Indirekte Proportionalität

Kompetenzcode: FA 3.4
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine indirekte Proportionalität ist eine Potenzfunktion mit dem Exponenten $-1$:

$$f(x)=a\cdot x^{-1}$$

beziehungsweise

$$\boxed{f(x)=\frac{a}{x}}.$$

Dabei ist $a\neq0$ der Proportionalitätsfaktor.

Leitidee: Wird eine Größe mit einem Faktor vervielfacht, wird die andere Größe durch denselben Faktor geteilt.

---

1. Drei gleichwertige Kennzeichen

Eine Zuordnung ist indirekt proportional, wenn die folgenden drei Beschreibungen zusammenpassen.

Funktionsgleichung

$$y=\frac{a}{x}.$$

Konstantes Produkt

Durch Multiplikation mit $x$ folgt:

$$\begin{aligned} y&=\frac{a}{x} \qquad /\cdot x\\ x\cdot y&=a. \end{aligned}$$

Also gilt:

$$\boxed{x\cdot f(x)=a}.$$

Gegenläufige Vervielfachung

Für einen Faktor $c\neq0$ gilt:

$$\boxed{f(c\cdot x)=\frac1c\cdot f(x)}.$$

Wichtig: Die Aussage „je mehr, desto weniger“ reicht allein nicht aus. Das Produkt muss konstant sein.

---

2. Den Proportionalitätsfaktor $a$ bestimmen

Aus einem Wertepaar

$$(x\mid y)$$

kann $a$ direkt berechnet werden:

$$\boxed{a=x\cdot y}.$$

Beispiel

Der Punkt

$$P(4\mid6)$$

liegt auf einer indirekt proportionalen Funktion.

$$\begin{aligned} a&=4\cdot6\\ &=24. \end{aligned}$$

Die Funktion lautet daher:

$$f(x)=\frac{24}{x}.$$

Kontrolle

Für den Punkt

$$Q(8\mid3)$$

gilt:

$$8\cdot3=24.$$

Beide Punkte liegen auf derselben indirekt proportionalen Funktion.

---

3. Verdopplung, Verdreifachung und Halbierung

Aus

$$f(x)=\frac{a}{x}$$

folgt:

Verdopplung der Eingabe

$$\begin{aligned} f(2x) &=\frac{a}{2x}\\ &=\frac12\cdot\frac{a}{x}\\ &=\frac12f(x). \end{aligned}$$

Verdoppelt man $x$, halbiert sich $f(x)$.

Verdreifachung der Eingabe

$$f(3x)=\frac13f(x).$$

Verdreifacht man $x$, wird $f(x)$ gedrittelt.

Halbierung der Eingabe

$$f\left(\frac{x}{2}\right)=2f(x).$$

Halbiert man $x$, verdoppelt sich $f(x)$.

---

4. Tabellen auf indirekte Proportionalität prüfen

Beispiel

Das Produkt ist konstant:

$$x\cdot f(x)=12.$$

Daher gilt:

$$f(x)=\frac{12}{x}.$$

Gegenbeispiel

Das Produkt ist nicht konstant. Die Zuordnung ist daher nicht indirekt proportional.

---

5. Der Graph: eine Hyperbel

Der Graph von

$$f(x)=\frac{a}{x}$$

ist eine Hyperbel mit zwei getrennten Ästen.

Definitionsbereich

$$\boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{0\}}.$$

Der Wert $x=0$ ist nicht erlaubt, weil eine Division durch null entstehen würde.

Asymptoten

Die beiden Asymptoten lauten:

$$\boxed{x=0} \qquad\text{und}\qquad \boxed{y=0}.$$

Der Graph nähert sich beiden Geraden an, erreicht sie aber nicht.

Vorzeichen von $a$

Für $a>0$ liegen die Äste im I. und III. Quadranten.

Für $a<0$ liegen die Äste im II. und IV. Quadranten.

---

6. Direkte und indirekte Proportionalität vergleichen

Direkte Proportionalität

$$y=kx.$$

Kennzeichen:

$$\frac{y}{x}=k.$$

Wird $x$ verdoppelt, verdoppelt sich $y$.

Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Indirekte Proportionalität

$$y=\frac{a}{x}.$$

Kennzeichen:

$$x\cdot y=a.$$

Wird $x$ verdoppelt, halbiert sich $y$.

Der Graph ist eine Hyperbel.

---

7. Werte berechnen

Gegeben ist

$$f(x)=\frac{36}{x}.$$

Gesucht ist $f(9)$.

$$\begin{aligned} f(9) &=\frac{36}{9}\\ &=4. \end{aligned}$$

Das Wertepaar lautet:

$$(9\mid4).$$

Argumentwert bestimmen

Gesucht ist $x$ mit

$$f(x)=6.$$ $$\begin{aligned} 6&=\frac{36}{x} \qquad /\cdot x\\ 6x&=36 \qquad /:6\\ x&=6. \end{aligned}$$

---

8. Kontext: Arbeitszeit und Personenanzahl

Eine Arbeit benötigt insgesamt

$$48\ \text{Personenstunden}.$$

Arbeiten $n$ gleich leistungsfähige Personen, dann lautet die benötigte Zeit:

$$t(n)=\frac{48}{n}.$$

Das Produkt bleibt konstant:

$$n\cdot t(n)=48.$$

Beispiel

Bei $6$ Personen:

$$t(6)=\frac{48}{6}=8.$$

Sachlicher Definitionsbereich

Mathematisch gilt $n\neq0$. Im Kontext sind jedoch nur positive ganze Personenanzahlen sinnvoll:

$$n\in\mathbb N,\qquad n\geq1.$$

Modellannahme: Alle Personen arbeiten gleich schnell und behindern einander nicht.

---

9. Kontext: feste Strecke

Für eine feste Strecke $s$ gilt:

$$t(v)=\frac{s}{v}.$$

Bei

$$s=120\ \text{km}$$

erhält man:

$$t(v)=\frac{120}{v}.$$

Das Produkt

$$v\cdot t(v)=120$$

ist die feste Strecke.

Bei $60\,\text{km/h}$:

$$t(60)=2\ \text{h}.$$

Sachlich sinnvoll ist nur

$$v>0.$$

---

10. Kontext: Rechteck mit festem Flächeninhalt

Ein Rechteck besitzt den festen Flächeninhalt

$$A=36\ \text{cm}^2.$$

Für Länge $x$ und Breite $y$ gilt:

$$x\cdot y=36.$$

Also:

$$y=\frac{36}{x}.$$

Sachlich gilt:

$$x>0,\qquad y>0.$$

Der mathematische negative Ast wird im geometrischen Kontext nicht verwendet.

---

11. Einheit und Bedeutung von $a$

Aus

$$a=x\cdot y$$

folgt für die Einheit:

$$[a]=[x]\cdot[y].$$

Beispiele

• Personenanzahl $\cdot$ Arbeitszeit: Personenstunden
• Geschwindigkeit $\cdot$ Zeit: Kilometer
• Länge $\cdot$ Breite: Quadratcentimeter
• Druck $\cdot$ Volumen: Druck-Volumen-Einheit

Kontextregel: $a$ beschreibt das konstante Gesamtprodukt der beiden Größen.

---

12. Mathematischer und sachlicher Definitionsbereich

Mathematischer Definitionsbereich

Für

$$f(x)=\frac{a}{x}$$

gilt:

$$x\neq0.$$

Sachlicher Definitionsbereich

Im Kontext gelten meist zusätzliche Einschränkungen:

• Personenanzahl: positive ganze Zahlen
• Geschwindigkeit: $v>0$
• Seitenlänge: $x>0$
• Behälteranzahl: positive ganze Zahlen

Der Kontext kann daher einen Teil des mathematischen Graphen ausschließen.

---

13. Typische Fehler

• „Je mehr, desto weniger“ als vollständigen Nachweis verwenden.
• Statt des Produkts $x\cdot y$ den Quotienten $y/x$ prüfen.
• Direkte und indirekte Proportionalität verwechseln.
• Den Punkt $x=0$ einsetzen.
• Die Asymptoten $x=0$ und als Teile des Graphen ansehen.

---

14. Arbeitsplan

1. Prüfen, ob die Form $f(x)=a/x$ vorliegt.
2. Alternativ die Produkte $x\cdot y$ berechnen.
3. Konstantes Produkt als $a$ festhalten.
4. Funktionsgleichung $f(x)=a\mathrm{/}$ aufstellen.

Kontrollfrage: Habe ich die Produktkonstanz wirklich nachgewiesen und den sachlich sinnvollen Definitionsbereich angegeben?