Lineare Zusammenhänge erkennen und darstellen

Kompetenzcode: FA 2.1
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Ein Zusammenhang ist linear, wenn gleiche Änderungen der Eingabe immer zu gleichen absoluten Änderungen der Ausgabe führen. Derselbe Zusammenhang kann durch Text, Tabelle, Graph oder Formel beschrieben werden.

Kernidee: Bei einem linearen Zusammenhang ist die Änderung der Ausgabe pro Einheit der Eingabe konstant.

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1. Was bedeutet „linear“?

Eine lineare Funktion lässt sich in der Form

$$f(x)=kx+d$$

schreiben.

Dabei bedeutet:

Für zwei verschiedene Eingabewerte gilt

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$

Damit beschreibt $k$ zwei eng zusammenhängende Eigenschaften:

$$\overset{\text{Steigung der Geraden}}{k} = \overset{\text{Änderung pro }x\text{-Einheit}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}.$$

• $k>0$: Die Gerade steigt.
• $k<0$: Die Gerade fällt.
• $k=0$: Die Gerade ist waagrecht.
• Je größer $|k|$ ist, desto steiler verläuft die Gerade.

Bei einer linearen Funktion bleibt diese Steigung überall gleich:

$$\overset{\text{konstant}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=k.$$

Wichtig: „Linear“ bedeutet nicht automatisch „steigend“. Eine lineare Funktion kann steigen, fallen oder konstant sein.

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2. Vier Darstellungen – ein Zusammenhang

Ein Taxi verlangt $4\,€$ Grundgebühr und $2\,€$ pro Kilometer.

Text

• Startwert: $4\,€$
• Änderung: $+2\,€$ pro Kilometer

Formel

$$K(x)=2x+4.$$

Tabelle

Graph

Die Tabellenpunkte liegen auf einer Geraden. Bei $x=0$ ist der Funktionswert $4$.

Darstellungswechsel: Text, Tabelle, Graph und Formel sehen unterschiedlich aus, beschreiben aber dieselbe Abhängigkeit.

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3. Linearität in Tabellen erkennen

Fall A: gleiche $x$-Schritte

Die $x$-Werte steigen immer um $1$. Gleichzeitig steigen die Funktionswerte immer um $3$.

$$\overset{\Delta x=1}{x\mapsto x+1} \qquad\Longrightarrow\qquad \overset{\Delta y=3}{f(x)\mapsto f(x)+3}$$

Der Zusammenhang ist linear und $k=3$.

Fall B: ungleiche $x$-Schritte

Hier sind die $x$-Schritte unterschiedlich. Deshalb berechnen wir für jedes Intervall den Quotienten:

$$\begin{aligned} k_1&=\frac{7-1}{2-0}=3,\\ k_2&=\frac{16-7}{5-2}=3. \end{aligned}$$

Beide Quotienten sind gleich. Der Zusammenhang ist linear.

Merke: Erste Differenzen darfst du nur bei gleichen $x$-Schritten direkt vergleichen. Bei ungleichen Schritten musst du $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ berechnen.

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4. Nichtlineare Tabellen erkennen

Die $x$-Schritte sind gleich, aber die Änderungen der Funktionswerte nicht. Der Zusammenhang ist daher nicht linear.

Vorsicht bei nur zwei Punkten

Durch zwei verschiedene Punkte kann immer eine Gerade gelegt werden. Zwei Wertepaare allein beweisen daher noch nicht, dass ein realer Zusammenhang tatsächlich linear ist. Dazu braucht man weitere Werte oder eine begründete Modellannahme.

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5. Lineare Formeln erkennen

Typische lineare Formeln sind

$$f(x)=3x-5, \qquad g(x)=7-0{,}4x, \qquad h(x)=6.$$

Die Variable $x$ kommt nur in der ersten Potenz vor und wird nicht mit sich selbst oder mit einer anderen $x$-abhängigen Größe multipliziert.

Nicht linear sind zum Beispiel

$$x^2+1, \qquad \frac{5}{x}, \qquad \sqrt{x}+2, \qquad 2^x.$$

Formeln zuerst vereinfachen

$$\begin{aligned} 3(x+2)-x &=3x+6-x\\ &=2x+6. \end{aligned}$$

Die vereinfachte Formel hat die Form $kx+d$. Der Zusammenhang ist linear.

Schnelltest: Kannst du die Formel vollständig in die Form $kx+d$ bringen?

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6. Lineare Graphen erkennen

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Beim Lesen eines Graphen:

1. Achsen und Einheiten prüfen,
2. Skalierung beachten,
3. mindestens zwei gut erkennbare Punkte auswählen,
4. kontrollieren, ob alle dargestellten Punkte auf derselben Geraden liegen.

Diskrete lineare Zusammenhänge

Bezeichnet $x$ zum Beispiel die Anzahl verkaufter Karten, sind nur ganze nichtnegative Werte sinnvoll. Dann besteht der sachlich sinnvolle Graph aus einzelnen Punkten. Diese Punkte können trotzdem auf einer Geraden liegen und einen linearen Zusammenhang beschreiben.

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7. Lineare Zusammenhänge in Texten erkennen

Typische Hinweise sind:

• „pro Stück“
• „je Kilometer“
• „in jeder Minute gleich viel“
• „nimmt monatlich um denselben Betrag zu“
• „Grundgebühr plus fester Betrag pro Einheit“

Beispiel: Tank

Ein Tank enthält anfangs $500$ Liter. Pro Minute fließen konstant $20$ Liter ab.

• Startwert: $500$
• Änderung pro Minute: $-20$

$$W(t)=500-20t.$$

Der Zusammenhang ist linear, solange die Abflussrate konstant bleibt und der Tank noch Wasser enthält.

Nichtlinearer Text

„Der Bestand wächst jedes Jahr um $5\,\%$.“

Hier ist nicht die absolute, sondern die relative Änderung konstant. Das beschreibt im Allgemeinen keinen linearen Zusammenhang.

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8. Zwischen Darstellungen wechseln

Von der Formel zur Tabelle

Gegeben:

$$f(x)=2x+1.$$

Wir wählen die Eingabewerte $x=0,1,2,3$ und setzen sie einzeln in die Funktionsgleichung ein.

1. Für $x=0$

$$\begin{aligned} f(0)&=2\cdot0+1\\ &=0+1\\ &=1 \end{aligned}$$

2. Für $x=1$

$$\begin{aligned} f(1)&=2\cdot1+1\\ &=2+1\\ &=3 \end{aligned}$$

3. Für $x=2$

$$\begin{aligned} f(2)&=2\cdot2+1\\ &=4+1\\ &=5 \end{aligned}$$

4. Für $x=3$

$$\begin{aligned} f(3)&=2\cdot3+1\\ &=6+1\\ &=7 \end{aligned}$$

Jetzt übertragen wir die berechneten Wertepaare in die Tabelle:

Kontrolle: Wenn $x$ jeweils um $1$ steigt, steigt $f(x)$ jeweils um $2$. Das entspricht der Steigung $k=2$.

Von der Tabelle zur Formel

Zuerst die konstante Änderung bestimmen:

$$k=\frac{5-3}{2-1}=2.$$

Dann einen Punkt einsetzen, zum Beispiel $(1\mid3)$:

$$\begin{aligned} 3&=2\cdot1+d\\ 3&=2+d \qquad /-2\\ 1&=d \end{aligned}$$

Damit gilt

$$f(x)=2x+1.$$

Von der Formel zum Graphen

Für $f(x)=2x+1$ genügen zwei Punkte, zum Beispiel

$$(0\mid1) \qquad\text{und}\qquad (2\mid5).$$

Diese Punkte eintragen und durch eine Gerade verbinden.

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9. Sonderfälle

Direkte Proportionalität

$$f(x)=kx$$

ist ein linearer Zusammenhang mit $d=0$. Der Graph verläuft durch den Ursprung.

Konstante Funktion

$$f(x)=6$$

ist ebenfalls linear. Hier gilt $k=0$; der Graph ist waagrecht.

Fallende Gerade

Bei $k<0$ sinkt der Funktionswert, wenn $x$ steigt. Der Zusammenhang bleibt linear.

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10. Typische Fehler

• Nur auf „steigend“ achten statt auf konstante absolute Änderung.
• Erste Differenzen bei ungleichen $x$-Schritten vergleichen.
• Eine gekrümmte Kurve als Gerade ansehen.
• „Prozent pro Jahr“ mit „gleicher Betrag pro Jahr“ verwechseln.
• Eine Formel beurteilen, bevor sie vereinfacht wurde.
• Aus nur zwei Messwerten vorschnell ein lineares Gesetz ableiten.
• Achsenskalierung oder Einheiten übersehen.

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11. Arbeitsplan

1. Darstellung bestimmen: Text, Tabelle, Graph oder Formel.
2. Eingabe- und Ausgabegröße mit Einheit klären.
3. Nach einer konstanten absoluten Änderung suchen.
4. Bei Tabellen die $x$-Schritte prüfen.
5. Bei ungleichen $x$-Schritten $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ vergleichen.

Kontrollfrage: Bleibt die Änderung der Ausgabe pro Einheit der Eingabe wirklich konstant?