Angemessenheit linearer Modelle bewerten

Kompetenzcode: FA 2.5
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Ein mathematisches Modell ist eine vereinfachte Beschreibung einer realen Situation. Ein lineares Modell hat die Form

$$f(x)=kx+d$$

und setzt voraus, dass sich die Ausgabe pro Eingabeeinheit annähernd um denselben Betrag verändert.

Leitfrage: Beschreibt eine Gerade die Daten und die reale Situation im betrachteten Bereich ausreichend gut?

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Orientierung bei der Modellbeurteilung

Eine überzeugende Beurteilung folgt einer klaren Reihenfolge:

1. Prüfen, ob die Daten annähernd eine lineare Entwicklung zeigen.
2. Steigung und Achsenabschnitt im Sachkontext deuten.
3. Gültigkeitsbereich, Interpolation und Extrapolation untersuchen.
4. Sachliche Grenzen wie Untergrenzen, Obergrenzen oder Ganzzahligkeit berücksichtigen.
5. Abweichungen bei Bedarf mit Residuen oder Fehlerkennzahlen genauer untersuchen.
6. Das abschließende Urteil mit Daten und Kontext begründen.

Die zahlenmäßige Fehleranalyse ergänzt das Modellurteil. Sie ersetzt nicht die sachliche Beurteilung.

Eine gute Beurteilung besteht nicht nur aus „linear“ oder „nicht linear“. Sie nennt immer

• den betrachteten Bereich,
• die Übereinstimmung mit den Daten,
• die sachlichen Grenzen,
• die Sicherheit der Vorhersage.

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1. Was bedeutet „angemessen“?

Ein lineares Modell ist angemessen, wenn es für den vorgesehenen Zweck eine ausreichend genaue und sachlich sinnvolle Beschreibung liefert.

Dabei gibt es keine allgemeine Fehlergrenze, die in jeder Situation gilt. Eine Abweichung von $1$ Einheit kann

• bei einer groben Kostenschätzung unproblematisch,
• bei einer medizinischen Dosierung unzulässig

sein.

Deshalb muss eine Beurteilung immer den Kontext berücksichtigen.

Vier Prüfbereiche

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2. Konstante absolute Änderung prüfen

Eine lineare Funktion besitzt die charakteristische Beziehung

$$f(x+h)=f(x)+kh.$$

Bei gleichen $x$-Schritten sollten die ersten Differenzen daher annähernd konstant sein.

Beispiel: gut linear beschreibbar

Die Differenzen sind

$$1{,}9,\quad 2{,}2,\quad 1{,}9,\quad 1{,}9.$$

Sie sind nicht exakt gleich, aber liegen nahe beieinander. Ein lineares Modell kann angemessen sein.

Beispiel: nicht gut linear beschreibbar

Die Differenzen lauten

$$1,\quad 2,\quad 4,\quad 8.$$

Die Änderung wächst systematisch. Ein lineares Modell ist nicht angemessen.

Wichtig: Messwerte müssen nicht exakt auf einer Geraden liegen. Entscheidend ist, ob die Abweichungen klein und unsystematisch sind.

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3. Messpunkte und lineares Modell vergleichen

Hinweis: Residuen machen Abweichungen sichtbar. Das Modellurteil beginnt trotzdem bei Verlauf, Gültigkeitsbereich und Sachkontext.

Ein lineares Modell liefert zu jedem Eingabewert einen Modellwert

$$\widehat y=f(x).$$

Die Abweichung eines Messwertes $y$ vom Modellwert heißt Residuum:

$$\overset{\text{Residuum}}{r} = \overset{\text{Messwert}}{y} - \overset{\text{Modellwert}}{\widehat y}.$$

Also:

$$r=y-f(x).$$

• $r>0$: Der Messwert liegt über der Modellgeraden.
• $r<0$: Der Messwert liegt unter der Modellgeraden.
• $r=0$: Modell und Messwert stimmen überein.

Zufällige Abweichungen

Kleine positive und negative Residuen ohne erkennbares Muster sprechen für ein brauchbares lineares Modell.

Systematische Abweichungen

Liegen die Punkte zuerst unter, dann über und später wieder unter der Geraden, zeigt sich eine Krümmung. Das lineare Modell verfehlt die Struktur der Daten.

Merksatz: Nicht nur die Größe, sondern auch das Muster der Abweichungen ist wichtig.

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4. Abweichungen zahlenmäßig beurteilen

Die folgenden Kennzahlen helfen, Abweichungen genauer zu beschreiben. Sie werden gemeinsam mit Datenverlauf, Gültigkeitsbereich und Sachkontext beurteilt.

Für einzelne Datenpunkte kann die absolute Abweichung verwendet werden:

$$|r|=|y-f(x)|.$$

Mögliche Kennzahlen sind:

Größte absolute Abweichung

$$\max |r_i|.$$

Sie zeigt den ungünstigsten beobachteten Fehler.

Mittlere absolute Abweichung

$$\frac{|r_1|+|r_2|+\dots+|r_n|}{n}.$$

Sie beschreibt die durchschnittliche Fehlergröße.

Relative Abweichung

Bei sehr unterschiedlich großen Werten kann ein prozentualer Vergleich sinnvoll sein:

$$\frac{|y-f(x)|}{|y|}\cdot100\%.$$

Achtung: Eine Kennzahl allein entscheidet nicht über die Angemessenheit. Sachliche Folgen und das Residuenmuster müssen ebenfalls geprüft werden.

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5. Zwei Punkte reichen nicht zur Modellprüfung

Durch zwei verschiedene Punkte verläuft immer genau eine Gerade.

Daher kann man aus zwei Punkten zwar ein lineares Modell bestimmen, aber nicht sicher beurteilen, ob der reale Zusammenhang tatsächlich linear ist.

Zur Beurteilung braucht man möglichst

• mehrere Messpunkte,
• einen ausreichend großen Beobachtungsbereich,
• Wissen über den Sachzusammenhang.

Beispiel

Die Punkte

$$(1\mid1) \qquad\text{und}\qquad (3\mid9)$$

liegen sowohl auf einer passenden Sekante als auch auf dem Graphen von

$$f(x)=x^2.$$

Zwei Punkte allein zeigen nicht, dass die Entwicklung zwischen und außerhalb dieser Punkte linear ist.

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6. Interpolation und Extrapolation

Interpolation

Eine Vorhersage zwischen beobachteten Eingabewerten heißt Interpolation.

Extrapolation

Eine Vorhersage außerhalb des beobachteten Bereichs heißt Extrapolation.

Interpolation ist meistens verlässlicher, weil sie innerhalb des untersuchten Bereichs bleibt.

Bei einer Extrapolation wird angenommen, dass die bisherige Entwicklung weitergeht. Diese Annahme kann falsch sein.

Beispiel

Messdaten liegen für

$$0\leq t\leq10$$

vor.

• Vorhersage für $t=6$: Interpolation
• Vorhersage für $t=12$: Extrapolation
• Vorhersage für $t=100$: sehr weitreichende Extrapolation

Je weiter eine Vorhersage vom Datenbereich entfernt liegt, desto kritischer muss sie bewertet werden.

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7. Gültigkeitsbereich angeben

Ein Modell kann in einem begrenzten Bereich angemessen und außerhalb dieses Bereichs ungeeignet sein.

Eine vollständige Modellangabe besteht deshalb aus

$$f(x)=kx+d$$

und einem Gültigkeitsbereich, zum Beispiel

$$0\leq x\leq20.$$

Lokale Linearität

Viele reale Entwicklungen sind nur in einem kleinen Bereich annähernd linear:

• Temperaturänderung über wenige Minuten
• Wachstum in einer frühen Phase
• Materialdehnung bei kleiner Belastung
• Geschwindigkeit in einem kurzen Zeitintervall

Merksatz: „Im untersuchten Bereich annähernd linear“ ist oft fachlich richtiger als „der Zusammenhang ist linear“.

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8. Sachliche Grenzen prüfen

Ein lineares Modell kann mathematisch für alle reellen Zahlen berechnet werden. In der Realität sind jedoch häufig nur bestimmte Werte möglich.

Untergrenzen

• Tankinhalt kann nicht negativ sein.
• Anzahl von Personen kann nicht kleiner als $0$ sein.
• Strecke und Zeit sind in vielen Modellen nicht negativ.

Obergrenzen

• Ein Behälter besitzt ein maximales Volumen.
• Eine Prozentangabe kann nicht beliebig groß werden.
• Eine Population ist durch Ressourcen begrenzt.
• Die Körpertemperatur kann nicht dauerhaft linear steigen.

Diskrete Größen

Bei Personen, Fahrzeugen oder Produkten sind oft nur ganze Zahlen sinnvoll.

Definitionsbereich

Auch die Eingabe kann sachlich beschränkt sein:

$$x\geq0$$

oder

$$0\leq x\leq x_{\max}.$$

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9. Beispiel: Tankmodell

Ein Tank enthält anfangs $500$ Liter und verliert pro Minute $20$ Liter:

$$W(t)=500-20t.$$

Das Modell ist sinnvoll, solange noch Wasser im Tank ist.

Wir bestimmen den Zeitpunkt der Leerung:

$$\begin{aligned} 0&=500-20t \qquad /-500\\ -500&=-20t \qquad /:(-20)\\ 25&=t. \end{aligned}$$

Ein sinnvoller Gültigkeitsbereich ist daher

$$0\leq t\leq25.$$

Für $t=30$ liefert das Modell

$$W(30)=-100.$$

Dieser Modellwert ist sachlich unmöglich. Das bedeutet nicht, dass falsch gerechnet wurde. Der Wert liegt außerhalb des Gültigkeitsbereichs.

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10. Beispiel: Taxikosten

Ein Kostenmodell lautet

$$K(x)=2{,}4x+5,$$

wobei $x$ die Strecke in Kilometern bezeichnet.

Für übliche Fahrten kann das Modell angemessen sein, wenn

• die Grundgebühr konstant ist,
• jede zusätzliche Strecke gleich verrechnet wird,
• keine Zeit-, Nacht- oder Zuschlagstarife auftreten.

Für sehr lange Fahrten oder andere Tarifzonen kann das Modell unangemessen werden.

Eine gute Beurteilung lautet beispielsweise:

Das Modell ist für gewöhnliche Fahrten im betrachteten Tarifbereich angemessen. Außerhalb dieses Bereichs können Zuschläge oder Tarifwechsel auftreten, die nicht berücksichtigt werden.

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11. Beispiel: Abkühlung

In einem kurzen Zeitintervall kann die Temperatur eines Getränks näherungsweise durch

$$T(t)=80-3t$$

beschrieben werden.

Für kleine $t$-Werte kann dies brauchbar sein. Langfristig würde das Modell jedoch immer kleinere und schließlich unrealistische Temperaturen liefern.

Außerdem verlangsamt sich die Abkühlung typischerweise, wenn sich die Getränketemperatur der Umgebungstemperatur nähert.

Daher ist das lineare Modell höchstens lokal angemessen.

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12. Alternative Modelle erwägen

Zeigen die Daten kein lineares Muster, muss eine andere Modellart erwogen werden.

Quadratisches Modell

Geeignet bei einer erkennbaren Krümmung, beispielsweise bei Flächen oder Wurfbewegungen.

Exponentielles Modell

Geeignet bei annähernd konstanter relativer beziehungsweise prozentueller Änderung.

Sättigungsmodell

Geeignet, wenn Wachstum durch eine Obergrenze gebremst wird.

Stückweise lineares Modell

Geeignet, wenn in verschiedenen Bereichen unterschiedliche konstante Änderungsraten gelten.

Wichtig: Ein komplizierteres Modell ist nicht automatisch besser. Es soll zum Zweck, zu den Daten und zum benötigten Genauigkeitsniveau passen.

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13. Ein lineares Modell systematisch bewerten

Schritt 1: Zweck klären

• Was soll erklärt oder vorhergesagt werden?
• Welche Genauigkeit ist erforderlich?

Schritt 2: Daten prüfen

• Sind die $x$-Schritte bekannt?
• Sind die ersten Differenzen beziehungsweise Differenzenquotienten annähernd konstant?
• Liegen die Punkte ungefähr auf einer Geraden?
• Gibt es ein systematisches Residuenmuster?

Schritt 3: Bereich prüfen

• Interpolation oder Extrapolation?
• Wie weit liegt die Vorhersage vom Datenbereich entfernt?
• Für welchen Bereich liegen Beobachtungen vor?

Schritt 4: Sachlogik prüfen

• Sind negative Werte möglich?
• Gibt es eine Obergrenze?
• Sind nur ganze Werte sinnvoll?
• Ändern sich Bedingungen oder Tarife?

Schritt 5: Urteil formulieren

Eine vollständige Beurteilung kann so aufgebaut werden:

Das lineare Modell ist im Bereich … angemessen beziehungsweise nur eingeschränkt angemessen, weil … . Für Werte außerhalb dieses Bereichs ist es ungeeignet beziehungsweise unsicher, da … .

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14. Typische Fehler

• Aus zwei Punkten sofort auf einen linearen Realzusammenhang schließen.
• Nur prüfen, ob eine Gerade gezeichnet werden kann.
• Kleine zufällige Messabweichungen als Beweis gegen Linearität verwenden.
• Ein systematisches Residuenmuster ignorieren.
• Interpolation und Extrapolation verwechseln.
• Eine weitreichende Extrapolation ohne Warnung durchführen.
• Negative oder zu große Modellwerte unkritisch übernehmen.
• Den Gültigkeitsbereich nicht angeben.
• Eine Fehlerkennzahl ohne sachlichen Kontext beurteilen.
• „Nicht exakt linear“ mit „unbrauchbar“ gleichsetzen.
• Ein alternatives Modell nennen, ohne dessen Struktur zu begründen.
• Das Modell außerhalb veränderter Rahmenbedingungen verwenden.

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15. Kontrollliste

Vor dem endgültigen Urteil:

1. Zweck und benötigte Genauigkeit geklärt?
2. Mehr als zwei Datenpunkte betrachtet?
3. Änderung beziehungsweise Differenzenquotient geprüft?
4. Größe und Muster der Residuen beurteilt?
5. Interpolation oder Extrapolation benannt?
6. Gültigkeitsbereich angegeben?
7. Sachliche Ober- und Untergrenzen geprüft?
8. Einheiten und diskrete Größen berücksichtigt?
9. Alternative Modellart bei systematischen Abweichungen erwogen?
10. Urteil als vollständiger Satz mit Begründung formuliert?