Werte und Parameter linearer Funktionen ermitteln

Kompetenzcode: FA 2.2
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Bei einer linearen Funktion sollen Wertepaare sowie die Parameter $k$ und $d$ aus Gleichungen, Tabellen und Graphen ermittelt und im Kontext gedeutet werden.

Kernidee: $k$ beschreibt die Steigung beziehungsweise die Änderung pro $x$-Einheit. $d$ ist der Funktionswert bei $x=0$ und damit der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

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1. Die Form einer linearen Funktion

Eine lineare Funktion hat die Form

$$f(x)=kx+d.$$

Dabei gilt:

$$f(x) = \overset{\text{Steigung}}{k}\cdot x + \overset{\text{$y$-Achsenabschnitt}}{d}.$$

Aus dem Vorzeichen von $k$ folgt:

• $k>0$: Die Gerade steigt.
• $k<0$: Die Gerade fällt.
• $k=0$: Die Gerade ist waagrecht.

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2. Funktionswerte aus einer Gleichung ermitteln

Gegeben ist

$$f(x)=3x-2.$$

Gesucht ist der Funktionswert an der Stelle $x=4$.

Schritt 1: Den gegebenen Wert einsetzen

$$f(4)=3\cdot4-2.$$

Schritt 2: Multiplikation berechnen

$$f(4)=12-2.$$

Schritt 3: Ergebnis berechnen

$$f(4)=10.$$

Das zugehörige Wertepaar lautet

$$(4\mid10).$$

Merke: Ein Funktionswert ist eine Zahl. Ein Wertepaar besteht aus Eingabe und Ausgabe.

Negative Eingabewerte

Bei $x=-2$ muss der eingesetzte Wert geklammert werden:

$$\begin{aligned} f(-2)&=3\cdot(-2)-2\\ &=-6-2\\ &=-8. \end{aligned}$$

Das Wertepaar lautet $(-2\mid-8)$.

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3. Einen Argumentwert zu einem Funktionswert bestimmen

Gegeben ist wieder

$$f(x)=3x-2.$$

Gesucht ist jener $x$-Wert, für den $f(x)=10$ gilt.

Schritt 1: Funktionswert einsetzen

$$10=3x-2.$$

Schritt 2: Gleichung lösen

$$\begin{aligned} 10&=3x-2 \qquad /+2\\ 12&=3x \qquad /:3\\ 4&=x \end{aligned}$$

Also gehört zum Funktionswert $10$ der Argumentwert $x=4$.

Probe

$$f(4)=3\cdot4-2=10.$$

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4. Wertepaare prüfen

Liegt der Punkt $P=(2\mid7)$ auf dem Graphen von

$$f(x)=3x+1?$$

Wir setzen die $x$-Koordinate ein:

$$\begin{aligned} f(2)&=3\cdot2+1\\ &=6+1\\ &=7. \end{aligned}$$

Der berechnete Funktionswert stimmt mit der $y$-Koordinate überein. Daher liegt $P$ auf dem Graphen.

Punktprobe: Ein Punkt $(x\mid y)$ liegt auf dem Graphen, wenn $f(x)=y$ gilt.

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5. $k$ und $d$ aus einer Gleichung ablesen

Ist die Gleichung bereits in der Form $f(x)=kx+d$ gegeben, können die Parameter direkt abgelesen werden.

Beispiel 1

$$f(x)=-2x+5.$$

Daher gilt:

$$\overset{\text{Steigung}}{k}=-2, \qquad \overset{\text{$y$-Achsenabschnitt}}{d}=5.$$

Beispiel 2: Fehlender konstanter Term

$$g(x)=4x.$$

Das kann als $g(x)=4x+0$ geschrieben werden. Somit gilt

$$k=4, \qquad d=0.$$

Beispiel 3: Konstante Funktion

$$h(x)=7=0\cdot x+7.$$

Daher ist

$$k=0, \qquad d=7.$$

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6. Gleichungen zuerst ordnen und vereinfachen

Die Parameter dürfen erst abgelesen werden, wenn die Gleichung vollständig in der Form $f(x)=kx+d$ steht.

Beispiel 1: Reihenfolge ändern

$$f(x)=6-3x=-3x+6.$$

Damit gilt

$$k=-3, \qquad d=6.$$

Beispiel 2: Klammern auflösen

$$\begin{aligned} g(x)&=2(x+3)-x\\ &=2x+6-x\\ &=x+6. \end{aligned}$$

Somit gilt

$$k=1, \qquad d=6.$$

Typischer Fehler: Bei $f(x)=6-3x$ ist $k=-3$, nicht $3$.

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7. $k$ aus zwei Punkten bestimmen

Für zwei verschiedene Punkte

$$P_1=(x_1\mid y_1), \qquad P_2=(x_2\mid y_2)$$

gilt

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Beispiel

Gegeben sind

$$P_1=(1\mid3), \qquad P_2=(4\mid9).$$

Dann ist

$$\begin{aligned} k&=\frac{9-3}{4-1}\\ &=\frac{6}{3}\\ &=2. \end{aligned}$$

Die Gerade steigt also pro $x$-Einheit um $2$.

Wichtig: Zähler und Nenner müssen in derselben Punktreihenfolge gebildet werden.

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8. $d$ mit einem Punkt berechnen

Nach der Bestimmung von $k$ setzen wir einen bekannten Punkt in

$$y=kx+d$$

ein.

Für $k=2$ und den Punkt $P_1=(1\mid3)$ gilt:

$$\begin{aligned} 3&=2\cdot1+d\\ 3&=2+d \qquad /-2\\ 1&=d \end{aligned}$$

Damit lautet die Funktionsgleichung

$$f(x)=2x+1.$$

Probe mit dem zweiten Punkt

$$f(4)=2\cdot4+1=9.$$

Der zweite Punkt wird korrekt getroffen.

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9. Parameter aus einer Tabelle bestimmen

Fall A: $x=0$ ist enthalten

Die Funktionswerte steigen bei jedem $x$-Schritt um $3$. Daher ist

$$k=3.$$

Außerdem kann direkt abgelesen werden:

$$d=f(0)=4.$$

Somit gilt

$$f(x)=3x+4.$$

Fall B: $x=0$ fehlt

Zuerst bestimmen wir $k$:

$$\begin{aligned} k&=\frac{16-7}{5-2}\\ &=\frac{9}{3}\\ &=3. \end{aligned}$$

Dann setzen wir den Punkt $(2\mid7)$ ein:

$$\begin{aligned} 7&=3\cdot2+d\\ 7&=6+d \qquad /-6\\ 1&=d \end{aligned}$$

Daher lautet die Gleichung

$$f(x)=3x+1.$$

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10. Parameter aus einem Graphen bestimmen

$d$ ablesen

$d$ ist der Funktionswert bei $x=0$. Im Graphen ist das der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

$k$ bestimmen

1. Zwei gut ablesbare Punkte auf der Geraden auswählen.
2. Die Achsenskalierung prüfen.
3. $\Delta y$ und $\Delta x$ bestimmen.
4. Den Quotienten berechnen:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Beispiel

Eine Gerade verläuft durch $(0\mid-1)$ und $(3\mid5)$.

$$\begin{aligned} k&=\frac{5-(-1)}{3-0}\\ &=\frac{6}{3}\\ &=2. \end{aligned}$$

Aus $(0\mid-1)$ folgt direkt

$$d=-1.$$

Die Gleichung lautet

$$f(x)=2x-1.$$

Achtung: Kästchen zählen genügt nur dann, wenn die Skalierung beider Achsen bekannt ist.

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11. Parameter im Kontext deuten

Ein Taximodell lautet

$$K(x)=2{,}4x+5.$$

Dabei ist $x$ die gefahrene Strecke in Kilometern und $K(x)$ der Preis in Euro.

Bedeutung von $k=2{,}4$

$$k=2{,}4\,\frac{€}{\mathrm{km}}.$$

Pro zusätzlich gefahrenem Kilometer steigen die Kosten um $2{,}40\,€$.

Bedeutung von $d=5$

$$d=5\,€.$$

Bei $x=0$ beträgt der Preis $5\,€$. Das ist die Grundgebühr.

Einheit von $k$: Ausgabe-Einheit pro Eingabe-Einheit.

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12. Ergebnisse kontrollieren

Kontrolle eines Funktionswertes

• Eingabewert noch einmal einsetzen.
• Rechenreihenfolge und Vorzeichen prüfen.
• Wertepaar mit Tabelle oder Graph vergleichen.

Kontrolle von $k$ und $d$

• Beide bekannten Punkte in die gefundene Gleichung einsetzen.
• $d=f(0)$ überprüfen.
• Vorzeichen von $k$ mit der Richtung der Geraden vergleichen.
• Einheiten im Kontext prüfen.

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13. Typische Fehler

• $x$-Wert und Funktionswert verwechseln.
• Einen negativen Eingabewert ohne Klammern einsetzen.
• Bei der Punktprobe nur die $x$-Koordinate betrachten.
• $k$ und $d$ vertauschen.
• Das Minuszeichen von $k$ übersehen.
• Zähler und Nenner beim Differenzenquotienten in verschiedener Reihenfolge bilden.
• Die Achsenskalierung im Graphen ignorieren.
• $$ aus einem Punkt mit direkt ablesen.

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14. Arbeitsplan

Funktionswert bestimmen

1. $x$-Wert einsetzen.
2. Negative Werte klammern.
3. Schrittweise berechnen.
4. Wertepaar angeben.
5. Plausibilität prüfen.

$k$ und $d$ bestimmen

1. Darstellung erkennen: Gleichung, Tabelle oder Graph.
2. Gleichung gegebenenfalls vereinfachen.
3. Zwei geeignete Punkte auswählen.
4. $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ berechnen.
5. $d$ ablesen oder mit einem Punkt berechnen.
6. Funktionsgleichung angeben.
7. Mit einem zweiten Punkt kontrollieren.
8. und im Kontext mit Einheiten deuten.