Grad und Anzahl charakteristischer Stellen

Kompetenzcode: FA 4.4
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Der Grad einer Polynomfunktion begrenzt, wie viele Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen möglich sind.

Leitidee: Der Grad liefert Obergrenzen. Er sagt nicht, dass diese Anzahlen tatsächlich auftreten müssen.

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1. Den Grad einer Polynomfunktion bestimmen

Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ hat die Form

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$

mit

$$a_n\neq0.$$

Der Grad ist der höchste Exponent, dessen Koeffizient nicht null ist.

Beispiele

$$f(x)=3x^4-2x+1$$

hat den Grad $4$.

$$g(x)=-5x^3+7x^2$$

hat den Grad $3$.

$$h(x)=0x^5+2x^2-6$$

hat den Grad $2$, weil der Koeffizient von $x^5$ null ist.

Die Nullfunktion wird hier nicht betrachtet, weil ihr kein eindeutiger Grad zugeordnet wird.

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2. Stelle und Punkt unterscheiden

Eine Stelle ist ein $x$-Wert.

Ein Punkt besteht aus einer $x$- und einer $y$-Koordinate.

Nullstelle

$$f(x_0)=0.$$

• Nullstelle: $x_0$
• Nullpunkt: $N(x_0\mid0)$

Extremstelle

• Extremstelle: $x_E$
• Extrempunkt: $E(x_E\mid f(x_E))$

Wendestelle

• Wendestelle: $x_W$
• Wendepunkt: $W(x_W\mid f(x_W))$

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3. Die drei zentralen Obergrenzen

Für eine Polynomfunktion vom Grad $n$ gelten:

Die Aussage zu Extremstellen ist für $n\geq1$ sinnvoll.
Die Aussage zu Wendestellen wird für $n\geq2$ verwendet.

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4. Was bedeutet „höchstens“?

„Höchstens $n$ Nullstellen“ bedeutet:

$$\text{Anzahl der Nullstellen}\leq n.$$

Es bedeutet nicht:

$$\text{Anzahl der Nullstellen}=n.$$

Eine Polynomfunktion vom Grad $4$ kann beispielsweise

• keine reelle Nullstelle,
• eine, zwei oder drei verschiedene reelle Nullstellen,
• vier verschiedene reelle Nullstellen

besitzen.

Entsprechendes gilt für Extrem- und Wendestellen.

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5. Warum gibt es höchstens $n$ Nullstellen?

Ein von null verschiedenes Polynom vom Grad $n$ kann nicht mehr als $n$ verschiedene reelle Nullstellen besitzen.

Beispiele für Funktionen vierten Grades:

$$f(x)=x^4+1$$

hat keine reelle Nullstelle.

$$g(x)=(x^2-1)^2$$

hat die zwei verschiedenen Nullstellen

$$x=-1,\qquad x=1.$$ $$h(x)=x^4-5x^2+4$$

hat vier verschiedene Nullstellen:

$$x=-2,\,-1,\,1,\,2.$$

Warum kann die tatsächliche Anzahl kleiner sein?

• Manche Nullstellen können mehrfach vorkommen.
• Manche Lösungen der Polynomgleichung sind nicht reell.
• Die Obergrenze muss nicht ausgeschöpft werden.

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6. Warum gibt es höchstens $n-1$ Extremstellen?

Ist $f$ vom Grad $n$, dann hat die erste Ableitung den Grad

$$\deg(f')=n-1.$$

Extremstellen können nur an Stellen auftreten, an denen

$$f'(x)=0$$

gilt.

Da $f'$ höchstens $n-1$ reelle Nullstellen besitzt, kann $f$ höchstens $n-1$ Extremstellen besitzen.

Eine Nullstelle von $f'$ ist nur eine mögliche Extremstelle. Ein Vorzeichenwechsel von $f'$ oder ein anderes geeignetes Kriterium muss die Extremstelle bestätigen.

Beispiel:

$$f(x)=x^3,\qquad f'(x)=3x^2.$$

Es gilt $f'(0)=0$, aber $x=0$ ist keine Extremstelle.

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7. Warum gibt es höchstens $n-2$ Wendestellen?

Für eine Polynomfunktion vom Grad $n\geq2$ gilt:

$$\deg(f'')=n-2.$$

Wendestellen können nur an Stellen auftreten, an denen

$$f''(x)=0$$

gilt.

Da $f''$ höchstens $n-2$ reelle Nullstellen besitzt, kann $f$ höchstens $n-2$ Wendestellen besitzen.

Eine Nullstelle von $f''$ ist nur eine mögliche Wendestelle. Die Krümmung muss tatsächlich wechseln.

Beispiel:

$$f(x)=x^4,\qquad f''(x)=12x^2.$$

Es gilt $f''(0)=0$, aber bei $x=0$ findet kein Krümmungswechsel statt.

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8. Übersicht für die Grade 1 bis 4

Beispiel

Eine Polynomfunktion vierten Grades besitzt höchstens

$$4\text{ Nullstellen},\qquad 3\text{ Extremstellen},\qquad 2\text{ Wendestellen}.$$

Diese drei Zahlen sind Obergrenzen und keine Existenzgarantie.

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9. Aus beobachteten Stellen auf den Mindestgrad schließen

Die Obergrenzen können umgekehrt verwendet werden.

$k$ Nullstellen

$$n\geq k.$$

$k$ Extremstellen

Aus

$$k\leq n-1$$

folgt

$$n\geq k+1.$$

$k$ Wendestellen

Aus

$$k\leq n-2$$

folgt

$$n\geq k+2.$$

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10. Mehrere Angaben gemeinsam auswerten

Ein Graph besitzt

• vier Nullstellen,
• drei Extremstellen,
• zwei Wendestellen.

Daraus folgen die Bedingungen

$$\begin{aligned} n&\geq4 &&\text{wegen der Nullstellen},\\ n&\geq3+1=4 &&\text{wegen der Extremstellen},\\ n&\geq2+2=4 &&\text{wegen der Wendestellen}. \end{aligned}$$

Alle drei Bedingungen führen zu

$$\boxed{n\geq4}.$$

Allgemein wird die stärkste der gefundenen Bedingungen verwendet.

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11. Aussagen auf Plausibilität prüfen

Beispiel 1

Eine Polynomfunktion dritten Grades besitzt vier verschiedene Nullstellen.

Das ist unmöglich, weil für $n=3$ höchstens drei Nullstellen möglich sind.

Beispiel 2

Eine Polynomfunktion vierten Grades besitzt vier Extremstellen.

Das ist unmöglich, weil höchstens

$$4-1=3$$

Extremstellen möglich sind.

Beispiel 3

Eine Polynomfunktion vierten Grades besitzt zwei Nullstellen.

Das ist möglich. Die Obergrenze $4$ muss nicht erreicht werden.

Beispiel 4

Eine Polynomfunktion dritten Grades besitzt keine Wendestelle.

Das ist möglich. „Höchstens eine Wendestelle“ bedeutet nicht „genau eine Wendestelle“.

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12. Was die Gradregeln nicht aussagen

Aus dem Grad allein kann man nicht bestimmen,

• wie viele reelle Nullstellen tatsächlich vorhanden sind,
• an welchen Stellen Null-, Extrem- oder Wendestellen liegen,
• welche Funktionswerte die charakteristischen Punkte besitzen,
• ob eine Kandidatenstelle wirklich ein Extrem- oder Wendepunkt ist.

Dafür werden zusätzliche Informationen oder weitere Untersuchungen benötigt.

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13. Arbeitsplan

1. Den höchsten Exponenten mit von null verschiedenem Koeffizienten bestimmen.
2. Den Grad $n$ notieren.
3. Feststellen, welche Stellenart gefragt ist.
4. Die passende Obergrenze verwenden:
   • Nullstellen: $n$
   • Extremstellen: $n-1$
   • Wendestellen: $n-2$
5. Das Wort „höchstens“ ausdrücklich beachten.
6. Bei einem Umkehrschluss die Ungleichung nach auflösen.

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14. Typische Fehler

• Der Grad wird am größten aussehenden Koeffizienten statt am höchsten Exponenten abgelesen.
• Ein Term mit Koeffizient null wird für die Gradbestimmung verwendet.
• „Höchstens“ wird mit „genau“ verwechselt.
• Für Extremstellen wird $n$ statt $n-1$ verwendet.
• Für Wendestellen wird $n-1$ statt $n-2$ verwendet.

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15. Zusammenfassung

Für eine Polynomfunktion vom Grad $n$ gelten die Obergrenzen

$$\boxed{ \begin{aligned} \text{Nullstellen} &\leq n,\\ \text{Extremstellen} &\leq n-1,\\ \text{Wendestellen} &\leq n-2. \end{aligned} }$$

Umgekehrt gilt:

$$\boxed{ \begin{aligned} k\text{ Nullstellen} &\Rightarrow n\geq k,\\ k\text{ Extremstellen} &\Rightarrow n\geq k+1,\\ k\text{ Wendestellen} &\Rightarrow n\geq k+2. \end{aligned} }$$

Kontrollfrage: Habe ich eine Obergrenze oder eine tatsächliche Anzahl angegeben?