Funktions- und Argumentwerte bei Polynomfunktionen

Kompetenzcode: FA 4.3
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Bei einer Funktion gehören immer zwei Werte zusammen:

$$\left( \underbrace{x}_{\text{Argument / Eingabe}} \;\middle|\; \underbrace{f(x)}_{\text{Funktionswert / Ausgabe}} \right).$$

Leitidee: Beim Funktionswert ist $x$ gegeben. Beim Argumentwert ist $f(x)$ gegeben.

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1. Funktionswert und Argumentwert unterscheiden

Funktionswert bestimmen

Gegeben ist ein Argument $x$. Gesucht ist der zugehörige Funktionswert.

$$x \longrightarrow f(x)$$

Beispiel:

$$x=2 \qquad\Rightarrow\qquad f(2)=5.$$

Der zugehörige Punkt lautet:

$$P(2\mid5).$$

Argumentwert bestimmen

Gegeben ist ein Funktionswert $y_0$. Gesucht sind alle Argumentwerte $x$, für die

$$f(x)=y_0$$

gilt.

Beispiel:

$$f(x)=5.$$

Dazu können kein, ein oder mehrere Argumentwerte gehören.

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2. Funktionswerte aus einer Tabelle ablesen

Gegeben ist:

Gesucht ist $f(1)$.

In der Spalte mit

$$x=1$$

steht:

$$f(1)=3.$$

Arbeitsregel

1. Den gegebenen $x$-Wert in der ersten Zeile suchen.
2. In derselben Spalte den Wert in der zweiten Zeile ablesen.
3. Das Ergebnis als $f(x)=y$ notieren.

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3. Funktionswerte aus einem Graphen ablesen

Gesucht ist zum Beispiel $f(2)$.

Vorgehen

1. Auf der $x$-Achse den Wert $2$ markieren.
2. Senkrecht zum Graphen gehen.
3. Vom Schnittpunkt waagrecht zur $y$-Achse gehen.
4. Den Funktionswert ablesen.

$$x=2 \quad\overset{\text{senkrecht zum Graphen}}{\longrightarrow}\quad f(2).$$

Ein abgelesener Wert ist häufig nur näherungsweise bekannt:

$$f(2)\approx3{,}4.$$

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4. Funktionswerte aus einer Gleichung berechnen

Gegeben ist

$$f(x)=2x^3-3x+1.$$

Gesucht ist $f(2)$.

$$\begin{aligned} f(2) &=2\cdot2^3-3\cdot2+1\\ &=2\cdot8-6+1\\ &=11. \end{aligned}$$

Der zugehörige Punkt lautet:

$$P(2\mid11).$$

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5. Negative Argumente richtig einsetzen

Gegeben ist

$$f(x)=x^2-3x+2.$$

Gesucht ist $f(-2)$.

$$\begin{aligned} f(-2) &=(-2)^2-3\cdot(-2)+2\\ &=4+6+2\\ &=12. \end{aligned}$$

Wichtig: Negative Argumente werden beim Einsetzen in Klammern geschrieben.

Falsch wäre:

$$-2^2.$$

Denn

$$-2^2=-(2^2)=-4.$$

Richtig ist:

$$(-2)^2=4.$$

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6. Dezimalzahlen und Brüche einsetzen

Gegeben ist

$$g(x)=4x^2-1.$$

Dezimalzahl

$$\begin{aligned} g(0{,}5) &=4\cdot(0{,}5)^2-1\\ &=4\cdot0{,}25-1\\ &=0. \end{aligned}$$

Bruch

$$\begin{aligned} g\left(\frac12\right) &=4\cdot\left(\frac12\right)^2-1\\ &=4\cdot\frac14-1\\ &=0. \end{aligned}$$

Auch Dezimalzahlen und Brüche werden beim Einsetzen in Klammern geschrieben.

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7. Argumentwerte aus einer Tabelle bestimmen

Verwendet wird wieder die Tabelle:

Gesucht sind alle Argumentwerte mit

$$f(x)=3.$$

In der zweiten Zeile kommt der Wert $3$ zweimal vor.

Die zugehörigen Argumentwerte lauten:

$$\boxed{x=-1\quad\text{oder}\quad x=1}.$$

Kontrolle: Bei Argumentwertaufgaben müssen alle passenden Spalten berücksichtigt werden.

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8. Argumentwerte aus einem Graphen ablesen

Gesucht sind alle Argumentwerte mit

$$f(x)=4.$$

Vorgehen

1. Auf der $y$-Achse den Wert $4$ markieren.
2. Eine waagrechte Linie zum Graphen denken oder zeichnen.
3. Alle Schnittpunkte mit dem Graphen bestimmen.
4. Von jedem Schnittpunkt senkrecht zur $x$-Achse gehen.
5. Alle Argumentwerte ablesen.

Eine waagrechte Gerade kann den Graphen

• gar nicht,
• einmal,
• mehrmals

schneiden.

Deshalb kann eine Argumentwertaufgabe keine, eine oder mehrere Lösungen besitzen.

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9. Argumentwerte rechnerisch bestimmen

Gegeben ist

$$f(x)=x^2-4.$$

Gesucht sind alle Argumentwerte mit

$$f(x)=5.$$

Zuerst wird der vorgegebene Funktionswert eingesetzt:

$$\begin{aligned} x^2-4&=5 \qquad /+4\\ x^2&=9\\ x&=\pm3. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{x_1=-3,\qquad x_2=3}.$$

Probe

$$f(-3)=9-4=5$$

und

$$f(3)=9-4=5.$$

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10. Allgemeines Vorgehen bei quadratischen Funktionen

Gegeben ist

$$f(x)=ax^2+bx+c.$$

Gesucht sind die Argumentwerte zu einem Funktionswert $y_0$.

Schritt 1: Zielwert einsetzen

$$ax^2+bx+c=y_0.$$

Schritt 2: Nullform herstellen

$$\begin{aligned} ax^2+bx+c&=y_0 \qquad /-y_0\\ ax^2+bx+c-y_0&=0. \end{aligned}$$

Schritt 3: Quadratische Gleichung lösen

Mögliche Verfahren:

• Faktorisieren,
• quadratische Lösungsformel,
• CAS bei unhandlichen Zahlen.

Schritt 4: Lösungen prüfen

Jeder gefundene Wert wird in die ursprüngliche Funktion eingesetzt.

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11. Keine, eine oder zwei reelle Lösungen

Zwei Lösungen

Eine waagrechte Gerade schneidet eine Parabel in zwei Punkten.

Eine Lösung

Die waagrechte Gerade berührt die Parabel im Scheitelpunkt.

Keine reelle Lösung

Die waagrechte Gerade besitzt keinen Schnittpunkt mit der Parabel.

Rechnerisch zeigt sich das bei der quadratischen Lösungsformel an der Diskriminante.

$$D=b^2-4ac.$$

• $D>0$: zwei reelle Lösungen
• $D=0$: eine reelle Lösung
• $D<0$: keine reelle Lösung

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12. Argumentwerte bei Polynomen höheren Grades

Bei Polynomfunktionen höheren Grades kann die Gleichung

$$f(x)=y_0$$

mehr als zwei Lösungen besitzen.

Beispiel:

$$f(x)=x^3-4x.$$

Für einen vorgegebenen Zielwert entsteht eine Gleichung dritten Grades.

Solche Gleichungen können je nach Aufgabe

• faktorisiert,
• grafisch gelöst,
• mit einem CAS gelöst

werden.

CAS-Regel: Das CAS darf den rechenintensiven Lösungsschritt übernehmen. Die Gleichung $f(x)=y_0$, die Auswahl aller Lösungen und die Probe bleiben mathematische Eigenleistung.

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13. Werte im Kontext deuten

Beispiel:

$$h(t)=-0{,}5t^2+4t+1$$

beschreibt eine Höhe $h$ in Metern nach $t$ Sekunden.

Funktionswert

$$h(2)=7.$$

Deutung:

Nach $2$ Sekunden beträgt die Höhe $7\,\mathrm m$.

Argumentwert

$$h(t)=7.$$

Deutung:

Gesucht sind alle Zeitpunkte, zu denen die Höhe $7\,\mathrm m$ beträgt.

Im Kontext müssen unzulässige Lösungen ausgeschlossen werden, zum Beispiel negative Zeitwerte.

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14. Typische Fehler

• Argumentwert und Funktionswert verwechseln.
• In einer Tabelle nur die erste passende Spalte berücksichtigen.
• Bei einem Graphen nicht alle Schnittpunkte mit $y=y_0$ beachten.
• Negative Argumente ohne Klammern einsetzen.
• Potenzen vor dem Einsetzen falsch berechnen.
• Bei $x^2=9$ nur statt angeben.

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15. Arbeitsplan: Funktionswert bestimmen

1. Darstellung erkennen: Tabelle, Graph oder Gleichung.
2. Gegebenen Argumentwert $x$ markieren.
3. In Tabelle oder Graph den zugehörigen Wert ablesen.
4. In einer Gleichung $x$ mit Klammern einsetzen.
5. Potenzen berechnen.
6. Punkt-vor-Strich beachten.
7. Ergebnis als $f(x)=y$ notieren.
8. Bei einem Graphen die Ablesegenauigkeit beachten.
9. Einheit ergänzen.
10. Ergebnis im Kontext formulieren.

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16. Arbeitsplan: Argumentwerte bestimmen

1. Vorgegebenen Funktionswert $y_0$ markieren.
2. Gleichung $f(x)=y_0$ formulieren.
3. In einer Tabelle alle passenden Spalten suchen.
4. Im Graphen die waagrechte Linie verwenden.

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17. Zusammenfassung

Funktionswert

$$\boxed{ x\text{ gegeben} \quad\Rightarrow\quad f(x)\text{ gesucht} }$$

Argumentwert

$$\boxed{ f(x)=y_0\text{ gegeben} \quad\Rightarrow\quad x\text{ gesucht} }$$

Rechnerisches Vorgehen

$$\boxed{ f(x)=y_0 \rightarrow \text{Nullform} \rightarrow \text{lösen} \rightarrow \text{Probe} }$$

Kontrollfrage: Habe ich wirklich die gesuchte Größe bestimmt und alle möglichen Argumentwerte berücksichtigt?