Wirkung der Parameter $k$ und $d$

Kompetenzcode: FA 2.3
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Bei der linearen Funktion

$$f(x)=kx+d$$

bestimmen $k$ und $d$ gemeinsam den Verlauf der Geraden.

Experimentiere zuerst mit der interaktiven Darstellung: Verändere nur einen Regler und halte den anderen fest. Beschreibe anschließend, was sich verändert und was gleich bleibt.

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1. Zwei Parameter – zwei Wirkungen

$$f(x) = \overset{\text{Steigung}}{k}\cdot x + \overset{\text{$y$-Achsenabschnitt}}{d}.$$

Grundregel: Beim Untersuchen einer Parameterwirkung wird immer nur ein Parameter verändert. Der andere bleibt fest.

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2. Die Wirkung von $k$

Wir betrachten

$$f_k(x)=kx+2.$$

Der Parameter $d=2$ bleibt fest:

$$f_k(0)=k\cdot0+2=2.$$

Alle Geraden verlaufen durch $(0\mid2)$. Wird $k$ verändert, dreht sich die Gerade um diesen festen Punkt.

Vorzeichen von $k$

• $k>0$: Die Gerade steigt.
• $k<0$: Die Gerade fällt.
• $k=0$: Die Gerade ist waagrecht.

Betrag von $k$

• großes $|k|$: steile Gerade
• kleines $|k|$: flache Gerade
• $|k|=1$: Änderung um genau $1$ pro $x$-Einheit

$$\overset{\text{Steigung}}{k} = \overset{\text{Änderung pro $x$-Einheit}}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}.$$

Vergleiche

$$f(x)=x+2, \qquad g(x)=3x+2, \qquad h(x)=-2x+2.$$

Alle drei Funktionen haben $d=2$. $f$ steigt flacher, $g$ steigt steiler und $h$ fällt.

Merksatz: $k$ verändert Richtung und Steilheit, aber nicht den Punkt $(0\mid d)$.

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3. Die Wirkung von $d$

Nun betrachten wir

$$f_d(x)=2x+d.$$

Der Parameter $k=2$ bleibt fest. Vergleiche:

$$f(x)=2x-3, \qquad g(x)=2x, \qquad h(x)=2x+4.$$

Alle Geraden haben dieselbe Steigung und sind parallel.

• $d=-3$: $y$-Achsenabschnitt $(0\mid-3)$
• $d=0$: Schnittpunkt im Ursprung

Wird $d$ um $3$ erhöht, steigen alle Funktionswerte um $3$:

$$\begin{aligned} g(x)&=2x+d,\\ h(x)&=2x+(d+3)\\ &=g(x)+3. \end{aligned}$$

Merksatz: $d$ verschiebt die Gerade parallel nach oben oder unten. Richtung und Steilheit bleiben gleich.

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4. Was bleibt jeweils gleich?

Nur $k$ wird verändert

Bei festem $d$ bleibt

$$f(0)=d$$

unverändert. Alle Geraden verlaufen durch $(0\mid d)$.

Nur $d$ wird verändert

Bei festem $k$ bleibt

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=k$$

unverändert. Alle verschiedenen Geraden sind parallel.

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5. Parameterwirkung in Tabellen

Nur $k$ verändert sich

Beide Funktionen besitzen denselben Startwert. Die Änderungen pro $x$-Einheit sind $1$ beziehungsweise $3$.

Nur $d$ verändert sich

Die Funktionswerte unterscheiden sich immer um $4$. Die Änderung pro $x$-Einheit bleibt $2$.

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6. Besondere Parameterwerte

$k=0$

$$f(x)=d.$$

Der Graph ist waagrecht.

$d=0$

$$f(x)=kx.$$

Der Graph verläuft durch den Ursprung. Für $k\neq0$ liegt direkte Proportionalität vor.

$k=0$ und $d=0$

$$f(x)=0.$$

Der Graph ist die $x$-Achse.

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7. Parameterbedingungen

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8. Parameter im Kontext deuten

Taxikosten

$$K(x)=2{,}4x+5.$$

• $k=2{,}4\,€/\mathrm{km}$: Preis pro Kilometer
• $d=5\,€$: Grundgebühr

Wird $k$ erhöht, wird jede zusätzliche Strecke teurer. Wird $d$ erhöht, steigen alle Fahrtpreise um denselben Betrag.

Wassertank

$$W(t)=500-20t.$$

• $k=-20\,\mathrm l/\mathrm{min}$: Abnahme pro Minute
• $d=500\,\mathrm l$: Anfangsinhalt

Ein stärker negatives $k$ bedeutet schnelleres Entleeren. Ein größeres $d$ bedeutet mehr Wasser zu Beginn.

Einheiten: $k$ besitzt die Einheit „Ausgabe-Einheit pro Eingabe-Einheit“. $d$ besitzt die Einheit der Ausgabegröße.

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9. Zwei Parameter gleichzeitig vergleichen

Vergleiche

$$f(x)=2x+1 \qquad\text{und}\qquad g(x)=-3x+4.$$

Hier verändern sich beide Parameter:

$$k_f=2, \quad d_f=1, \qquad k_g=-3, \quad d_g=4.$$

Eine vollständige Beschreibung nennt beide Wirkungen:

• $g$ fällt statt zu steigen.
• $g$ ist steiler, weil $|-3|>|2|$.
• $g$ schneidet die $y$-Achse weiter oben.

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10. Typische Fehler

• $k$ und $d$ vertauschen.
• Nur das Vorzeichen von $k$ betrachten und die Steilheit vergessen.
• „Größeres $k$“ mit „steiler“ gleichsetzen, ohne $|k|$ zu vergleichen.
• Bei verändertem $k$ eine Parallelverschiebung behaupten.

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11. Arbeitsplan

1. Beide Funktionen in die Form $f(x)=kx+d$ bringen.
2. $k$-Werte und $d$-Werte getrennt vergleichen.
3. Wirkung von $k$ beschreiben:

Kontrollfrage: Habe ich die Wirkungen von $k$ und $d$ getrennt beschrieben?