Exponentielle Zusammenhänge erkennen und darstellen

Kompetenzcode: FA 5.1
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Exponentielle Zusammenhänge erkennt man daran, dass in gleichen Schritten immer mit demselben Faktor multipliziert wird.

Leitidee: Linear bedeutet konstantes Addieren. Exponentiell bedeutet konstantes Multiplizieren.

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1. Woran erkennt man einen exponentiellen Zusammenhang?

Eine Exponentialfunktion kann in der Form

$$f(x)=a\cdot b^x$$

geschrieben werden.

Dabei gelten im üblichen reellen Modell

$$a>0,\qquad b>0,\qquad b\neq1.$$

Wichtiger Tipp: Im hier behandelten reellen Modell muss der Faktor $b$ positiv sein. Also sind $b=0$ und negative Werte für $b$ nicht erlaubt.

Typische Erkennungsmerkmale:

• Die Variable $x$ steht im Exponenten.
• Bei gleichen $x$-Schritten wird immer mit demselben Faktor multipliziert.
• Die relative oder prozentuelle Änderung bleibt konstant.
• In einer Wertetabelle ist der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant.
• Der Graph ist gekrümmt und keine Gerade.

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2. Linear oder exponentiell?

Linearer Zusammenhang

Bei gleichen Schritten von $x$ ist die Differenz konstant:

$$f(x+1)-f(x)=d.$$

Beispiel:

$$10,\ 15,\ 20,\ 25,\dots$$

Es wird immer $5$ addiert.

Exponentieller Zusammenhang

Bei gleichen Schritten von $x$ ist der Quotient konstant:

$$\frac{f(x+1)}{f(x)}=b.$$

Beispiel:

$$10,\ 15,\ 22{,}5,\ 33{,}75,\dots$$

Es wird immer mit $1{,}5$ multipliziert.

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3. Tabellen systematisch prüfen

Gegeben sei die Tabelle:

Differenzen prüfen

$$12-8=4,\qquad18-12=6,\qquad27-18=9.$$

Die Differenzen sind nicht konstant.

Quotienten prüfen

$$\frac{12}{8}=1{,}5,\qquad \frac{18}{12}=1{,}5,\qquad \frac{27}{18}=1{,}5.$$

Die Quotienten sind konstant. Daher liegt ein exponentieller Zusammenhang mit dem Faktor

$$b=1{,}5$$

vor.

Quotienten dürfen nur direkt verglichen werden, wenn die $x$-Abstände gleich groß sind.

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4. Anfangswert und Faktor erkennen

In

$$f(x)=a\cdot b^x$$

ist

$$f(0)=a\cdot b^0=a.$$

Daher ist $a$ der Funktionswert bei $x=0$.

Der Faktor $b$ beschreibt die Veränderung pro $x$-Einheit:

$$f(x+1)=b\cdot f(x).$$

Beispiel

Aus der Tabelle

liest man ab:

$$a=20,\qquad b=\frac{30}{20}=1{,}5.$$

Damit lautet die Funktionsgleichung

$$\boxed{f(x)=20\cdot1{,}5^x}.$$

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5. Prozentangaben in Faktoren umwandeln

Zunahme um $p\,\%$

$$b=1+\frac{p}{100}.$$

Beispiel: Zunahme um $8\,\%$

$$b=1+\frac{8}{100}=1{,}08.$$

Abnahme um $p\,\%$

$$b=1-\frac{p}{100}.$$

Beispiel: Abnahme um $20\,\%$

$$b=1-\frac{20}{100}=0{,}8.$$

Eine Abnahme um $20\,\%$ bedeutet: $80\,\%$ bleiben erhalten. Der Faktor ist daher $0{,}8$, nicht $0{,}2$.

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6. Wachstum und Abnahme erkennen

Exponentielles Wachstum

$$b>1.$$

Die Funktionswerte werden bei wachsendem $x$ größer.

Beispiel:

$$f(x)=5\cdot1{,}4^x.$$

Exponentielle Abnahme

$$0<b<1.$$

Die Funktionswerte werden bei wachsendem $x$ kleiner.

Beispiel:

$$g(x)=80\cdot0{,}75^x.$$

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7. Exponentielle Formulierungen in Texten

Typische Formulierungen sind:

• „wächst jedes Jahr um $6\,\%$“
• „nimmt pro Stunde um $15\,\%$ ab“
• „verdoppelt sich in jedem Schritt“
• „wird pro Zeiteinheit mit $1{,}2$ multipliziert“
• „es bleiben täglich $90\,\%$ erhalten“

Nicht exponentiell sind Formulierungen wie:

• „jedes Jahr kommen $50$ hinzu“
• „pro Stunde sinkt der Wert um $3$“
• „der Graph ist eine Gerade“

Diese Aussagen beschreiben konstante absolute Änderungen und damit lineare Zusammenhänge.

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8. Vom Text zur Formel

Beispiel: Wachstum

Eine Bakterienkultur enthält zu Beginn $500$ Bakterien und wächst pro Stunde um $12\,\%$.

Anfangswert:

$$a=500.$$

Faktor:

$$b=1+\frac{12}{100}=1{,}12.$$

Modell:

$$\boxed{N(t)=500\cdot1{,}12^t}.$$

Beispiel: Abnahme

Eine Masse beträgt zu Beginn $200\,\mathrm{g}$. Pro Tag gehen $7\,\%$ verloren.

$$a=200,\qquad b=1-\frac{7}{100}=0{,}93.$$

Modell:

$$\boxed{M(t)=200\cdot0{,}93^t}.$$

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9. Von der Formel zur Tabelle

Gegeben ist

$$f(x)=4\cdot2^x.$$

Dann gilt:

Die Funktionswerte werden in jedem Schritt mit $2$ multipliziert.

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10. Vom Graphen zur Beschreibung

Ein typischer Exponentialgraph mit $a>0$ und $b>0$

• verläuft oberhalb der $x$-Achse,
• schneidet die $y$-Achse bei $(0\mid a)$,
• ist keine Gerade,
• nähert sich in einer Richtung der $x$-Achse an,
• wächst bei $b>1$,

Der Graph allein zeigt nicht immer sofort den exakten Faktor. Dazu werden geeignete Punkte oder eine Wertetabelle benötigt.

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11. Die Schrittweite beachten

Sind die $x$-Abstände nicht $1$, dann ist der Quotient nicht direkt der Faktor pro Einheit.

Beispiel

Für einen Schritt von $2$ gilt:

$$\frac{40}{10}=4.$$

Der Faktor pro Einheit erfüllt daher

$$b^2=4.$$

Im üblichen positiven Modell folgt

$$b=2.$$

Die passende Funktion lautet

$$f(x)=10\cdot2^x.$$

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12. Variable im Exponenten oder vor der Variablen?

Exponentiell

$$f(x)=3\cdot2^x.$$

Die Variable steht im Exponenten.

Linear

$$g(x)=3\cdot x+2.$$

Die Variable steht nicht im Exponenten. Die Funktion beschreibt eine Gerade.

Potenzfunktion

$$h(x)=3\cdot x^2.$$

Hier ist die Basis variabel und der Exponent konstant. Das ist keine Exponentialfunktion.

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13. Darstellungen wechseln

Bei einem Darstellungswechsel bleiben dieselben Informationen erhalten:

Ein guter Darstellungswechsel prüft mindestens einen Wert in beiden Darstellungen.

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14. Wann ist die Entscheidung nicht eindeutig?

Ein einzelnes Wertepaar reicht nicht aus, um zwischen linear und exponentiell zu unterscheiden.

Auch ein sehr kurzer Graphausschnitt kann nahezu geradlinig aussehen.

Für eine sichere Entscheidung helfen:

• mehrere Werte bei gleichen $x$-Abständen,
• Differenzen und Quotienten,
• eine eindeutige Textaussage,
• eine Funktionsgleichung,
• ein ausreichend großer Graphbereich.

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15. Arbeitsplan

1. Gegebene Darstellung und Einheiten lesen.
2. Prüfen, ob die Variable im Exponenten steht.
3. Bei Tabellen zuerst gleiche $x$-Abstände kontrollieren.
4. Differenzen berechnen.
5. Quotienten berechnen.
6. Konstantes Addieren und konstantes Multiplizieren unterscheiden.
7. Anfangswert $a=f(0)$ bestimmen.
8. Faktor $b$ aus Quotient oder Prozentangabe bestimmen.
9. Wachstum $b>1$ oder Abnahme erkennen.

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16. Typische Fehler

• Eine konstante Differenz wird für exponentiell gehalten.
• Quotienten werden trotz unterschiedlicher $x$-Abstände direkt verglichen.
• $8\,\%$ wird als Faktor $0{,}08$ statt $1{,}08$ verwendet.
• Bei $20\,\%$ Abnahme wird statt eingesetzt.

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17. Zusammenfassung

Ein exponentieller Zusammenhang liegt vor, wenn in gleichen Schritten immer mit demselben Faktor multipliziert wird.

$$\boxed{f(x)=a\cdot b^x}$$

mit

$$\boxed{\frac{f(x+1)}{f(x)}=b}.$$

Dabei gilt:

$$\boxed{ \begin{aligned} b>1 &\Rightarrow \text{Wachstum},\\ 0<b<1 &\Rightarrow \text{Abnahme}. \end{aligned} }$$

Kontrollfrage: Ist die absolute Änderung konstant oder die relative Änderung?