Werte bei Exponentialfunktionen

Kompetenzcode: FA 5.2
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen sollen Wertepaare ermittelt und im Kontext gedeutet werden.

Leitidee: Zu jedem Argumentwert $x$ gehört genau ein Funktionswert $f(x)$.

---

1. Argumentwert, Funktionswert und Wertepaar

Bei einer Funktion

$$y=f(x)$$

ist

• $x$ der Argumentwert oder Eingabewert,
• $f(x)$ der Funktionswert oder Ausgabewert,
• $(x\mid f(x))$ das zugehörige Wertepaar beziehungsweise der Punkt am Graphen.

Beispiel

$$f(2)=18$$

bedeutet:

• Argumentwert: $x=2$
• Funktionswert: $f(2)=18$
• Wertepaar: $(2\mid18)$

---

2. Funktionswerte bei $f(x)=a\cdot b^x$ berechnen

Um einen Funktionswert zu bestimmen, wird der gegebene $x$-Wert für $x$ eingesetzt.

Beispiel

$$f(x)=5\cdot2^x$$

Gesucht ist $f(3)$.

$$\begin{aligned} f(3)&=5\cdot2^3\\ &=5\cdot8\\ &=40. \end{aligned}$$

Damit lautet das Wertepaar

$$\boxed{(3\mid40)}.$$

---

3. Funktionswerte bei $f(x)=a\cdot e^{\lambda x}$ berechnen

Auch hier wird der Argumentwert eingesetzt.

Beispiel

$$g(x)=12\cdot e^{0{,}2x}$$

Gesucht ist $g(4)$.

$$\begin{aligned} g(4)&=12\cdot e^{0{,}2\cdot4}\\ &=12\cdot e^{0{,}8}\\ &\approx26{,}71. \end{aligned}$$

Damit gilt näherungsweise

$$\boxed{(4\mid26{,}71)}.$$

Bei der Form $a\cdot e^{\lambda x}$ ist $e$ die feste Euler-Zahl. Der Parameter $\lambda$ wird mit dem eingesetzten $x$-Wert multipliziert.

---

4. Besondere Argumentwerte

$x=0$

Für beide Grundformen gilt

$$f(0)=a.$$

Denn

$$b^0=1 \qquad\text{und}\qquad e^0=1.$$

Der Anfangswert ist daher der $y$-Achsenabschnitt.

$x=1$

Bei

$$f(x)=a\cdot b^x$$

gilt

$$f(1)=a\cdot b.$$

Negative Argumentwerte

Für $b>0$ gilt beispielsweise

$$b^{-2}=\frac{1}{b^2}.$$

Daher ist

$$f(-2)=a\cdot b^{-2} =\frac{a}{b^2}.$$

---

5. Werte aus einer Tabelle ablesen

In einer Tabelle wird zu einem gegebenen $x$-Wert der zugehörige Funktionswert gesucht.

Beispiele:

$$f(1)=16$$

und

$$f(-1)=4.$$

Umgekehrt kann auch nach dem Argumentwert gefragt werden:

$$f(x)=32$$

liefert aus der Tabelle

$$x=2.$$

---

6. Werte aus einem Graphen ablesen

Funktionswert ablesen

1. Den gegebenen $x$-Wert auf der $x$-Achse markieren.
2. Senkrecht bis zum Graphen gehen.
3. Waagrecht zur $y$-Achse gehen.
4. Den Funktionswert ablesen.

Argumentwert ablesen

1. Den gegebenen Funktionswert auf der $y$-Achse markieren.
2. Waagrecht bis zum Graphen gehen.
3. Senkrecht zur $x$-Achse gehen.
4. Den Argumentwert ablesen.

Graphisch abgelesene Werte sind häufig Näherungswerte.

---

7. Von der Formel zur Wertetabelle

Gegeben ist

$$f(x)=3\cdot1{,}5^x.$$

Für $x=-1,0,1,2$ erhält man:

Die Wertetabelle besteht aus Wertepaaren.

---

8. Argumentwerte aus Tabellen bestimmen

Gegeben ist:

Gesucht ist der Argumentwert mit

$$f(x)=40.$$

Aus der Tabelle liest man

$$\boxed{x=3}$$

ab.

Gehört der gesuchte Funktionswert nicht exakt zu einem Tabellenwert, kann nur ein Intervall oder ein Näherungswert angegeben werden.

---

9. Argumentwerte bei $a\cdot b^x$ berechnen

Gegeben ist

$$f(x)=a\cdot b^x$$

und gesucht ist $x$ mit

$$f(x)=c.$$

Zuerst wird der Exponentialterm isoliert:

$$\begin{aligned} a\cdot b^x&=c \qquad /:a\\ b^x&=\frac{c}{a}. \end{aligned}$$

Danach wird logarithmiert:

$$\boxed{ x= \frac{\ln\left(\frac{c}{a}\right)} {\ln(b)} }.$$

Beispiel

$$5\cdot2^x=40$$ $$\begin{aligned} 2^x&=8\\ x&=3. \end{aligned}$$

Alternativ:

$$x= \frac{\ln(40/5)}{\ln2} =3.$$

---

10. Argumentwerte bei $a\cdot e^{\lambda x}$ berechnen

Gegeben ist

$$f(x)=a\cdot e^{\lambda x}$$

und gesucht ist $x$ mit

$$f(x)=c.$$ $$\begin{aligned} a\cdot e^{\lambda x}&=c \qquad /:a\\ e^{\lambda x}&=\frac{c}{a}\\ \lambda x&=\ln\left(\frac{c}{a}\right) \qquad /\lambda\\ x&=\frac{\ln\left(\frac{c}{a}\right)}{\lambda}. \end{aligned}$$

Damit gilt

$$\boxed{ x= \frac{\ln\left(\frac{c}{a}\right)} {\lambda} }.$$

---

11. Voraussetzungen beim Logarithmieren

Für die reelle Grundform

$$f(x)=a\cdot b^x$$

wird $b>0$ vorausgesetzt.

Für die Formel

$$x= \frac{\ln(c/a)}{\ln b}$$

müssen zusätzlich

$$b\neq1$$

und

$$\frac{c}{a}>0$$

gelten.

Bei

$$f(x)=a\cdot e^{\lambda x}$$

wird für die Umkehrformel

$$\lambda\neq0$$

benötigt.

Ein negativer Faktor $b$ gehört nicht zur hier behandelten reellen Exponentialfunktion.

---

12. Exakt oder näherungsweise?

Ein Ergebnis ist exakt, wenn es ohne Rundung angegeben wird.

Beispiele:

$$f(3)=40$$

oder

$$x=\frac{\ln5}{\ln1{,}2}.$$

Ein Ergebnis ist näherungsweise, wenn gerundet wird:

$$x\approx8{,}83.$$

Das Zeichen

$$=$$

darf nicht durch

$$\approx$$

ersetzt werden, wenn keine Rundung stattgefunden hat.

---

13. Richtig runden

1. Zunächst möglichst genau rechnen.
2. Erst am Ende runden.
3. Die geforderte Genauigkeit beachten.
4. Bei Kontexten sinnvoll runden.

Beispiele:

• Personen: meist ganze Anzahl
• Geldbeträge: meist zwei Nachkommastellen
• Zeitpunkte: abhängig vom Kontext
• grafisch abgelesene Werte: nur entsprechend der Graphengenauigkeit

---

14. Werte im Kontext deuten

Eine bloße Zahl ist in Sachaufgaben unvollständig.

Beispiel

$$N(t)=500\cdot1{,}08^t$$

und

$$N(3)\approx629{,}86.$$

Vollständige Deutung:

Nach drei Jahren beträgt der modellierte Bestand ungefähr $630$ Einheiten.

Dabei müssen angegeben werden:

• Bedeutung des Argumentwerts
• Bedeutung des Funktionswerts
• Einheit
• gegebenenfalls Rundung
• Bezug zum Modell

---

15. Kontrolle mit Tabelle, Graph und Technologie

Ein berechneter Wert kann auf mehrere Arten kontrolliert werden:

• Einsetzen in die Ausgangsfunktion
• Vergleich mit einer Wertetabelle
• Kontrolle am Graphen
• Berechnung mit CAS oder GeoGebra

Bei GeoGebra kann beispielsweise verwendet werden:

f(x)=5*2^x
f(3)
Wertetabelle(f,-2,4,1)
Löse(f(x)=40,x)

Die technische Ausgabe ersetzt nicht den mathematischen Rechenweg und die Kontextdeutung.

---

16. Arbeitsplan

Funktionswert gesucht

1. Funktion und gesuchten Argumentwert lesen.
2. $x$ in die Funktion einsetzen.
3. Exponenten sorgfältig berechnen.
4. Mit $a$ multiplizieren.
5. Erst am Ende runden.
6. Wertepaar oder Kontextsatz angeben.
7. Ergebnis kontrollieren.

Argumentwert gesucht

1. Gesuchten Funktionswert einsetzen.
2. Exponentialterm isolieren.
3. Logarithmieren oder einen passenden Tabellen-/Graphwert ablesen.
4. Nach $x$ auflösen.
5. Ergebnis einsetzen und kontrollieren.
6. Einheit und Kontext angeben.

---

17. Typische Fehler

• Argumentwert und Funktionswert werden verwechselt.
• $f(0)=a$ wird nicht erkannt.
• Bei $e^{\lambda x}$ wird $\lambda x$ nicht vollständig in den Exponenten eingesetzt.
• Negative Argumentwerte werden falsch behandelt.
• Der Faktor $$ wird negativ gewählt.

---

18. Zusammenfassung

Für

$$f(x)=a\cdot b^x$$

und

$$g(x)=a\cdot e^{\lambda x}$$

werden Funktionswerte durch Einsetzen bestimmt.

Für Argumentwerte gilt:

$$\boxed{ x= \frac{\ln(c/a)}{\ln b} }$$

beziehungsweise

$$\boxed{ x= \frac{\ln(c/a)}{\lambda} }.$$

Kontrollfrage: Ist ein Funktionswert gesucht oder der dazugehörige Argumentwert?