Parameterwirkung bei Potenzfunktionen

Kompetenzcode: FA 3.3
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Betrachtet werden Potenzfunktionen der Form

$$f(x)=a\cdot x^z+b.$$

Der Exponent $z$ bestimmt die Grundform. Die Parameter $a$ und $b$ verändern diese Grundform.

Leitidee: $a$ verändert die Abstände zur Geraden $y=b$, während $b$ den gesamten Graphen senkrecht verschiebt.

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1. Die Rollen von $a$, $z$ und $b$

$$\overset{\text{Streckung, Stauchung, Spiegelung}}{a} \cdot \overset{\text{Grundform}}{x^z} + \overset{\text{vertikale Verschiebung}}{b}.$$

Beim Untersuchen einer Parameterwirkung wird der Exponent $z$ festgehalten.

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2. Wirkung des Vorzeichens von $a$

Vergleiche

$$f(x)=x^z+b$$

und

$$g(x)=-x^z+b.$$

Das negative Vorzeichen spiegelt die Grundform relativ zur Geraden

$$y=b.$$

Beispiel mit $z=2$ und $b=1$

$$f(x)=x^2+1, \qquad g(x)=-x^2+1.$$

Beide Graphen besitzen den charakteristischen Punkt

$$(0\mid1).$$

Der zweite Graph ist an der horizontalen Geraden $y=1$ gespiegelt.

Merksatz: $a<0$ bewirkt eine Spiegelung relativ zur Geraden $y=b$.

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3. Wirkung des Betrags $|a|$

Der Betrag von $a$ bestimmt, wie weit die Graphenpunkte von $y=b$ entfernt liegen.

Vertikale Streckung

Für

$$|a|>1$$

werden die Abstände zu $y=b$ vergrößert.

Vertikale Stauchung

Für

$$0<|a|<1$$

werden die Abstände zu $y=b$ verkleinert.

Unveränderte Abstände

Für

$$|a|=1$$

bleiben die Abstände der Grundform erhalten.

Rechnung am Punkt $x=1$

Da

$$1^z=1$$

gilt:

$$f(1)=a+b.$$

Daher ist der gerichtete Abstand des Punktes $(1\mid f(1))$ von $y=b$ gleich $a$:

$$f(1)-b=a.$$

Der Betrag des Abstandes ist

$$|f(1)-b|=|a|.$$

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4. Der Grenzfall $a=0$

Für

$$a=0$$

verschwindet der Potenzterm:

$$f(x)=b.$$

Es entsteht eine konstante Funktion. Sie gehört nicht mehr zur eigentlichen Potenzfunktionsfamilie mit $a\neq0$, ist aber als Grenzfall zum Verständnis der Reglerwirkung hilfreich.

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5. Wirkung des Parameters $b$

Der Parameter $b$ verschiebt den gesamten Graphen senkrecht.

$b>0$

Verschiebung nach oben.

$b<0$

Verschiebung nach unten.

Änderung um $\Delta b$

Aus

$$g(x)=a x^z+(b+\Delta b)$$

folgt

$$g(x)=f(x)+\Delta b.$$

Jeder Funktionswert verändert sich also um denselben Betrag:

$$g(x)-f(x)=\Delta b.$$

Merksatz: Eine Änderung von $b$ verändert alle Funktionswerte um denselben Betrag.

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6. Bedeutung von $b$ bei positiven Exponenten

Für positive ganzzahlige Exponenten gilt:

$$f(0)=a\cdot0^z+b=b.$$

Der Graph enthält daher den Punkt

$$(0\mid b).$$

Bei geraden positiven Exponenten ist dieser Punkt der Scheitelpunkt der Grundform. Bei ungeraden positiven Exponenten ist er das Symmetriezentrum.

Auch bei der Wurzelfunktion

$$f(x)=a\sqrt{x}+b$$

beginnt der Graph im Punkt

$$(0\mid b).$$

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7. Bedeutung von $b$ bei negativen Exponenten

Bei negativen Exponenten ist $x=0$ nicht definiert.

Daher gilt nicht

$$b=f(0).$$

Stattdessen ist

$$y=b$$

die horizontale Asymptote.

Ändert sich $b$, verschieben sich

• beide Äste des Graphen und
• die horizontale Asymptote

um denselben Betrag nach oben oder unten.

Die vertikale Asymptote

$$x=0$$

bleibt unverändert.

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8. Was bleibt bei Änderungen von $a$ und $b$ erhalten?

Solange $a\neq0$ bleibt, verändern $a$ und $b$ nicht die Exponentenart.

Daher bleiben erhalten:

• positiver oder negativer Exponent
• gerader oder ungerader Exponent
• Definitionsbereich
• Zusammenhang oder Zweiteilung
• Symmetrieart
• bei negativen Exponenten die vertikale Asymptote $x=0$

Verändert werden:

• Orientierung durch das Vorzeichen von $a$
• vertikale Abstände durch $|a|$
• Höhe des Graphen durch $b$
• horizontale Asymptote bei negativen Exponenten

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9. Beispiele mit positivem geradem Exponenten

Betrachte

$$f(x)=a x^2+b.$$

$a=2,\ b=0$

$$f(x)=2x^2.$$

Der Graph ist gegenüber $x^2$ vertikal gestreckt.

$a=\frac12,\ b=0$

$$f(x)=\frac12x^2.$$

Der Graph ist vertikal gestaucht.

$a=-1,\ b=0$

$$f(x)=-x^2.$$

Der Graph ist an der $x$-Achse gespiegelt.

$a=-1,\ b=3$

$$f(x)=-x^2+3.$$

Der Graph ist relativ zu $y=3$ nach unten orientiert und besitzt den Scheitelpunkt

$$(0\mid3).$$

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10. Beispiele mit positivem ungeradem Exponenten

Betrachte

$$f(x)=a x^3+b.$$

Der Graph bleibt zusammenhängend und punktsymmetrisch zu

$$(0\mid b).$$

• $a>0$: Verlauf von links unten nach rechts oben
• $a<0$: gespiegelter Verlauf von links oben nach rechts unten
• großes $|a|$: stärkere vertikale Abstände
• kleines $|a|$: geringere vertikale Abstände

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11. Beispiele mit negativem Exponenten

Betrachte

$$f(x)=\frac{a}{x^2}+b.$$

• $a>0$: beide Äste liegen oberhalb von $y=b$
• $a<0$: beide Äste liegen unterhalb von $y=b$

Die vertikale Asymptote bleibt

$$x=0.$$

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12. Beispiel mit der Wurzelfunktion

$$f(x)=a\sqrt{x}+b.$$

Der Definitionsbereich bleibt

$$x\geq0.$$

• $a>0$: der Graph steigt ab $(0\mid b)$
• $a<0$: der Graph fällt ab $(0\mid b)$

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13. Parameteränderungen in Tabellen

Für zwei Funktionen

$$f(x)=a x^z+b$$

und

$$g(x)=c x^z+d$$

sollte man nicht nur einzelne Werte vergleichen.

Nur $b$ verändert

Wenn $a=c$, dann gilt:

$$g(x)-f(x)=d-b.$$

Die Differenz der Funktionswerte ist für alle zulässigen $x$ konstant.

Nur $a$ verändert

Wenn $b=d$, dann gilt:

$$\frac{g(x)-b}{f(x)-b} = \frac{c}{a},$$

sofern der Nenner nicht null ist.

Damit werden die Abstände zur Referenzgeraden $y=b$ mit einem festen Faktor verändert.

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14. Parameter im Kontext deuten

Die Einheit von $b$ ist die Einheit der Ausgabegröße.

Die Einheit von $a$ lautet allgemein:

$$[a] = \frac{\text{Ausgabe-Einheit}} {(\text{Eingabe-Einheit})^z}.$$

Beispiel

$$A(r)=\pi r^2.$$

Der Parameter $a=\pi$ skaliert den quadrierten Radius zur Kreisfläche.

Verschobenes Modell

$$T(x)=2\sqrt{x}+10.$$

Der Parameter $b=10$ ist der Startwert $T(0)$. Der Parameter $a=2$ skaliert den Wurzelterm.

Kontextregel: Parameter immer mit Bedeutung, Einheit und Bezugsgröße deuten.

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15. Typische Fehler

• Ein negatives $a$ als Verschiebung statt als Spiegelung deuten.
• Die Spiegelung immer an der $x$-Achse beschreiben, obwohl $b\neq0$.
• $|a|>1$ mit horizontaler Streckung verwechseln.

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16. Arbeitsplan

1. Exponenten $z$ und Grundform bestimmen.
2. Referenzgerade $y=b$ einzeichnen oder benennen.
3. Vorzeichen von $a$ prüfen.
4. Betrag $|a|$ mit $1$ vergleichen.

Kontrollfrage: Habe ich die Wirkung von $a$ relativ zu $y=b$ beschrieben und die Wirkung von $b$ als Verschiebung des gesamten Graphen erklärt?