Tabellen und Graphen von Polynomfunktionen

Kompetenzcode: FA 4.2
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Bei Polynomfunktionen müssen Informationen sicher zwischen

$$\text{Tabelle} \quad\longleftrightarrow\quad \text{Graph}$$

übertragen werden.

Als Erweiterung kann aus mehreren gegebenen Punkten auch eine passende Polynomgleichung bestimmt werden:

$$\text{Punkte} \quad\longrightarrow\quad \text{Gleichungssystem} \quad\overset{\text{CAS}}{\longrightarrow}\quad \text{Funktionsgleichung}.$$

Leitidee: Jede Darstellung zeigt dieselben Wertepaare, aber auf eine andere Art.

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Orientierung und Lernweg

Die Arbeit mit Polynomfunktionen beginnt beim sicheren Wechsel zwischen Tabelle und Graph:

1. Eingabe- und Ausgabewerte unterscheiden.
2. Wertepaare korrekt lesen und bilden.
3. Achsen, Einheiten und Skalierung festlegen.
4. Tabellenpunkte eintragen und einen plausiblen glatten Verlauf zeichnen.
5. Werte aus einem Graphen ablesen und die Genauigkeit angeben.
6. Tabelle und Graph gegenseitig kontrollieren.

Die spätere Bestimmung einer Polynomgleichung aus mehreren Punkten baut auf diesem Darstellungswechsel auf und wird als eigener Zusatz behandelt.

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1. Eingabe und Ausgabe sicher unterscheiden

Ein Wertepaar besitzt die Form

$$\left( \underbrace{x}_{\text{Eingabe}} \;\middle|\; \underbrace{f(x)}_{\text{Ausgabe}} \right).$$

In einer Tabelle steht meist

$$\begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5\\ \hline f(x) & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 \end{array}$$

und daraus entstehen die Punkte

$$(x_1\mid y_1),\; (x_2\mid y_2),\; \dots$$

Merksatz: Die erste Tabellenzeile liefert die $x$-Koordinate, die zweite Zeile die $y$-Koordinate.

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2. Von der Tabelle zum Graphen

Beispiel

Gegeben ist die Tabelle:

Daraus entstehen die Punkte

$$(-2\mid5),\; (-1\mid2),\; (0\mid1),\; (1\mid2),\; (2\mid5).$$

Vorgehen

1. Wertepaare bilden.
2. Geeignete Skalierung wählen.
3. Achsen mit Größen und Einheiten beschriften.
4. Alle Punkte exakt eintragen.
5. Punkte mit einem glatten, zur Polynomfunktion passenden Verlauf verbinden.
6. Den dargestellten Bereich kontrollieren.

Achtung: Tabellenpunkte werden bei einer Polynomfunktion nicht automatisch mit geraden Strecken verbunden. Der Graph verläuft glatt.

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3. Eine geeignete Skalierung wählen

Die Skalierung soll alle wichtigen Punkte gut sichtbar machen.

Ungünstig

Eine Einheit entspricht einem sehr großen Abstand. Dann liegen die Punkte zu weit auseinander oder außerhalb des Fensters.

Ebenfalls ungünstig

Eine Einheit entspricht einem sehr kleinen Abstand. Dann liegen alle Punkte eng zusammen und der Verlauf ist kaum erkennbar.

Hilfreiche Fragen

• Welche kleinsten und größten $x$-Werte kommen vor?
• Welche kleinsten und größten Funktionswerte kommen vor?
• Muss der Ursprung sichtbar sein?
• Sind Einheiten angegeben?
• Müssen Nullstellen oder Extrempunkte besonders gut ablesbar sein?

Merksatz: Die Skalierung muss zur Tabelle passen – nicht die Tabelle zur Skalierung.

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4. Von einem Graphen zur Tabelle

Beim Ablesen aus einem Graphen wird zuerst ein Argumentwert $x$ gewählt.

Besonders geeignete Punkte

Für eine Tabelle wählt man bevorzugt:

• Nullstellen,
• den $y$-Achsenabschnitt,
• Hochpunkte,
• Tiefpunkte,
• gut erkennbare Gitterpunkte,
• Randpunkte des dargestellten Bereichs.

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5. Zwischenwerte vorsichtig interpretieren

Eine Tabelle zeigt nur einzelne Stützpunkte.

Zwischen zwei Tabellenwerten kann ein Polynomgraph

• steigen,
• fallen,
• eine Nullstelle besitzen,
• einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzen,
• seine Krümmung verändern.

Daher darf man aus zwei Tabellenpunkten nicht automatisch auf einen geradlinigen Verlauf schließen.

Wichtig: Eine Tabelle ist eine Auswahl von Punkten, nicht der vollständige Graph.

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6. Charakteristische Punkte verwenden

Ein Graph wird besonders verständlich, wenn charakteristische Punkte in die Tabelle aufgenommen werden.

Nullstelle

$$N(x_N\mid0)$$

$y$-Achsenabschnitt

$$A(0\mid f(0))$$

Hochpunkt

$$H(x_H\mid f(x_H))$$

Tiefpunkt

$$T(x_T\mid f(x_T))$$

Diese Punkte helfen beim Zeichnen und beim Kontrollieren einer Skizze.

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7. Arbeitsplan: Tabelle in Graph umwandeln

1. Tabellenüberschrift und Einheiten lesen.
2. Wertepaare bilden.
3. Wertebereich bestimmen.
4. Achsenskalierung festlegen.
5. Koordinatensystem beschriften.
6. Punkte exakt eintragen.
7. Nach charakteristischen Punkten suchen.
8. Einen glatten Polynomverlauf zeichnen.
9. Prüfen, ob alle Punkte auf dem Graphen liegen.
10. Graph im Kontext beschriften.

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8. Arbeitsplan: Graph in Tabelle umwandeln

1. Gewünschte oder geeignete $x$-Werte auswählen.
2. Senkrecht zum Graphen gehen.
3. Funktionswert waagrecht ablesen.
4. Wertepaar notieren.
5. Exakte und näherungsweise Werte kennzeichnen.
6. Nullstellen und Extrempunkte bevorzugt aufnehmen.
7. Einheit und dargestellten Bereich beachten.
8. Tabelle nach steigenden $x$-Werten ordnen.
9. Werte durch erneutes Ablesen kontrollieren.
10. Unsichere Werte nicht mit zu vielen Dezimalstellen angeben.

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9. Zusatz: Eine Polynomgleichung aus mehreren Punkten bestimmen

Dieser Zusatz setzt voraus, dass Tabellenwerte, Punkte, Skalierung und Graphverlauf bereits sicher miteinander verbunden werden können.

Dieser Abschnitt ist anspruchsvoller. Er gehört als Aufbau zum Darstellungswechsel:

$$\text{Punkte} \longrightarrow \text{Gleichungen} \longrightarrow \text{Funktionsgleichung} \longrightarrow \text{Graph}.$$

10. Wie viele Bedingungen werden benötigt?

Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ besitzt im allgemeinen Ansatz $n+1$ unbekannte Koeffizienten:

$$f(x)= \underbrace{a_nx^n}_{\text{1. Koeffizient}} +\dots+ \underbrace{a_1x}_{\text{$n$. Koeffizient}} + \underbrace{a_0}_{\text{$(n+1)$. Koeffizient}}.$$

Daher werden im Allgemeinen $n+1$ unabhängige Bedingungen benötigt.

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11. Quadratische Funktion aus drei Punkten

Gegeben sind:

$$P(-1\mid6),\qquad Q(1\mid2),\qquad R(2\mid3).$$

Gesucht ist eine quadratische Funktion.

Schritt 1: Ansatz

$$f(x)=ax^2+bx+c.$$

Die unbekannten Bestandteile sind:

$$f(x)= \underbrace{a}_{\text{unbekannt}}x^2 + \underbrace{b}_{\text{unbekannt}}x + \underbrace{c}_{\text{unbekannt}}.$$

Schritt 2: Jeden Punkt einsetzen

Für einen Punkt

$$(x_i\mid y_i)$$

gilt:

$$\underbrace{y_i}_{\text{gegebener Funktionswert}} = a\underbrace{x_i^2}_{\text{Quadratterm}} + b\underbrace{x_i}_{\text{linearer Term}} + c.$$

Punkt $P(-1\mid6)$

$$\begin{aligned} \text{I:}\qquad 6 &=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c\\ 6 &=a-b+c. \end{aligned}$$

Punkt $Q(1\mid2)$

$$\begin{aligned} \text{II:}\qquad 2 &=a\cdot1^2+b\cdot1+c\\ 2 &=a+b+c. \end{aligned}$$

Punkt $R(2\mid3)$

$$\begin{aligned} \text{III:}\qquad 3 &=a\cdot2^2+b\cdot2+c\\ 3 &=4a+2b+c. \end{aligned}$$

Damit entsteht das Gleichungssystem:

$$\left\{ \begin{aligned} \text{I:}\quad a-b+c&=6\\ \text{II:}\quad a+b+c&=2\\ \text{III:}\quad4a+2b+c&=3 \end{aligned} \right.$$

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12. Gleichungssystem mit dem CAS lösen

Das Gleichungssystem kann händisch gelöst werden. Bei mehreren Koeffizienten ist das jedoch oft umständlich und zeitintensiv.

Empfehlung: Ansatz und Gleichungen selbst aufstellen, das lineare Gleichungssystem anschließend mit dem CAS lösen.

Eine mögliche CAS-Eingabe lautet:

Löse(
  {
    a - b + c = 6,
    a + b + c = 2,
    4a + 2b + c = 3
  },
  {a, b, c}
)

Das CAS liefert:

$$a=1,\qquad b=-2,\qquad c=3.$$

Schritt 3: Koeffizienten einsetzen

$$\begin{aligned} f(x) &=ax^2+bx+c\\ &=1\cdot x^2+(-2)\cdot x+3\\ &=\boxed{x^2-2x+3}. \end{aligned}$$

CAS-Regel: Das CAS löst das System. Die mathematische Arbeit davor und danach bleibt notwendig.

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13. Rücksubstitution als Probe

Alle gegebenen Punkte müssen die gefundene Gleichung erfüllen.

Punkt $P(-1\mid6)$

$$\begin{aligned} f(-1) &=(-1)^2-2\cdot(-1)+3\\ &=1+2+3\\ &=6. \end{aligned}$$

Punkt $Q(1\mid2)$

$$\begin{aligned} f(1) &=1^2-2\cdot1+3\\ &=2. \end{aligned}$$

Punkt $R(2\mid3)$

$$\begin{aligned} f(2) &=2^2-2\cdot2+3\\ &=3. \end{aligned}$$

Alle drei Punkte liegen auf dem Graphen.

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14. Typische Fehler beim Gleichungssystem

• Einen Punkt als $(y\mid x)$ einsetzen.
• Beim Quadrieren einer negativen Zahl die Klammern vergessen.
• Für drei unbekannte Koeffizienten nur zwei Gleichungen aufstellen.
• I, II und III nicht übersichtlich trennen.
• Im CAS andere Variablen verwenden als im Ansatz.
• Das CAS-Ergebnis ungeprüft übernehmen.
• Koeffizienten nicht in den Ansatz einsetzen.
• Keine Rücksubstitution durchführen.
• Einen höheren Grad wählen, obwohl ein einfacherer Ansatz verlangt ist.

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15. Was das CAS übernimmt – und was nicht

Das CAS übernimmt

$$\underbrace{\text{Lösen des linearen Gleichungssystems}}_{\text{rechenintensiver Teil}}.$$

Die lernende Person übernimmt

$$\underbrace{\text{passenden Ansatz wählen}}_{\text{mathematische Entscheidung}}$$ $$\underbrace{\text{Punkte korrekt einsetzen}}_{\text{Modellierung}}$$ $$\underbrace{\text{Ergebnis prüfen und deuten}}_{\text{Kontrolle}}.$$

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16. Typische Fehler beim Darstellungswechsel

• $x$- und $y$-Werte vertauschen.
• Achsen ungleichmäßig skalieren.
• Einheiten nicht anschreiben.
• Tabellenpunkte mit einem Polygonzug verbinden.
• Zwischenwerte als sicher ansehen, obwohl sie nur geschätzt sind.
• Ein ungefähr abgelesenes Ergebnis mit $=$ statt mit $\approx$ notieren.
• Charakteristische Punkte übersehen.
• Einen zu kleinen Graphenausschnitt wählen.
• Aus wenigen Tabellenpunkten zu viel über den gesamten Verlauf folgern.

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17. Zusammenfassung

Tabelle $\rightarrow$ Graph

$$\boxed{ \text{Wertepaare bilden} \rightarrow \text{skalieren} \rightarrow \text{Punkte eintragen} \rightarrow \text{glatt verbinden} }$$

Graph $\rightarrow$ Tabelle

$$\boxed{ \text{$x$-Wert wählen} \rightarrow \text{Graph treffen} \rightarrow \text{$y$-Wert ablesen} \rightarrow \text{Genauigkeit angeben} }$$

Punkte $\rightarrow$ Gleichung

$$\boxed{ \text{Ansatz} \rightarrow \text{I, II, III} \overset{\text{CAS}}{\rightarrow} \text{Koeffizienten} \rightarrow \text{Probe} }$$

Kontrollfrage: Habe ich die Wertepaare korrekt übertragen, die Genauigkeit passend angegeben und eine gefundene Gleichung durch alle Punkte geprüft?