Typische Verläufe von Polynomfunktionen

Kompetenzcode: FA 4.1
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine Polynomfunktion hat die Form

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$

mit

$$a_n\neq0.$$

Der höchste vorkommende Exponent $n$ ist der Grad der Polynomfunktion. Der Koeffizient $a_n$ heißt Leitkoeffizient.

Leitidee: Grad und Leitkoeffizient bestimmen, wohin die beiden Äste des Graphen für große positive und negative $x$-Werte zeigen.

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1. Woran erkennt man eine Polynomfunktion?

Bei einer Polynomfunktion kommen nur nichtnegative ganze Exponenten vor:

$$0,\ 1,\ 2,\ 3,\dots$$

Beispiele:

$$f(x)=3x^4-2x^2+5$$ $$g(x)=-x^3+4x$$ $$h(x)=7.$$

Keine Polynomfunktionen sind zum Beispiel:

$$\frac1x,\qquad \sqrt{x},\qquad 2^x,\qquad \ln(x).$$

Typische Polynomgraphen sind

• zusammenhängend,
• glatt,
• ohne Sprünge,
• ohne Lücken,
• ohne senkrechte Asymptoten.

Diese Merkmale sind eine gute Erkennungshilfe. Für eine sichere Zuordnung braucht man zusätzlich Informationen über Gleichung, Grad oder Endverhalten.

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2. Grad und Leitkoeffizient bestimmen

Bei

$$f(x)=-3x^4+2x^2-7x+1$$

ist der höchste Exponent

$$n=4.$$

Der Leitkoeffizient lautet

$$a_4=-3.$$

Terme müssen gegebenenfalls zuerst geordnet und zusammengefasst werden.

Beispiel

$$g(x)=5-2x^3+7x-x^3.$$

Gleichartige Terme zusammenfassen:

$$\begin{aligned} g(x) &=-2x^3-x^3+7x+5\\ &=-3x^3+7x+5. \end{aligned}$$

Daher gilt:

$$\boxed{n=3} \qquad\text{und}\qquad \boxed{a_3=-3}.$$

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3. Die wichtigste Astregel

Für große Beträge von $x$ dominiert der Leitterm

$$a_nx^n.$$

Die niedrigeren Potenzterme beeinflussen zwar Hügel, Täler, Nullstellen und Wendungen, aber nicht das grundsätzliche Endverhalten.

Gerader Grad

Bei geradem Grad zeigen beide Äste in dieselbe Richtung.

Ungerader Grad

Bei ungeradem Grad zeigen die beiden Äste in entgegengesetzte Richtungen.

Vorzeichen des Leitkoeffizienten

• $a_n>0$: Der rechte Ast zeigt nach oben.
• $a_n<0$: Der rechte Ast zeigt nach unten.

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4. Die vier Fälle des Endverhaltens

Merkhilfe

Gerader Grad: gleiche Richtung.
Ungerader Grad: unterschiedliche Richtungen.
Der rechte Ast verrät das Vorzeichen des Leitkoeffizienten.

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5. Typische Verläufe der Grade 0 bis 4

Grad 0

$$f(x)=a_0.$$

Der Graph ist eine waagrechte Gerade.

Grad 1

$$f(x)=a_1x+a_0.$$

Der Graph ist eine nicht waagrechte Gerade.

Grad 2

Ein typischer Graph ist eine Parabel. Beide Äste zeigen in dieselbe Richtung.

Grad 3

Ein typischer Graph ist S-förmig oder besitzt einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Die Äste zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

Grad 4

Ein typischer Graph kann W- oder M-förmig sein. Beide Äste zeigen in dieselbe Richtung.

Wichtig: Ein Grad legt nicht einen einzigen Graphen fest. Eine Funktion vierten Grades muss nicht immer genau wie ein W aussehen. Sicher sind vor allem Endverhalten und obere Grenzen für charakteristische Stellen.

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6. Tipp: Grad an Hügeln und Tälern eingrenzen

Im Alltag kann man Hoch- und Tiefpunkte als Hügel und Täler bezeichnen.

Für eine Polynomfunktion vom Grad $n$ gilt:

$$\text{höchstens }n-1\text{ Extremstellen}.$$

Sieht man $k$ Extremstellen, dann folgt:

$$\boxed{n\geq k+1}.$$

Beispiele

Ein sichtbarer Hügel oder ein sichtbares Tal:

$$n\geq2.$$

Zwei Extremstellen:

$$n\geq3.$$

Drei Extremstellen:

$$n\geq4.$$

Achtung: Die Anzahl der Hügel und Täler liefert meistens nur einen Mindestgrad. Ein Graph mit einer Extremstelle kann zum Beispiel Grad $2$, $4$, $6$ oder höher besitzen.

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7. Aus einem Graphen den Grad bestimmen

In konkreten Aufgaben wird häufig zusätzlich ein maximal möglicher Grad angegeben, zum Beispiel:

$$n\leq4.$$

Dann kann man Endverhalten und Extremstellen kombinieren.

Beispielaufgabe

Der abgebildete Graph gehört zu einer Polynomfunktion mit

$$n\leq4.$$

Bestimme den Grad und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten.

Schritt 1: Äste vergleichen

Beide Äste zeigen nach oben.

$$\Rightarrow \text{gerader Grad}$$

Schritt 2: Hügel und Täler zählen

Der Graph besitzt drei Extremstellen: zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt.

$$\Rightarrow n\geq4$$

Schritt 3: Zusatzinformation verwenden

Es gilt:

$$n\leq4.$$

Somit:

$$\boxed{n=4}.$$

Schritt 4: Leitkoeffizienten deuten

Der rechte Ast zeigt nach oben.

$$\boxed{a_4>0}.$$

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8. Ein zweites Zuordnungsbeispiel

Ein Graph besitzt zwei Extremstellen. Sein linker Ast zeigt nach oben und sein rechter Ast nach unten. Zusätzlich gilt:

$$n\leq4.$$

Die Äste zeigen in entgegengesetzte Richtungen:

$$\Rightarrow \text{ungerader Grad}.$$

Zwei Extremstellen bedeuten:

$$n\geq3.$$

Unter den ungeraden Graden bis $4$ bleibt nur:

$$\boxed{n=3}.$$

Der rechte Ast zeigt nach unten:

$$\boxed{a_3<0}.$$

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9. Was man aus einem Graphen sicher und nicht sicher erkennt

Sicher erkennbar

Bei ausreichend groß dargestelltem Bereich kann man häufig erkennen:

• gleiche oder unterschiedliche Richtung der Äste,
• Vorzeichen des Leitkoeffizienten,
• Mindestgrad aus sichtbaren Extremstellen,
• ob der Graph glatt und zusammenhängend verläuft.

Nicht immer sicher erkennbar

Ohne Zusatzinformation erkennt man nicht zwingend:

• den exakten Grad,
• alle Nullstellen,
• alle Extremstellen außerhalb des dargestellten Bereichs,
• die exakten Koeffizienten,
• ob ein sehr ähnlich aussehender Ausschnitt zu einem höheren Grad gehört.

Graphen zeigen immer nur den dargestellten Ausschnitt.

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10. Typische Verwechslungen

Grad und Anzahl der Terme

Die Zahl der Terme ist nicht der Grad.

$$f(x)=x^5+2$$

besitzt nur zwei Terme, aber Grad $5$.

Grad und Anzahl der Nullstellen

Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ reelle Nullstellen. Sie muss nicht genau $n$ reelle Nullstellen besitzen.

Exakter Grad aus einer Extremstelle

Eine Extremstelle bedeutet nur:

$$n\geq2.$$

Sie beweist nicht automatisch Grad $2$.

Symmetrie und Grad

Ein gerader Grad bedeutet nicht automatisch Achsensymmetrie. Ein ungerader Grad bedeutet nicht automatisch Punktsymmetrie. Die Parität bestimmt das Endverhalten, nicht zwingend die Symmetrie des gesamten Graphen.

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11. Gleichung und Endverhalten verbinden

Beispiel 1

$$f(x)=2x^4-5x+1.$$

Grad:

$$n=4.$$

Leitkoeffizient:

$$a_4=2>0.$$

Daher zeigen beide Äste nach oben.

Beispiel 2

$$g(x)=-3x^3+x^2+4.$$

Grad:

$$n=3.$$

Leitkoeffizient:

$$a_3=-3<0.$$

Daher zeigt der linke Ast nach oben und der rechte Ast nach unten.

Beispiel 3

$$h(x)=-x^6+20x^2.$$

Grad:

$$n=6.$$

Leitkoeffizient:

$$a_6=-1<0.$$

Daher zeigen beide Äste nach unten.

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12. Polynomfunktion oder nicht?

Polynomfunktion

$$f(x)=4x^3-2x+7.$$

Alle Exponenten sind nichtnegative ganze Zahlen.

Keine Polynomfunktion

$$g(x)=x^2+\frac1x.$$

Der Term

$$\frac1x=x^{-1}$$

besitzt einen negativen Exponenten.

Keine Polynomfunktion

$$h(x)=x^2+\sqrt{x}.$$

Der Term

$$\sqrt{x}=x^{1/2}$$

besitzt keinen ganzzahligen Exponenten.

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13. Typische Fehler

• Die Anzahl der Terme als Grad angeben.
• Nur auf die Mitte des Graphen schauen und die Äste ignorieren.
• „Beide Äste oben“ mit Achsensymmetrie verwechseln.
• Aus einem Hügel sofort auf Grad $2$ schließen.
• Aus drei Extremstellen nur „Grad ungefähr vier“ statt $n\geq4$ folgern.
• Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten am linken statt am rechten Ast bestimmen.
• Einen Graphen mit Sprung oder senkrechter Asymptote als typischen Polynomgraphen einordnen.
• Ohne Zusatzinformation einen exakten Grad behaupten.
• Einen nicht vollständig dargestellten Graphenausschnitt überinterpretieren.

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14. Arbeitsplan zum Bestimmen eines möglichen Grades

1. Prüfen, ob ein glatter und zusammenhängender Polynomgraph plausibel ist.
2. Beide Äste für große $|x|$ betrachten.
3. Gleiche Richtung bedeutet gerader Grad.
4. Unterschiedliche Richtungen bedeuten ungerader Grad.
5. Am rechten Ast das Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmen.
6. Sichtbare Hügel und Täler zählen.
7. Bei $k$ Extremstellen den Mindestgrad $n\geq k+1$ notieren.
8. Zusatzinformationen wie $n$ verwenden.

Kontrollfrage: Habe ich Astregel, Extremstellen und alle Zusatzinformationen gemeinsam verwendet?