Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

Beispiel:

$$\begin{aligned} x+y&=7\\ 2x-y&=5 \end{aligned}$$

Eine Lösung ist ein geordnetes Zahlenpaar:

$$(x,y).$$

Zentrales Ziel: Zwei Bedingungen werden als Gleichungen formuliert, gemeinsam gelöst und als Schnittpunkt zweier Geraden verstanden.

1. Bedeutung einer Lösung

Das Zahlenpaar

$$(x,y)=(4,3)$$

ist nur dann Lösung, wenn es beide Gleichungen erfüllt.

Probe in der ersten Gleichung:

$$4+3=7.$$

Probe in der zweiten Gleichung:

$$2\cdot 4-3=5.$$

Beide Aussagen sind wahr. Daher ist

$$(4,3)$$

eine Lösung des Gleichungssystems.

2. Gleichungssystem aus einem Kontext

Bei einer Veranstaltung werden insgesamt $120$ Tickets verkauft.

Ein Erwachsenenticket kostet $10\,€$, ein Jugendticket $6\,€$. Die Einnahmen betragen $960\,€$.

Wir setzen:

$$x=\text{Anzahl der Erwachsenentickets}$$

und:

$$y=\text{Anzahl der Jugendtickets}.$$

Anzahlsgleichung:

$$x+y=120.$$

Einnahmengleichung:

$$10x+6y=960.$$

Damit entsteht:

$$\begin{aligned} x+y&=120\\ 10x+6y&=960. \end{aligned}$$

3. Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst und in die andere Gleichung eingesetzt.

Gegeben:

$$\begin{aligned} x+y&=7\\ 2x-y&=5. \end{aligned}$$

Die erste Gleichung wird nach $y$ aufgelöst:

$$x+y=7 \overset{-x}{\Longleftrightarrow} y=7-x.$$

Dieser Ausdruck wird in die zweite Gleichung eingesetzt:

$$2x-y=5 \overset{y=7-x}{\Longleftrightarrow} 2x-(7-x)=5.$$

Nun wird schrittweise umgeformt:

$$2x-(7-x)=5 \overset{\text{Klammer auflösen}}{\Longleftrightarrow} 2x-7+x=5 \overset{\text{zusammenfassen}}{\Longleftrightarrow} 3x-7=5 \overset{+7}{\Longleftrightarrow} 3x=12 \overset{:3}{\Longleftrightarrow} x=4.$$

Rückeinsetzen:

$$y=7-x \overset{x=4}{\Longleftrightarrow} y=7-4 \overset{\text{ausrechnen}}{\Longleftrightarrow} y=3.$$

Lösung:

$$L=\{(4,3)\}.$$

4. Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst. Anschließend werden die beiden Ausdrücke gleichgesetzt.

Gegeben:

$$\begin{aligned} y&=2x+1\\ y&=-x+7. \end{aligned}$$

Da beide rechten Seiten denselben Wert $y$ beschreiben, gilt:

$$2x+1=-x+7.$$

Nun wird schrittweise gelöst:

$$2x+1=-x+7 \overset{+x}{\Longleftrightarrow} 3x+1=7 \overset{-1}{\Longleftrightarrow} 3x=6 \overset{:3}{\Longleftrightarrow} x=2.$$

Rückeinsetzen in eine der beiden Gleichungen:

$$y=2x+1 \overset{x=2}{\Longleftrightarrow} y=2\cdot 2+1 \overset{\text{ausrechnen}}{\Longleftrightarrow} y=5.$$

Lösung:

$$L=\{(2,5)\}.$$

Merksatz: Das Gleichsetzungsverfahren ist besonders günstig, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen aufgelöst sind oder leicht so umgeformt werden können.

5. Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so addiert oder subtrahiert, dass eine Variable wegfällt.

Gegeben:

$$\begin{aligned} 2x+y&=9\\ 3x-y&=6. \end{aligned}$$

Die Gleichungen werden addiert:

$$\begin{aligned} 2x+y&=9\\ 3x-y&=6 \end{aligned} \quad \overset{\text{addieren}}{\Longrightarrow} \quad 5x=15.$$

Nun wird gelöst:

$$5x=15 \overset{:5}{\Longleftrightarrow} x=3.$$

Rückeinsetzen:

$$2x+y=9 \overset{x=3}{\Longleftrightarrow} 2\cdot 3+y=9 \overset{\text{ausrechnen}}{\Longleftrightarrow} 6+y=9 \overset{-6}{\Longleftrightarrow} y=3.$$

Lösung:

$$L=\{(3,3)\}.$$

Koeffizienten passend machen

Gegeben:

$$\begin{aligned} 2x+3y&=12\\ 4x+y&=10. \end{aligned}$$

Die zweite Gleichung wird mit $-3$ multipliziert:

$$4x+y=10 \overset{\cdot(-3)}{\Longleftrightarrow} -12x-3y=-30.$$

Danach können die Gleichungen addiert werden:

$$\begin{aligned} 2x+3y&=12\\ -12x-3y&=-30 \end{aligned} \quad \overset{\text{addieren}}{\Longrightarrow} \quad -10x=-18.$$

Somit:

$$-10x=-18 \overset{:(-10)}{\Longleftrightarrow} x=\frac95.$$

6. Verfahren auswählen

Alle drei Verfahren führen bei korrekter Anwendung zum selben Lösungsfall.

7. Genau eine Lösung

Beispiel:

$$\begin{aligned} y&=x+1\\ y&=-x+5. \end{aligned}$$

Gleichsetzen:

$$x+1=-x+5 \overset{+x}{\Longleftrightarrow} 2x+1=5 \overset{-1}{\Longleftrightarrow} 2x=4 \overset{:2}{\Longleftrightarrow} x=2.$$

Dann gilt:

$$y=3.$$

Das System besitzt genau ein Lösungspaar:

$$L=\{(2,3)\}.$$

Geometrisch schneiden sich die beiden Geraden in genau einem Punkt.

8. Keine Lösung

Beispiel:

$$\begin{aligned} y&=2x+1\\ y&=2x+4. \end{aligned}$$

Gleichsetzen:

$$2x+1=2x+4 \overset{-2x}{\Longleftrightarrow} 1=4.$$

Die Aussage ist falsch. Daher:

$$L=\varnothing.$$

Geometrisch sind die Geraden parallel und verschieden.

9. Unendlich viele Lösungen

Beispiel:

$$\begin{aligned} y&=2x+1\\ 2y&=4x+2. \end{aligned}$$

Die zweite Gleichung wird durch $2$ dividiert:

$$2y=4x+2 \overset{:2}{\Longleftrightarrow} y=2x+1.$$

Damit beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade.

Beim Gleichsetzen entsteht:

$$2x+1=2x+1 \overset{-2x}{\Longleftrightarrow} 1=1.$$

Die Aussage ist immer wahr. Daher gibt es unendlich viele Lösungspaare:

$$L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=2x+1\}.$$

10. Geometrische Deutung

Jede lineare Gleichung in zwei Variablen beschreibt eine Gerade.

Ein Gleichungssystem fragt nach gemeinsamen Punkten.

11. Steigung und Achsenabschnitt

Eine lineare Gleichung kann in die Form

$$y=kx+d$$

gebracht werden.

Dabei ist:

• $k$ die Steigung,
• $d$ der $y$-Achsenabschnitt.

Verschiedene Steigungen

Für

$$k_1\neq k_2$$

schneiden sich die Geraden. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung.

Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte

Für

$$k_1=k_2 \qquad\text{und}\qquad d_1\neq d_2$$

sind die Geraden parallel und verschieden. Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

Gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt

Für

$$k_1=k_2 \qquad\text{und}\qquad d_1=d_2$$

sind die Geraden identisch. Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

12. Kontextbeispiel lösen

Aus

$$\begin{aligned} x+y&=120\\ 10x+6y&=960 \end{aligned}$$

wird die erste Gleichung nach $y$ aufgelöst:

$$x+y=120 \overset{-x}{\Longleftrightarrow} y=120-x.$$

Einsetzen:

$$10x+6y=960 \overset{y=120-x}{\Longleftrightarrow} 10x+6(120-x)=960.$$

Nun schrittweise umformen:

$$10x+6(120-x)=960 \overset{\text{Klammer auflösen}}{\Longleftrightarrow} 10x+720-6x=960 \overset{\text{zusammenfassen}}{\Longleftrightarrow} 4x+720=960 \overset{-720}{\Longleftrightarrow} 4x=240 \overset{:4}{\Longleftrightarrow} x=60.$$

Rückeinsetzen:

$$y=120-x \overset{x=60}{\Longleftrightarrow} y=120-60 \overset{\text{ausrechnen}}{\Longleftrightarrow} y=60.$$

Deutung:

Es wurden $60$ Erwachsenentickets und $60$ Jugendtickets verkauft.

13. Probe

Die Lösung wird in beide Ausgangsgleichungen eingesetzt.

Anzahl:

$$60+60=120.$$

Einnahmen:

$$10\cdot 60+6\cdot 60=960.$$

Beide Bedingungen sind erfüllt.

14. Kontextbedingungen

Bei Ticketzahlen gilt:

$$x,y\in\mathbb{N}_0.$$

Negative oder nicht ganzzahlige Lösungen wären im Kontext unzulässig.

Bei Längen gilt normalerweise:

$$x>0, \qquad y>0.$$

Die algebraische Lösung muss daher immer sachlich geprüft werden.

15. Typische Fehler

Variablen nicht definiert

Es muss klar sein, welche Größe $x$ und welche Größe $y$ beschreibt.

Nur eine Bedingung verwendet

Für zwei unbekannte Größen werden normalerweise zwei unabhängige Gleichungen benötigt.

Falsche Zuordnung von Preis und Anzahl

Der Preis eines Tickettyps muss mit der zugehörigen Anzahl multipliziert werden.

Ganze Gleichung nicht multipliziert

Beim Additionsverfahren muss jeder Term einer Gleichung mit demselben Faktor multipliziert werden.

Rückeinsetzen vergessen

Nach der ersten Variable muss auch die zweite Variable bestimmt werden.

Lösungsfall falsch gedeutet

Eine wahre Aussage wie

$$0=0$$

bedeutet unendlich viele gemeinsame Punkte.

Eine falsche Aussage wie

$$0=2$$

bedeutet keine Lösung.

16. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Ein lineares Gleichungssystem beschreibt mehrere gleichzeitig geltende Bedingungen.
• Eine Lösung ist ein geordnetes Zahlenpaar.
• Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren sind gleichwertige Lösungswege.
• Jeder Umformungsschritt wird explizit angegeben.
• Es gibt genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
• Geometrisch entsprechen diese Fälle sich schneidenden, parallelen oder identischen Geraden.
• Die Lösung muss in beiden Gleichungen geprüft und im Kontext gedeutet werden.