Werte und Parameter von Potenzfunktionen

Kompetenzcode: FA 3.2
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Betrachtet werden Potenzfunktionen der Form

$$f(x)=a\cdot x^z+b$$

mit bekanntem Exponenten $z$. Gesucht werden je nach Aufgabe

• ein Funktionswert $f(x)$,
• ein Argumentwert $x$,
• ein Wertepaar $(x\mid f(x))$,
• der Parameter $a$,
• der Parameter ,

Leitidee: Zuerst muss klar sein, was gegeben und was gesucht ist. Danach werden Punktkoordinaten und Parameter sauber in die Funktionsgleichung eingesetzt.

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1. Was bedeuten die Bestandteile?

$$\overset{\text{Funktionswert}}{f(x)} = \overset{\text{Skalierungsfaktor}}{a} \cdot \overset{\text{Potenzterm}}{x^z} + \overset{\text{vertikale Verschiebung}}{b}.$$

Die ausführliche Wirkung von Veränderungen der Parameter $a$ und $b$ wird in FA 3.3 behandelt. In diesem Kapitel werden konkrete Parameterwerte ermittelt und gedeutet.

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2. Funktionswerte durch Einsetzen bestimmen

Gegeben ist

$$f(x)=2x^3-5.$$

Gesucht ist $f(-2)$.

$$\begin{aligned} f(-2) &=2\cdot(-2)^3-5\\ &=2\cdot(-8)-5\\ &=-16-5\\ &=-21. \end{aligned}$$

Das zugehörige Wertepaar lautet

$$(-2\mid-21).$$

Wichtige Klammerregel

Bei negativen Argumenten muss der eingesetzte Wert geklammert werden:

$$(-2)^4=16, \qquad -2^4=-16.$$

Diese Ausdrücke sind nicht gleich.

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3. Definitionsbereich vor dem Einsetzen prüfen

Positiver ganzzahliger Exponent

Für

$$f(x)=a x^z+b$$

mit $z>0$ und $z\in\mathbb Z$ sind alle reellen $x$-Werte erlaubt.

Negativer ganzzahliger Exponent

Für $z<0$ gilt:

$$x\neq0.$$

Beispiel:

$$g(x)=\frac{3}{x^2}+1.$$

Der Wert $g(0)$ ist nicht definiert.

Wurzelfunktion

Für

$$h(x)=a\sqrt{x}+b$$

gilt:

$$x\geq0.$$

Kontrolle vor jeder Rechnung: Ist der eingesetzte Argumentwert im Definitionsbereich erlaubt?

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4. Argumentwerte aus einem Funktionswert bestimmen

Gegeben ist

$$f(x)=2x^2-3.$$

Gesucht sind die Argumentwerte mit

$$f(x)=5.$$ $$\begin{aligned} 5&=2x^2-3 \qquad /+3\\ 8&=2x^2 \qquad /:2\\ 4&=x^2\\ x&=\pm2. \end{aligned}$$

Es gibt zwei Wertepaare:

$$(-2\mid5) \qquad\text{und}\qquad (2\mid5).$$

Bei einem geraden Exponenten können zwei reelle Argumentwerte entstehen. Bei einem ungeraden positiven Exponenten entsteht typischerweise genau ein reeller Argumentwert.

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5. Wertepaare aus Tabelle und Graph ablesen

Ein Wertepaar

$$(x\mid y)$$

auf dem Graphen bedeutet immer:

$$y=f(x).$$

Der Punkt

$$P(2\mid9)$$

liefert also die Gleichung

$$9=f(2).$$

Für

$$f(x)=a x^2+1$$

folgt daraus

$$9=a\cdot2^2+1.$$

Typischer Fehler: Die Punktkoordinaten nicht vertauschen. Die erste Koordinate ist das Argument $x$, die zweite der Funktionswert $y$.

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6. Den Parameter $b$ bestimmen

Der Parameter $b$ besitzt zwei besonders wichtige graphische Bedeutungen.

Positiver ganzzahliger Exponent und Wurzelfunktion

Für $z>0$ gilt:

$$f(0)=a\cdot0^z+b=b.$$

Auch für die Wurzelfunktion gilt:

$$f(0)=a\sqrt0+b=b.$$

Damit ist

$$\boxed{b=f(0)}.$$

Der Graph enthält den Punkt

$$(0\mid b).$$

Negativer ganzzahliger Exponent

Bei $z<0$ ist $x=0$ nicht erlaubt. Daher kann $b$ nicht als $f(0)$ bestimmt werden.

Stattdessen ist

$$\boxed{y=b}$$

die horizontale Asymptote.

Merksatz: Bei positiven Exponenten und bei der Wurzel liest man $b$ am Punkt mit $x=0$ ab. Bei negativen Exponenten liest man $b$ an der horizontalen Asymptote ab.

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7. Den Parameter $a$ aus einem Punkt bestimmen

Gegeben ist

$$f(x)=a x^z+b$$

und ein Punkt

$$P(x_P\mid y_P).$$

Da der Punkt auf dem Graphen liegt, gilt:

$$y_P=a x_P^z+b.$$

Wir lösen nach $a$ auf:

$$\begin{aligned} y_P&=a x_P^z+b \qquad /-b\\ y_P-b&=a x_P^z \qquad /:x_P^z\\ a&=\frac{y_P-b}{x_P^z}. \end{aligned}$$

Voraussetzung ist:

$$x_P^z\neq0.$$

Beispiel

Die Funktion

$$f(x)=a x^2+1$$

geht durch

$$P(2\mid9).$$ $$\begin{aligned} 9&=a\cdot2^2+1\\ 9&=4a+1 \qquad /-1\\ 8&=4a \qquad /:4\\ 2&=a. \end{aligned}$$

Damit lautet die Funktion:

$$f(x)=2x^2+1.$$

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8. Der besonders günstige Punkt $x=1$

Für jeden ganzzahligen Exponenten und auch für $z=\frac12$ gilt:

$$1^z=1.$$

Daher folgt:

$$f(1)=a+b.$$

Wenn $b$ bekannt ist, kann $a$ besonders einfach bestimmt werden:

$$\boxed{a=f(1)-b}.$$

Beispiel

Ein Graph hat bei positiven Exponenten den Punkt

$$(0\mid-2)$$

und außerdem

$$(1\mid3).$$

Dann gilt:

$$b=-2$$

und

$$\begin{aligned} a&=f(1)-b\\ &=3-(-2)\\ &=5. \end{aligned}$$

Merksatz: Der Funktionswert bei $x=1$ ist besonders hilfreich, weil der Potenzterm gleich $1$ wird.

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9. Warum bestimmt der Punkt bei $x=0$ nicht den Parameter $a$?

Für positive ganzzahlige Exponenten und die Wurzelfunktion gilt:

$$f(0)=b.$$

Der Term mit $a$ verschwindet:

$$a\cdot0^z=0.$$

Daher liefert ein Punkt

$$(0\mid b)$$

nur den Parameter $b$, aber keine Information über $a$.

Bei negativen Exponenten ist $x=0$ überhaupt nicht erlaubt.

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10. Beide Parameter $a$ und $b$ aus zwei Punkten bestimmen

Gegeben sind der Exponent $z$ und zwei Punkte:

$$P_1(x_1\mid y_1), \qquad P_2(x_2\mid y_2).$$

Dann gilt:

$$\begin{aligned} y_1&=a x_1^z+b,\\ y_2&=a x_2^z+b. \end{aligned}$$

Durch Subtraktion fällt $b$ weg:

$$\begin{aligned} y_2-y_1 &=a(x_2^z-x_1^z) \qquad /:(x_2^z-x_1^z)\\ a &=\frac{y_2-y_1}{x_2^z-x_1^z}. \end{aligned}$$

Danach wird $a$ in eine der beiden Gleichungen eingesetzt:

$$b=y_1-a x_1^z.$$

Beispiel

Eine quadratische Potenzfunktion

$$f(x)=a x^2+b$$

geht durch

$$P(1\mid5) \qquad\text{und}\qquad Q(2\mid14).$$

Einsetzen liefert:

$$\begin{aligned} 5&=a+b,\\ 14&=4a+b. \end{aligned}$$

Zweite Gleichung minus erste Gleichung:

$$\begin{aligned} 9&=3a \qquad /:3\\ 3&=a. \end{aligned}$$

Nun:

$$\begin{aligned} 5&=3+b \qquad /-3\\ 2&=b. \end{aligned}$$

Damit lautet die Funktion:

$$f(x)=3x^2+2.$$

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11. Wann reichen zwei Punkte nicht?

Für die Formel

$$f(x)=a x^z+b$$

muss gelten:

$$x_1^z\neq x_2^z,$$

damit $a$ eindeutig bestimmt werden kann.

Beispiel mit geradem Exponenten

Für $z=2$ gilt:

$$(-2)^2=2^2=4.$$

Die Punkte mit $x=-2$ und $x=2$ liefern daher denselben Potenzterm.

• Haben beide Punkte denselben $y$-Wert, gibt es unendlich viele Kombinationen von $a$ und $b$, die nur diese beiden Punkte erfüllen.
• Haben sie verschiedene $y$-Werte, kann keine Funktion der Form $a x^2+b$ durch beide Punkte gehen.

Wichtig: Zwei verschiedene $x$-Werte garantieren bei geraden Exponenten nicht automatisch zwei unabhängige Gleichungen.

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12. Parameter bei negativen Exponenten

Gegeben ist

$$f(x)=\frac{a}{x^2}+b.$$

Aus dem Graphen wird die horizontale Asymptote

$$y=1$$

abgelesen. Daher ist

$$b=1.$$

Außerdem liegt der Punkt

$$P(2\mid4)$$

auf dem Graphen.

$$\begin{aligned} 4&=\frac{a}{2^2}+1\\ 4&=\frac{a}{4}+1 \qquad /-1\\ 3&=\frac{a}{4} \qquad /\cdot4\\ 12&=a. \end{aligned}$$

Damit lautet die Funktion:

$$f(x)=\frac{12}{x^2}+1.$$

Die Definitionsmenge bleibt

$$\mathbb R\setminus\{0\}.$$

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13. Parameter bei der Wurzelfunktion

Gegeben ist

$$f(x)=a\sqrt{x}+b.$$

Der Startpunkt des Graphen lautet

$$(0\mid-1).$$

Daher ist:

$$b=-1.$$

Zusätzlich liegt der Punkt

$$P(9\mid5)$$

auf dem Graphen.

$$\begin{aligned} 5&=a\sqrt9-1\\ 5&=3a-1 \qquad /+1\\ 6&=3a \qquad /:3\\ 2&=a. \end{aligned}$$

Also:

$$f(x)=2\sqrt{x}-1.$$

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14. Parameter aus einer Tabelle bestimmen

Ist $z$ bekannt, kann eine zusätzliche Spalte mit $x^z$ hilfreich sein.

Beispiel mit $z=2$

Aus der ersten Zeile folgt:

$$b=f(0)=2.$$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$$\begin{aligned} 5&=a\cdot1+2 \qquad /-2\\ 3&=a. \end{aligned}$$

Die dritte Zeile dient als Kontrolle:

$$3\cdot4+2=14.$$

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15. Parameter im Kontext deuten

Die Einheit von $b$ ist immer die Einheit der Ausgabegröße.

Die Einheit von $a$ hängt vom Exponenten ab:

$$[a] = \frac{\text{Ausgabe-Einheit}} {(\text{Eingabe-Einheit})^z}.$$

Beispiel: quadratischer Zusammenhang

$$A(r)=\pi r^2.$$

Dabei hat $A$ die Einheit $\text{cm}^2$ und $r$ die Einheit $\text{cm}$.

Der Parameter

$$a=\pi$$

verknüpft den quadrierten Radius mit der Fläche.

Beispiel: verschobene Wurzelfunktion

$$T(x)=4\sqrt{x}+10.$$

Der Parameter $b=10$ besitzt dieselbe Einheit wie $T$ und beschreibt den Funktionswert bei $x=0$.

Kontextregel: Ein Parameterwert ist erst vollständig gedeutet, wenn seine Bedeutung, seine Einheit und sein Bezugsbereich genannt sind.

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16. Ergebnisse kontrollieren

Rückeinsetzen

Nach der Bestimmung von $a$ und $b$ werden alle gegebenen Punkte eingesetzt.

Definitionsbereich

Jeder verwendete $x$-Wert muss zulässig sein.

Graphische Kontrolle

• Liegt der Punkt $(0\mid b)$ dort, wo er liegen soll?
• Stimmt bei negativen Exponenten die Asymptote $y=b$?
• Passt das Vorzeichen von $a$ zur Lage des Graphen?

Einheit und Kontext

• Besitzt $b$ die Einheit der Ausgabe?
• Passt die Einheit von $a$ zum Potenzterm?
• Sind berechnete Werte im Kontext sinnvoll?

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17. Typische Fehler

• Beim Einsetzen negativer Werte die Klammern vergessen.
• Punktkoordinaten $x$ und $y$ vertauschen.
• $b$ bei negativen Exponenten als $f(0)$ bestimmen wollen.
• Den Punkt mit $x=0$ zur Bestimmung von verwenden.

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18. Arbeitsplan

Funktionswert bestimmen

1. Definitionsbereich prüfen.
2. Argumentwert mit Klammern einsetzen.
3. Zuerst den Potenzterm berechnen.
4. Mit $a$ multiplizieren.
5. $b$ addieren.
6. Wertepaar und Einheit angeben.

Parameter bestimmen

1. Exponenten $z$ und gegebene Informationen notieren.
2. $b$ aus $f(0)$, Startpunkt oder Asymptote bestimmen.
3. Punktkoordinaten korrekt einsetzen.
4. Gleichung sauber nach $a$ umformen.
5. Bei zwei unbekannten Parametern zwei unabhängige Gleichungen aufstellen.
6. Ergebnis in die ursprünglichen Angaben einsetzen.
7. Parameter mit Einheit und Bedeutung deuten.

Kontrollfrage: Habe ich jeden gegebenen Punkt, den Definitionsbereich und die Einheit zur Probe verwendet?