Direkte Proportionalität als lineare Funktion

Kompetenzcode: FA 2.6
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine direkt proportionale Zuordnung ist ein Spezialfall einer linearen Funktion. Ihre Gleichung lautet

$$f(x)=k\cdot x.$$

Dabei ist $k$ der Proportionalitätsfaktor.

Leitidee: Bei direkter Proportionalität ist das Verhältnis von Ausgabe zu Eingabe konstant.

Die wichtigsten Merkmale sind:

$$f(x)=k\cdot x, \qquad d=0, \qquad f(0)=0, \qquad \frac{f(x)}{x}=k \quad (x\neq0).$$

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1. Warum ist direkte Proportionalität linear?

Jede lineare Funktion hat die Form

$$f(x)=k x+d.$$

Bei direkter Proportionalität ist der Startwert gleich null. Also gilt:

$$d=0.$$

Damit vereinfacht sich die lineare Funktion zu

$$f(x)=kx.$$

Direkte Proportionalität ist also eine lineare Funktion ohne Achsenabschnitt.

Wichtige Folgerung

Setzt man $x=0$, so erhält man:

$$f(0)=k\cdot0=0.$$

Der Graph verläuft also immer durch den Ursprung

$$(0\mid0).$$

Merksatz: Nicht jede lineare Funktion ist direkt proportional. Direkt proportional bedeutet zusätzlich: $d=0$.

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2. Der konstante Quotient

Für $x\neq0$ kann man beide Seiten der Gleichung

$$f(x)=k\cdot x$$

durch $x$ teilen:

$$\begin{aligned} f(x)&=k\cdot x \qquad /:x\\ \frac{f(x)}{x}&=k. \end{aligned}$$

Das bedeutet:

$$\overset{\text{Ausgabe}}{f(x)} : \overset{\text{Eingabe}}{x} = \overset{\text{konstanter Quotient}}{k}.$$

Der Quotient

$$\frac{f(x)}{x}$$

ist also bei direkter Proportionalität immer gleich.

Beispiel

$$f(x)=3x.$$

Dann gilt:

$$\frac{f(2)}{2}=\frac{6}{2}=3, \qquad \frac{f(5)}{5}=\frac{15}{5}=3, \qquad \frac{f(10)}{10}=\frac{30}{10}=3.$$

Der Quotient bleibt konstant und ist gleich $3$.

Warum darf $x=0$ nicht eingesetzt werden?

Für $x=0$ wäre

$$\frac{f(0)}{0}$$

nicht definiert. Trotzdem gehört der Punkt $(0\mid0)$ zur direkten Proportionalität. Der konstante Quotient wird nur für $x\neq0$ betrachtet.

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3. Vervielfachungseigenschaft

Bei direkter Proportionalität vervielfacht sich der Funktionswert im selben Verhältnis wie die Eingabe.

Allgemein gilt:

$$f(a\cdot x)=a\cdot f(x).$$

Begründung

$$\begin{aligned} f(a\cdot x) &=k\cdot (a\cdot x)\\ &=a\cdot (k\cdot x)\\ &=a\cdot f(x). \end{aligned}$$

Wichtige Spezialfälle

Verdopplung

$$f(2x)=2f(x)$$

Verdoppelt man die Eingabe, verdoppelt sich die Ausgabe.

Verdreifachung

$$f(3x)=3f(x)$$

Verdreifacht man die Eingabe, verdreifacht sich die Ausgabe.

Halbierung

$$f\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}f(x)$$

Halbiert man die Eingabe, halbiert sich die Ausgabe.

Merksatz: Bei direkter Proportionalität bleibt nicht die Differenz, sondern das Verhältnis erhalten.

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4. Tabelle, Graph und Formel zusammen lesen

Formel

$$f(x)=2{,}5x$$

Tabelle

Beobachtungen

• Der Punkt $(0\mid0)$ gehört dazu.
• Der Quotient ist konstant:

$$\frac{2{,}5}{1}=2{,}5, \qquad \frac{5}{2}=2{,}5, \qquad \frac{10}{4}=2{,}5.$$

• Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Deutung von $k$

Der Proportionalitätsfaktor

$$k=2{,}5$$

bedeutet: Pro zusätzlicher Eingabeeinheit steigt die Ausgabe um $2{,}5$.

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5. Den Proportionalitätsfaktor im Kontext deuten

Der Faktor $k$ besitzt immer eine Einheit:

$$\frac{\text{Ausgabe-Einheit}}{\text{Eingabe-Einheit}}.$$

Beispiel: Preis und Masse

Ein Käse kostet $12\,€$ pro Kilogramm.

Dann gilt:

$$P(m)=12m.$$

Dabei bedeutet:

• $m$: Masse in Kilogramm
• $P(m)$: Preis in Euro
• $k=12$: $12\,€/\text{kg}$

Beispiel: Weg und Zeit bei konstanter Geschwindigkeit

Ein Fahrzeug fährt mit $80\,\text{km/h}$.

Dann gilt:

$$s(t)=80t.$$

Dabei bedeutet:

• $t$: Zeit in Stunden
• $s(t)$: Weg in Kilometern
• $k=80$: $80\,\text{km}/\text{h}$

Beispiel: Zutaten im Rezept

Für $4$ Portionen werden $300\,\text{g}$ Mehl benötigt.

Dann ist der Mehlbedarf pro Portion:

$$\frac{300}{4}=75.$$

Also gilt:

$$M(p)=75p$$

mit $p$ Portionen und $M(p)$ in Gramm.

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6. Direkte Proportionalität erkennen

Eine Zuordnung ist direkt proportional, wenn die folgenden Aussagen zusammenpassen.

1. Formel

$$f(x)=kx$$

2. Graph

Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

3. Tabelle

Für $x\neq0$ ist der Quotient

$$\frac{f(x)}{x}$$

konstant.

4. Vervielfachung

Wird die Eingabe mit einem Faktor multipliziert, wird die Ausgabe mit demselben Faktor multipliziert.

5. Kontext

Es gibt eine feste Größe „pro 1 Einheit“.

Merksatz: Direkte Proportionalität erkennt man am Ursprung, am konstanten Quotienten und an der Vervielfachungseigenschaft.

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7. Abgrenzung zu anderen linearen Funktionen

Betrachte die beiden Funktionen:

$$f(x)=3x \qquad\text{und}\qquad g(x)=3x+4.$$

Beide Funktionen sind linear. Aber nur $f$ ist direkt proportional.

Warum?

Für $f$ gilt:

$$f(0)=0.$$

Für $g$ gilt:

$$g(0)=4.$$

Der Graph von $g$ verläuft also nicht durch den Ursprung.

Außerdem ist der Quotient bei $g$ nicht konstant:

$$\frac{g(1)}{1}=7, \qquad \frac{g(2)}{2}=5, \qquad \frac{g(4)}{4}=4.$$

Die Werte sind verschieden. Also ist $g$ nicht direkt proportional.

Achtung: Eine konstante Steigung allein genügt nicht. Für direkte Proportionalität muss zusätzlich der Achsenabschnitt null sein.

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8. Proportionalitätsfaktor aus Daten bestimmen

Hat man ein Wertepaar $(x\mid y)$ mit $x\neq0$, so gilt bei direkter Proportionalität:

$$k=\frac{y}{x}.$$

Beispiel

Der Punkt

$$(6\mid15)$$

liegt auf einer direkt proportionalen Funktion.

Dann folgt:

$$\begin{aligned} k&=\frac{15}{6}\\ &=2{,}5. \end{aligned}$$

Also lautet die Funktion:

$$f(x)=2{,}5x.$$

Kontrolle mit einem zweiten Punkt

Wenn auch der Punkt

$$(10\mid25)$$

gegeben ist, dann gilt:

$$\frac{25}{10}=2{,}5.$$

Der Quotient stimmt überein. Die Daten passen zu direkter Proportionalität.

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9. Direkte Proportionalität im Alltag prüfen

Nicht jede lineare oder fast lineare Situation ist direkt proportional.

Direkt proportional

• Preis bei festem Kilopreis ohne Grundgebühr
• Weg bei konstanter Geschwindigkeit und Start im Ursprung
• Zutatenmenge bei gleichbleibendem Rezept

Nicht direkt proportional

• Taxikosten mit Grundgebühr
• Handykosten mit Grundpreis
• Temperaturumrechnung zwischen Celsius und Fahrenheit
• Lohn mit fixer Antrittspauschale

Beispiel

$$K(x)=2x+5$$

beschreibt etwa Kosten mit Grundgebühr. Die Funktion ist linear, aber nicht direkt proportional, weil bei $x=0$ schon Kosten von $5$ entstehen.

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10. Typische Fehler

• $f(x)=kx+d$ automatisch als direkte Proportionalität ansehen.
• Den Punkt $(0\mid0)$ nicht prüfen.
• Konstante Differenz mit konstantem Quotienten verwechseln.
• $k$ ohne Einheit angeben.

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11. Arbeitsplan

Direkte Proportionalität erkennen

1. Prüfen, ob eine Formel der Form $f(x)=kx$ vorliegt.
2. Oder prüfen, ob der Graph durch den Ursprung geht.
3. In der Tabelle für $x\neq0$ die Quotienten $\frac{f(x)}{x}$ berechnen.

Funktion aufstellen

1. Ein Wertepaar $(x\mid y)$ mit $x\neq0$ ablesen.
2. Den Proportionalitätsfaktor berechnen:

$$k=\frac{y}{x}.$$

1. Die Funktion $f(x)=kx$ aufschreiben.
2. Mit einem weiteren Wertepaar kontrollieren.
3. Ergebnis im Kontext deuten.

Kontrollfrage: Habe ich wirklich direkte Proportionalität geprüft oder nur eine allgemeine lineare Funktion erkannt?