Potenzfunktionen erkennen und darstellen

Kompetenzcode: FA 3.1
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Betrachtet werden Potenzfunktionen der Form

$$f(x)=a\cdot x^z+b$$

mit

$$z\in\mathbb Z\setminus\{0\}$$

sowie der Sonderfall

$$z=\frac12.$$

Um den Graphen zu erkennen, betrachten wir zuerst den Exponenten $z$, danach das Vorzeichen von $a$ und schließlich die Verschiebung $b$.

Leitidee: Das Vorzeichen des Exponenten entscheidet, ob der Graph zusammenhängend ist. Die Parität entscheidet, wie sich der linke und der rechte Graphenteil zueinander verhalten.

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1. Die vier wichtigsten Erkennungsfragen

Bei einer Funktion

$$f(x)=a\cdot x^z+b$$

helfen vier Fragen:

1. Ist $z$ positiv oder negativ?
2. Ist der ganzzahlige Exponent $z$ gerade oder ungerade?
3. Ist $a$ positiv oder negativ?
4. Wie weit ist der Graph durch $b$ nach oben oder unten verschoben?

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2. Die zentralen Merksätze

Positiver Exponent

Für ganzzahlige Exponenten $z>0$ gilt:

Der Graph ist zusammenhängend.

Außerdem ist $x=0$ erlaubt. Der Graph geht durch

$$(0\mid b).$$

Der Sonderfall $z=\frac12$ ist ebenfalls zusammenhängend, besitzt aber nur den Definitionsbereich

$$x\geq0.$$

Negativer Exponent

Für ganzzahlige Exponenten $z<0$ gilt:

Der Graph besteht aus zwei getrennten Ästen.

Denn

$$x=0$$

ist nicht erlaubt. Die Gerade

$$x=0$$

ist eine vertikale Asymptote. Außerdem nähert sich der Graph der horizontalen Geraden

$$y=b.$$

Gerader Exponent

Für gerade ganzzahlige Exponenten gilt:

Der linke und der rechte Graphenteil liegen auf derselben Seite der Geraden $y=b$.

• Bei $a>0$: beide oberhalb von $y=b$
• Bei $a<0$: beide unterhalb von $y=b$

Ungerader Exponent

Für ungerade ganzzahlige Exponenten gilt:

Der linke und der rechte Graphenteil liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden $y=b$.

Diese Formulierung gilt sowohl für positive als auch für negative ungerade Exponenten.

Sprachlicher Hinweis: Bei negativen Exponenten spricht man treffend von zwei Ästen. Bei positiven Exponenten sind „linker und rechter Graphenteil“ oder „Arme“ meist passender.

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3. Positive ganzzahlige Exponenten

Positiver gerader Exponent

Beispiele:

$$x^2,\qquad x^4,\qquad x^6.$$

Typische Merkmale:

• zusammenhängender Graph
• $x=0$ ist erlaubt
• achsensymmetrisch zur $y$-Achse
• linker und rechter Graphenteil auf derselben Seite von $y=b$

Für

$$f(x)=a x^z+b$$

mit geradem $z>0$ gilt:

• $a>0$: U-Form, beide Seiten oberhalb von $y=b$
• $a<0$: nach unten geöffnete Form, beide Seiten unterhalb von $y=b$

Positiver ungerader Exponent

Beispiele:

$$x,\qquad x^3,\qquad x^5.$$

Typische Merkmale:

• zusammenhängender Graph
• $x=0$ ist erlaubt
• punktsymmetrisch zum Punkt $(0\mid b)$
• linker und rechter Graphenteil auf verschiedenen Seiten von $y=b$

Für $a>0$ steigt der Grundgraph von links unten nach rechts oben. Für $a<0$ wird er an der Geraden $y=b$ gespiegelt.

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4. Negative ganzzahlige Exponenten

Ein negativer Exponent bedeutet:

$$x^{-n}=\frac{1}{x^n}.$$

Daher darf $x=0$ nicht eingesetzt werden.

Negativer gerader Exponent

Beispiele:

$$x^{-2}=\frac1{x^2}, \qquad x^{-4}=\frac1{x^4}.$$

Typische Merkmale:

• zwei getrennte Äste
• achsensymmetrisch zur $y$-Achse
• beide Äste auf derselben Seite von $y=b$
• Asymptoten $x=0$ und $y=b$

Negativer ungerader Exponent

Beispiele:

$$x^{-1}=\frac1x, \qquad x^{-3}=\frac1{x^3}.$$

Typische Merkmale:

• zwei getrennte Äste
• punktsymmetrisch zum Punkt $(0\mid b)$
• Äste auf verschiedenen Seiten von $y=b$
• Asymptoten $x=0$ und $y=b$

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5. Gerade und ungerade Exponenten

Die Parität beschreibt, ob eine ganze Zahl gerade oder ungerade ist.

Gerade Exponenten

Für gerade $z$ gilt:

$$(-x)^z=x^z.$$

Deshalb besitzen $x$ und $-x$ denselben Funktionswert, solange beide Werte im Definitionsbereich liegen:

$$f(-x)=f(x).$$

Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Ungerade Exponenten

Für ungerade $z$ gilt:

$$(-x)^z=-x^z.$$

Für

$$f(x)=a x^z+b$$

folgt:

$$f(-x)-b=-(f(x)-b).$$

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt

$$(0\mid b).$$

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6. Vier-Fälle-Übersicht

Für ganzzahlige Exponenten ergibt sich:

Diese Übersicht ist besonders nützlich, wenn ein Graph einer Formel zugeordnet werden soll.

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7. Die Wirkung von $a$ und $b$ beim Erkennen

Die vollständige Parameterwirkung wird später vertieft. Für das Erkennen reichen zunächst zwei Regeln.

Vorzeichen von $a$

Das Vorzeichen von $a$ entscheidet, auf welcher Seite von $y=b$ die charakteristischen Graphenteile liegen.

• $a>0$: Grundausrichtung bleibt erhalten.
• $a<0$: Spiegelung an der horizontalen Geraden $y=b$.

Parameter $b$

Der Parameter $b$ verschiebt den Grundgraphen senkrecht.

• Bei positiven Exponenten liegt der charakteristische Mittelpunkt bei $(0\mid b)$.
• Bei negativen Exponenten ist $y=b$ die horizontale Asymptote.

Wichtig: $b$ verändert die Höhe, aber nicht die Klassifikation „positiv/negativ“ und „gerade/ungerade“.

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8. Sonderfall $z=\frac12$: Wurzelfunktion

Für

$$f(x)=a\sqrt{x}+b$$

gilt:

$$x\geq0.$$

Der Graph beginnt bei

$$(0\mid b).$$

Typische Merkmale:

• nur der rechte Teil des Koordinatensystems wird verwendet
• der Graph ist zusammenhängend
• keine Einteilung in gerade oder ungerade Exponenten
• bei $a>0$ steigt der Graph
• bei $a<0$ fällt der Graph

Achtung: Der Merksatz zu geraden und ungeraden Exponenten gilt nur für ganzzahlige Exponenten.

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9. Potenzfunktionen in Tabellen erkennen

Beispiel $f(x)=x^2$

Es gilt:

$$f(-x)=f(x).$$

Das spricht für einen geraden Exponenten.

Beispiel $g(x)=x^3$

Es gilt:

$$g(-x)=-g(x).$$

Das spricht für einen ungeraden Exponenten und $b=0$.

Beispiel $h(x)=x^{-2}$

Der fehlende Wert bei $x=0$ zeigt einen negativen Exponenten. Die gleichen Werte bei $x$ und $-x$ zeigen einen geraden Exponenten.

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10. Zwischen Darstellungen wechseln

Von der Formel zum Graphen

1. Exponenten $z$ ablesen.
2. Positiv oder negativ unterscheiden.
3. Bei ganzzahligem $z$: gerade oder ungerade unterscheiden.
4. Vorzeichen von $a$ prüfen.
5. Verschiebung $b$ bestimmen.
6. Definitionsbereich und Asymptoten ergänzen.
7. Einige Wertepaare berechnen.

Vom Graphen zur möglichen Formel

1. Ist der Graph zusammenhängend oder zweigeteilt?
2. Liegen die Graphenteile auf derselben oder auf verschiedenen Seiten von $y=b$?
3. Welche Symmetrie ist erkennbar?
4. Gibt es Asymptoten?
5. Wo liegt $(0\mid b)$ beziehungsweise $y=b$?
6. Welche Formel passt zu diesen Merkmalen?

Von der Tabelle zur Formelart

1. Prüfen, ob $x=0$ erlaubt ist.
2. Werte bei $x$ und $-x$ vergleichen.
3. Wachstum oder Annäherung an $0$ untersuchen.
4. Möglichen Exponenten auswählen.
5. Mit weiteren Werten kontrollieren.

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11. Ausführliche Zuordnungsbeispiele

Beispiel 1

Ein Graph ist zusammenhängend, zur $y$-Achse symmetrisch und liegt oberhalb von $y=2$.

Eine mögliche Funktion ist:

$$f(x)=x^4+2.$$

Begründung:

• zusammenhängend: $z>0$
• achsensymmetrisch: $z$ gerade
• oberhalb von $y=2$: $a>0$
• Verschiebung um :

Beispiel 2

Ein Graph besitzt zwei Äste auf verschiedenen Seiten von $y=-1$. Die Geraden $x=0$ und $y=-1$ sind Asymptoten.

Eine mögliche Funktion ist:

$$g(x)=\frac{2}{x^3}-1.$$

Begründung:

• zwei Äste: $z<0$
• verschiedene Seiten: $z$ ungerade
• horizontale Asymptote $y=-1$: $b=-1$

Beispiel 3

Ein Graph beginnt bei $(0\mid3)$ und ist nur für $x\geq0$ definiert.

Eine mögliche Funktion ist:

$$h(x)=2\sqrt{x}+3.$$

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12. Typische Fehler

• „Positiver Exponent“ mit „positiver Funktionswert“ verwechseln.
• Bei negativen Exponenten $x=0$ in die Funktion einsetzen.
• Bei positiven Exponenten von zwei Ästen sprechen.
• „Gerader Exponent“ mit „Graph liegt immer oben“ verwechseln.
• Das Vorzeichen von $a$ nicht beachten.
• Bei ungeraden Exponenten die Punktsymmetrie zu $(0\mid b)$ übersehen.
• Die horizontale Asymptote $y=b$ bei negativen Exponenten vergessen.

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13. Arbeitsplan

1. Funktionstyp Potenzfunktion erkennen.
2. Exponenten $z$ bestimmen oder aus dem Graphen vermuten.
3. Positiven und negativen Exponenten unterscheiden.
4. Bei ganzzahligem $z$ gerade oder ungerade unterscheiden.
5. Definitionsbereich prüfen.
6. Zusammenhang oder zwei Äste erkennen.
7. Symmetrie und Lage zu $y=b$ untersuchen.
8. Vorzeichen von $a$ und Verschiebung $b$ berücksichtigen.

Kontrollfrage: Habe ich Vorzeichen, Parität, Definitionsbereich, Symmetrie und Verschiebung getrennt geprüft?