Eine lineare Ungleichung vergleicht zwei lineare . Im Unterschied zu einer besteht die Lösung meist nicht aus einem einzelnen Wert, sondern aus einem ganzen Zahlenbereich.
Zentrales Ziel: Eine Bedingung wird als Ungleichung formuliert, mit nachvollziehbaren Äquivalenzumformungen gelöst und als Lösungsmenge, , Zahlengerade oder Halbebene gedeutet.
1. Bedeutung der Ungleichheitszeichen
Die vier grundlegenden Zeichen werden so gelesen:
Die Zeichen und heißen streng, weil der Randwert nicht enthalten ist. Die Zeichen und heißen nichtstreng, weil der Randwert enthalten ist.
2. Signalwörter richtig übersetzen
Merksatz: „Höchstens“ und „mindestens“ schließen den genannten Randwert ein.
3. Eine Ungleichung aus einem Kontext aufstellen
Ein Taxi verlangt Grundgebühr und pro Kilometer. Es stehen höchstens zur Verfügung.
Wir setzen:
Die Kosten betragen:
„Höchstens “ bedeutet:
Zusätzlich gilt im Kontext:
4. Äquivalenzumformungen
Bei einer Äquivalenzumformung wird auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation durchgeführt. Die Lösungsmenge bleibt dadurch erhalten.
Addieren und subtrahieren
Für jede reelle Zahl gilt:
Ebenso:
Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten.
Mit einer positiven Zahl multiplizieren oder dividieren
Für gilt:
und:
Das Ungleichheitszeichen bleibt ebenfalls erhalten.
Mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren
Für gilt:
und:
Merksatz: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl wird das Ungleichheitszeichen umgedreht.
5. Einfache lineare Ungleichungen lösen
Beispiel mit positiver Division
Gegeben:
Lösen:
Die Lösungsmenge lautet:
In Intervallschreibweise:
Beispiel mit negativer Division
Gegeben:
Lösen:
Weil durch eine negative Zahl dividiert wurde, musste das Zeichen von zu gedreht werden.
6. Variable auf beiden Seiten
Gegeben:
Lösen:
7. Doppelungleichungen
Bei einer Doppelungleichung wird dieselbe Operation auf allen drei Teilen durchgeführt.
Beispiel:
Lösen:
Damit:
8. Zahlengerade: streng und nichtstreng
Bei der strengen Ungleichung
gehört der Randwert nicht zur Lösung. Der Punkt bei bleibt offen.
Bei der nichtstrengen Ungleichung
gehört der Randwert zur Lösung. Der Punkt bei wird ausgefüllt.
Der Pfeil zeigt, in welche Richtung sich der Lösungsbereich unbegrenzt fortsetzt.
9. Intervallschreibweise
Runde Klammern bedeuten, dass ein Randwert nicht enthalten ist. Eckige Klammern bedeuten, dass er enthalten ist.
10. Drei mögliche Lösungsfälle
Echter Lösungsbereich
Die Ungleichung besitzt einen echten Lösungsbereich.
Keine Lösung
Die Aussage ist immer falsch. Daher:
Alle reellen Zahlen
Die Aussage ist immer wahr. Daher:
11. Kontextbeispiel: Budget
Aus der Kostenbedingung
folgt:
Mit der Kontextbedingung ergibt sich:
Mit einem Budget von höchstens können höchstens gefahren werden.
12. Diskrete Größen und richtiges Runden
Ein Verein benötigt mindestens . Bereits vorhanden sind . Jede verkaufte Karte bringt .
Mit als Anzahl der Karten gilt:
Lösen:
Es müssen mindestens Karten verkauft werden.
Ergibt sich beispielsweise
muss bei einer Mindestanzahl auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden:
Bei einer Höchstanzahl kann entsprechend Abrunden notwendig sein. Entscheidend ist immer die Bedeutung der Ungleichung.
13. Probe mit Testwerten
Für
können drei typische Werte geprüft werden:
- erfüllt die Ungleichung.
- erfüllt sie nicht.
- erfüllt sie nicht.
Besonders wichtig ist die Prüfung des Randwerts. Sie zeigt, ob der Randpunkt offen oder ausgefüllt dargestellt werden muss.
14. Lineare Ungleichungen in der Form
Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Halbebene.
Mögliche Formen sind:
Die zugehörige Randgerade lautet immer:
Strenge lineare Ungleichung
Beispiel:
Die Randgerade gehört nicht zur Lösung und wird daher gestrichelt gezeichnet.
Nichtstrenge lineare Ungleichung
Beispiel:
Die Randgerade gehört zur Lösung und wird daher durchgehend gezeichnet.
Testpunkt verwenden
Ist unklar, welche Seite der Randgeraden zur Lösung gehört, kann ein Punkt eingesetzt werden, der nicht auf der Geraden liegt.
Für den Testpunkt gilt beim Beispiel :
Die Aussage ist wahr. Daher gehört die Seite mit dem Ursprung zur Lösungsmenge.
15. Zwei Geraden vergleichen
Gesucht sind jene -Werte, für die
unter der Geraden
liegt.
Dazu werden die Funktionsterme verglichen:
Die erste Gerade liegt für unter der zweiten Geraden. Bei schneiden sich die Geraden.
16. Typische Fehler
„Höchstens“ wird streng übersetzt
„Höchstens“ bedeutet , nicht .
Zeichen wird bei negativer Division nicht gedreht
Richtig ist:
Randpunkt auf der Zahlengeraden falsch dargestellt
Bei oder ist der Randpunkt offen. Bei oder ist er ausgefüllt.
Randgerade in der Ebene falsch gezeichnet
Bei einer strengen Ungleichung wird die Randgerade gestrichelt. Bei einer nichtstrengen Ungleichung wird sie durchgehend gezeichnet.
Falsche Halbebene markiert
Bei liegt die Lösung unterhalb, bei oberhalb der Randgeraden. Ein Testpunkt kann die Auswahl kontrollieren.
Kontextbedingung fehlt
Entfernungen, Stückzahlen oder Zeiten können zusätzliche Bedingungen wie oder erfordern.
Falsch gerundet
Bei Mindestmengen muss häufig aufgerundet, bei Höchstmengen häufig abgerundet werden.
17. Arbeitsablauf
Zusammenfassung
- Lineare Ungleichungen beschreiben ganze Lösungsbereiche.
- Signalwörter bestimmen das richtige Ungleichheitszeichen.
- Jeder Umformungsschritt muss auf beiden Seiten durchgeführt werden.
- Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl wird das Zeichen umgedreht.
- Strenge Ungleichungen schließen den Rand aus, nichtstrenge schließen ihn ein.
- Auf der Zahlengeraden zeigt ein offener oder ausgefüllter Punkt die Randzugehörigkeit.
- In der Ebene beschreibt eine Halbebene.
- Strenge lineare Ungleichungen besitzen eine gestrichelte, nichtstrenge eine durchgehende Randgerade.
- Kontextbedingungen und sinnvolles Runden müssen berücksichtigt werden.