bx+c=0$$

gehört die Parabel

$$f(x)=ax^2+bx+c.$$

Die Lösungen der Gleichung sind die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse.

Zwei verschiedene Nullstellen

Beispiel:

$$f(x)=x^2-1.$$

Die Parabel schneidet die $x$-Achse bei $x_1=-1$ und $x_2=1$.

Eine doppelte Nullstelle

Beispiel:

$$f(x)=x^2.$$

Die Parabel berührt die $x$-Achse im Scheitelpunkt. Es gilt $x_1=x_2=0$.

Keine reelle Nullstelle

Beispiel:

$$f(x)=x^2+1.$$

Die Parabel liegt vollständig oberhalb der $x$-Achse und besitzt keine reelle Nullstelle.

10. Scheitelpunkt und Lösungsfall

Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet.

• Liegt der Scheitel unter der $x$-Achse, gibt es zwei Nullstellen.
• Liegt der Scheitel auf der $x$-Achse, gibt es eine doppelte Nullstelle.
• Liegt der Scheitel über der $x$-Achse, gibt es keine reelle Nullstelle.

Für $a<0$ gelten die entsprechenden Aussagen spiegelbildlich.

11. Geeignetes Lösungsverfahren wählen

12. Beispiel mit Lösungsformel

Gegeben:

$$2x^2-3x-2=0.$$

Hier gilt:

$$a=2,\qquad b=-3,\qquad c=-2.$$

Diskriminante:

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25.$$

Damit:

$$x_{1,2} = \frac{3\pm 5}{4}.$$

Also:

$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{1}{2}.$$

13. Beispiel ohne reelle Lösung

Gegeben:

$$x^2+2x+5=0.$$

Diskriminante:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=-16.$$

Da

$$D<0,$$

gibt es keine reelle Lösung:

$$L=\varnothing \quad\text{in }\mathbb{R}.$$

Geometrisch liegt die Parabel vollständig oberhalb der $x$-Achse.

14. Quadratische Gleichung im Kontext

Ein rechteckiger Garten besitzt die Fläche

$$60\,\text{m}^2.$$

Die Länge ist um $7\,\text{m}$ größer als die Breite.

Wir setzen:

$$x=\text{Breite in Metern}.$$

Dann ist die Länge:

$$x+7.$$

Flächengleichung:

$$x(x+7)=60.$$

Normalform:

$$x^2+7x-60=0.$$

Faktorisieren:

$$(x+12)(x-5)=0.$$

Mathematische Lösungen:

$$x=-12 \qquad\text{oder}\qquad x=5.$$

Im Kontext ist eine negative Länge nicht zulässig.

Daher:

Der Garten ist $5\,\text{m}$ breit und $12\,\text{m}$ lang.

15. Probe

Jede Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.

Für

$$x=5$$

gilt:

$$5(5+7)=60.$$

Für

$$x=-12$$

gilt rechnerisch ebenfalls:

$$(-12)(-5)=60.$$

Die zweite Lösung ist algebraisch korrekt, aber geometrisch nicht sinnvoll.

16. Typische Fehler

Gleichung nicht auf null gebracht

Die allgemeine Lösungsformel wird auf

$$ax^2+bx+c=0$$

angewendet.

Vorzeichen von $b$ falsch eingesetzt

Bei

$$2x^2-3x-2=0$$

ist

$$b=-3.$$

Plus-Minus vergessen

Beim Wurzelziehen müssen beide Vorzeichen berücksichtigt werden.

Durch die Variable dividiert

Bei

$$x(x-4)=0$$

würde die Division durch $x$ eine Lösung verlieren.

Kontext nicht geprüft

Negative Längen oder nicht ganzzahlige Stückzahlen können mathematisch entstehen, aber sachlich unzulässig sein.

17. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Quadratische Gleichungen besitzen die Form $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq 0$.