Charakteristische Eigenschaften linearer Funktionen

Kompetenzcode: FA 2.4
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine lineare Funktion besitzt eine konstante absolute Änderung. Gleiche Änderungen der Eingabe führen immer zu gleichen Änderungen des Funktionswertes.

Die zwei wichtigsten Schreibweisen dafür sind

$$f(x+1)=f(x)+k$$

und

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=k.$$

Leitidee: Bei einer linearen Funktion kommt bei jedem Schritt derselbe Betrag hinzu. Dieser Betrag ist die Steigung $k$.

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1. Die Schrittformel $f(x+1)=f(x)+k$

Zuerst betrachten wir die Eingabe:

$$\overset{\text{$x$ wird um $1$ erhöht}}{x+1}.$$

Aus der alten Eingabe $x$ wird also die neue Eingabe $x+1$.

Die gesamte Schrittformel lässt sich so lesen:

$$\overset{\text{neuer Funktionswert}}{f(x+1)} = \overset{\text{bisheriger Funktionswert}}{f(x)} + \overset{\text{konstante Änderung bei }\Delta x=1}{k}.$$

In Worten

Wird die Eingabe $x$ um $1$ erhöht, verändert sich der Funktionswert immer um $k$.

Dabei ist das Vorzeichen von $k$ wichtig:

• $k>0$: Zum bisherigen Funktionswert wird ein positiver Betrag addiert.
• $k<0$: „$+k$“ bedeutet eine Abnahme.
• $k=0$: Der Funktionswert bleibt gleich.

Beispiel mit positiver Steigung

Für

$$f(x)=3x+2$$

gilt

$$f(x+1)=f(x)+3.$$

Ist $f(4)=14$, dann folgt

$$\begin{aligned} f(5)&=f(4)+3\\ &=14+3\\ &=17. \end{aligned}$$

Beispiel mit negativer Steigung

Für

$$g(x)=-2x+7$$

gilt

$$g(x+1)=g(x)-2.$$

Ist $g(3)=1$, dann folgt

$$\begin{aligned} g(4)&=g(3)-2\\ &=1-2\\ &=-1. \end{aligned}$$

Wichtig: Die Zahl $1$ in $x+1$ beschreibt die Änderung der Eingabe. Die Zahl $k$ beschreibt die zugehörige Änderung der Ausgabe.

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2. Warum gilt die Schrittformel?

Gegeben ist eine beliebige lineare Funktion

$$f(x)=kx+d.$$

Wir ersetzen $x$ durch $x+1$:

$$\begin{aligned} f(x+1) &=k(x+1)+d\\ &=kx+k+d\\ &=\overset{\text{$f(x)$}}{(kx+d)}+k\\ &=f(x)+k. \end{aligned}$$

Der Parameter $d$ steckt bereits in $f(x)$. Für die Änderung von $x$ zu $x+1$ ist nur $k$ entscheidend.

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3. Die allgemeine Schrittformel

Die Eingabe muss nicht immer um $1$ verändert werden.

Für eine Änderung um $h$ gilt:

$$\overset{\text{neuer Funktionswert}}{f(x+h)} = \overset{\text{bisheriger Funktionswert}}{f(x)} + \overset{\text{Änderung bei einem Schritt der Breite }h}{k\cdot h}.$$

Also:

$$f(x+h)=f(x)+kh.$$

Beispiele

Für $f(x)=4x-1$ gilt:

$$f(x+2)=f(x)+8.$$

Denn

$$k\cdot h=4\cdot2=8.$$

Für $g(x)=-1{,}5x+6$ gilt:

$$g(x+4)=g(x)-6,$$

denn

$$-1{,}5\cdot4=-6.$$

Typischer Fehler: Bei einem Schritt von $2$ ist die Änderung nicht $k$, sondern $2k$.

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4. Konstante absolute Änderung in einer Tabelle

Betrachte die Tabelle:

Bei jedem Schritt $x\to x+1$ gilt:

$$\begin{aligned} 5-2&=3,\\ 8-5&=3,\\ 11-8&=3,\\ 14-11&=3. \end{aligned}$$

Die ersten Differenzen sind konstant. Daher ist

$$k=3.$$

Erkennungsregel bei gleichen $x$-Schritten

Wenn die $x$-Werte jeweils um denselben Betrag steigen, ist eine Tabelle genau dann linear, wenn die Änderungen der Funktionswerte konstant sind.

Achtung: Konstante Differenzen der Funktionswerte dürfen nur bei gleich großen $x$-Schritten direkt verglichen werden.

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5. Der konstante Differenzenquotient

Sind die $x$-Schritte nicht gleich groß, verwenden wir den Differenzenquotienten:

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=k.$$

Die Bestandteile bedeuten:

$$\frac{ \overset{\text{Änderung der Funktionswerte}}{f(x_2)-f(x_1)} }{ \overset{\text{Änderung der Eingaben}}{x_2-x_1} } = \overset{\text{konstante Steigung}}{k}.$$

Beispiel

Gegeben sind

$$P_1=(2\mid5), \qquad P_2=(7\mid20).$$

Dann gilt:

$$\begin{aligned} k &=\frac{20-5}{7-2}\\ &=\frac{15}{5}\\ &=3. \end{aligned}$$

Die Ausgabe steigt also pro zusätzlicher $x$-Einheit um $3$.

Gleiche Punktreihenfolge

Zähler und Nenner müssen in derselben Reihenfolge gebildet werden:

$$\frac{20-5}{7-2} = \frac{5-20}{2-7} = 3.$$

Nicht zulässig wäre eine gemischte Reihenfolge.

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6. Warum ist der Differenzenquotient konstant?

Für

$$f(x)=kx+d$$

gilt:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}& {\displaystyle =\frac{(k{x}_2+d)-(k{x}_1+d)}{x_2-x_1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{k{x}_2-k{x}_1}{x_2-x_1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{k(x_2-x_1)}{x_2-x_1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle }\end{array}$$

Der Parameter $d$ fällt bei der Differenz weg. Deshalb bestimmt $d$ zwar die Lage der Geraden, aber nicht ihre Änderungsrate.

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7. Zusammenhang mit der Ableitung

Eine lineare Funktion hat an jeder Stelle dieselbe Steigung.

Daher gilt:

$$\overset{\text{Ableitung an jeder Stelle}}{f'(x)} = \overset{\text{konstante Steigung}}{k}.$$

Für

$$f(x)=kx+d$$

ist also

$$f'(x)=k.$$

Die Ableitung ist keine neue veränderliche Funktion, sondern eine konstante Funktion:

$$f'(x)=k.$$

Beispiel

$$f(x)=-4x+9$$

hat die Ableitung

$$f'(x)=-4.$$

Die Gerade fällt an jeder Stelle mit derselben Steigung.

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8. Drei gleichwertige Kennzeichen

Eine Funktion ist auf einem betrachteten Bereich linear, wenn sich dieselbe konstante Änderung in den verschiedenen Darstellungen zeigt.

Formel

$$f(x)=kx+d.$$

Schrittformel

$$f(x+1)=f(x)+k.$$

Differenzenquotient

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=k.$$

Graph

Der Graph ist eine Gerade.

Tabelle

Bei gleich großen $x$-Schritten sind die ersten Differenzen konstant.

Merksatz: Diese Eigenschaften beschreiben dieselbe mathematische Idee in verschiedenen Darstellungen.

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9. Schrittformel im Kontext

Taxikosten

$$K(x)=2{,}4x+5,$$

wobei $x$ in Kilometern und $K(x)$ in Euro gemessen wird.

Dann gilt:

$$K(x+1)=K(x)+2{,}4.$$

In Worten:

Wird die Fahrt um einen Kilometer verlängert, steigen die Kosten um $2{,}40\,€$.

Wassertank

$$W(t)=500-20t,$$

wobei $t$ in Minuten und $W(t)$ in Litern gemessen wird.

Dann gilt:

$$W(t+1)=W(t)-20.$$

In Worten:

Nach jeder weiteren Minute befinden sich $20$ Liter weniger im Tank.

Temperatur

$$T(t)=18-0{,}5t.$$

Dann gilt:

$$T(t+4)=T(t)-2.$$

Denn in vier Stunden beträgt die Änderung

$$-0{,}5\cdot4=-2.$$

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10. Einheiten richtig deuten

Die Steigung besitzt die Einheit

$$\frac{\text{Ausgabe-Einheit}}{\text{Eingabe-Einheit}}.$$

Beispiele:

• Euro pro Kilometer
• Liter pro Minute
• Grad Celsius pro Stunde
• Meter pro Sekunde

In der Schrittformel für $x+1$ ist $k$ genau die Änderung der Ausgabe bei einer Eingabeeinheit.

Bei einem Schritt der Breite $h$ besitzt $kh$ die Einheit der Ausgabegröße.

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11. Linearität prüfen

Tabelle mit gleichen Schritten

Die Differenzen sind konstant $3$. Die Daten sind linear.

Nicht lineare Tabelle

Die Differenzen lauten $1,2,4$. Sie sind nicht konstant. Die Daten sind nicht linear.

Ungleiche $x$-Schritte

Bei ungleichen Schritten müssen mehrere Differenzenquotienten verglichen werden. Sind sie nicht gleich, liegt keine lineare Funktion vor.

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12. Typische Fehler

• $f(x+1)$ mit $f(x)+1$ verwechseln.
• $x+1$ als Erhöhung des Funktionswertes um $$ deuten.

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13. Arbeitsplan

Schrittformel verwenden

1. Schrittbreite bestimmen.
2. Bei $h=1$ die Beziehung $f(x+1)=f(x)+k$ verwenden.
3. Bei allgemeinem $h$ verwenden.

Linearität prüfen

1. $x$-Schritte untersuchen.
2. Bei gleichen Schritten die ersten Differenzen berechnen.
3. Bei ungleichen Schritten Differenzenquotienten berechnen.
4. Prüfen, ob überall derselbe Wert $k$ entsteht.
5. Mit Graph oder Gleichung kontrollieren.
6. Aussage auf den betrachteten Bereich beschränken.

Kontrollfrage: Habe ich klar getrennt, wie sich die Eingabe und wie sich der Funktionswert verändert?