Parameterwirkung bei Exponentialfunktionen

Kompetenzcode: FA 5.3
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Bei Exponentialfunktionen bestimmen die Parameter den Anfangswert, die Richtung der Entwicklung und ihre Stärke.

Leitidee: Der Parameter $a$ legt den Startwert fest. Der Parameter $b$ beziehungsweise $\lambda$ beschreibt die Veränderung pro Einheit.

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1. Die beiden Grundformen

Exponentialfunktionen werden hier in zwei gleichwertigen Formen betrachtet:

$$f(x)=a\cdot b^x$$

und

$$g(x)=a\cdot e^{\lambda x}.$$

Im Rahmen dieser Kompetenz gelten

$$a>0,\qquad b>0,\qquad \lambda\in\mathbb{R}.$$

Für eine echte Wachstums- oder Abnahmefunktion gilt zusätzlich

$$b\neq1 \qquad\text{beziehungsweise}\qquad \lambda\neq0.$$

Wichtig: Ein negativer Faktor $b$ gehört nicht zur hier behandelten reellen Exponentialfunktion.

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2. Die Wirkung des Parameters $a$

Für beide Grundformen gilt

$$f(0)=a\cdot b^0=a$$

beziehungsweise

$$g(0)=a\cdot e^0=a.$$

Damit ist $a$

• der Anfangswert,
• der Funktionswert bei $x=0$,
• der $y$-Achsenabschnitt,
• in Sachaufgaben der Bestand zum gewählten Startzeitpunkt.

Wird $a$ bei unverändertem $b$ verdoppelt, verdoppeln sich alle Funktionswerte.

Beispiel

$$f(x)=5\cdot1{,}2^x, \qquad h(x)=10\cdot1{,}2^x.$$

Dann gilt für jedes $x$:

$$h(x)=2\cdot f(x).$$

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3. Die Wirkung des Faktors $b$

In

$$f(x)=a\cdot b^x$$

ist $b$ der Faktor pro $x$-Einheit.

Denn

$$f(x+1)=b\cdot f(x).$$

Wachstum

$$b>1.$$

Die Funktionswerte werden bei wachsendem $x$ größer.

Abnahme

$$0<b<1.$$

Die Funktionswerte werden bei wachsendem $x$ kleiner.

Sonderfall

$$b=1.$$

Dann ist

$$f(x)=a$$

konstant.

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4. Prozentänderung und Faktor

Eine Zunahme um $p\,\%$ pro Einheit entspricht dem Faktor

$$b=1+\frac{p}{100}.$$

Eine Abnahme um $p\,\%$ pro Einheit entspricht dem Faktor

$$b=1-\frac{p}{100}.$$

Umgekehrt erhält man aus $b$ die relative Änderung:

$$p=(b-1)\cdot100\,\%.$$

Bei $0<b<1$ ist dieser Wert negativ. Die positive Abnahmerate kann als

$$(1-b)\cdot100\,\%$$

angegeben werden.

Beispiele

$$b=1{,}08$$

bedeutet eine Zunahme um $8\,\%$ pro Einheit.

$$b=0{,}73$$

bedeutet eine Abnahme um $27\,\%$ pro Einheit.

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5. Die Parameter $a$ und $b$ gemeinsam deuten

Bei

$$f(t)=500\cdot1{,}06^t$$

bedeutet

$$a=500,$$

weil zum Zeitpunkt $t=0$ ein Bestand von $500$ Einheiten vorliegt.

Der Faktor

$$b=1{,}06$$

bedeutet eine Zunahme um $6\,\%$ pro Zeiteinheit.

Eine vollständige Deutung nennt immer

• die Bedeutung von $a$,
• die Bedeutung von $b$,
• die Bezugsgröße,
• die Einheit von $x$,
• den Zeitraum, für den der Faktor gilt.

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6. Die Wirkung des Parameters $\lambda$

In

$$g(x)=a\cdot e^{\lambda x}$$

ist $a$ ebenfalls der Anfangswert.

Der Parameter $\lambda$ entscheidet über Richtung und Stärke der Entwicklung.

Wachstum

$$\lambda>0.$$

Abnahme

$$\lambda<0.$$

Sonderfall

$$\lambda=0.$$

Dann ist

$$g(x)=a$$

konstant.

Je größer $|\lambda|$ ist, desto stärker ist die Veränderung pro Einheit.

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7. Zusammenhang zwischen $b$ und $\lambda$

Die beiden Formen

$$a\cdot b^x$$

und

$$a\cdot e^{\lambda x}$$

sind gleichwertig, wenn

$$\boxed{b=e^{\lambda}}$$

beziehungsweise

$$\boxed{\lambda=\ln(b)}$$

gilt.

Beispiel

$$\lambda=0{,}2$$

liefert

$$b=e^{0{,}2}\approx1{,}2214.$$

Das entspricht einer Zunahme um ungefähr

$$22{,}14\,\%$$

pro Einheit.

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8. Gleiche Funktion in zwei Formen

Gegeben ist

$$f(x)=12\cdot1{,}5^x.$$

Mit

$$\lambda=\ln(1{,}5)$$

kann dieselbe Funktion geschrieben werden als

$$f(x)=12\cdot e^{\ln(1{,}5)\,x}.$$

Näherungsweise gilt

$$\ln(1{,}5)\approx0{,}4055.$$

Daher:

$$f(x)\approx12\cdot e^{0{,}4055x}.$$

Die Graphen beider Darstellungen stimmen überein.

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9. Parameter aus einer Tabelle bestimmen

Bei gleichen $x$-Abständen von $1$ gilt

$$a=f(0)$$

und

$$b=\frac{f(x+1)}{f(x)}.$$

Beispiel

Daraus folgt

$$a=20$$

und

$$b=\frac{30}{20}=1{,}5.$$

Also lautet die Funktion

$$\boxed{f(x)=20\cdot1{,}5^x}.$$

Für die natürliche Form gilt

$$\lambda=\ln(1{,}5).$$

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10. Parameter aus zwei Punkten bestimmen

Sind zwei Punkte

$$P(x_1\mid y_1) \qquad\text{und}\qquad Q(x_2\mid y_2)$$

gegeben, dann gilt für

$$f(x)=a\cdot b^x$$

zunächst

$$\frac{y_2}{y_1}=b^{x_2-x_1}.$$

Daraus folgt

$$\boxed{ b=\left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\frac{1}{x_2-x_1}} }.$$

Danach wird $a$ mit einem der Punkte bestimmt:

$$\boxed{ a=\frac{y_1}{b^{x_1}} }.$$

Beispiel

$$P(1\mid6), \qquad Q(3\mid24).$$ $$\begin{aligned} \frac{24}{6}&=b^{3-1}\\ 4&=b^2\\ b&=2. \end{aligned}$$

Anschließend:

$$\begin{aligned} 6&=a\cdot2^1\\ a&=3. \end{aligned}$$

Damit gilt

$$\boxed{f(x)=3\cdot2^x}.$$

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11. Parameter am Graphen erkennen

Am Graphen kann man zunächst qualitativ erkennen:

• Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse liefert $a$.
• Ein wachsender Graph spricht für $b>1$ beziehungsweise $\lambda>0$.
• Ein fallender Graph spricht für $0<b<1$ beziehungsweise .

Für einen exakten Faktor werden geeignete Punkte oder eine Wertetabelle benötigt.

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12. Die Zeiteinheit gehört zum Parameter

Ein Faktor ist immer an eine Schrittweite gebunden.

$$b=1{,}03\text{ pro Jahr}$$

ist nicht dasselbe wie

$$b=1{,}03\text{ pro Monat}.$$

Für einen Zeitraum von $k$ Einheiten gilt der Faktor

$$b^k.$$

In der natürlichen Form gilt entsprechend

$$e^{\lambda k}.$$

Darum müssen die Einheit von $x$ und die Bedeutung des Parameters gemeinsam angegeben werden.

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13. Parameteränderungen vergleichen

Nur $a$ wird verändert

Die Wachstums- oder Abnahmerichtung bleibt gleich. Alle Funktionswerte werden mit demselben Verhältnis skaliert.

Nur $b$ wird verändert

Der Anfangswert bleibt gleich. Die Veränderung pro Einheit wird schwächer oder stärker.

Nur $\lambda$ wird verändert

Der Anfangswert bleibt gleich. Vorzeichen und Betrag von $\lambda$ bestimmen Richtung und Stärke.

Zwei Funktionen mit demselben $a$ starten im selben Punkt $(0\mid a)$.

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14. Kontextbeispiele

Kapital

$$K(t)=2000\cdot1{,}025^t.$$

• $a=2000$: Anfangskapital in Euro
• $b=1{,}025$: Zunahme um $2{,}5\,\%$ pro Jahr

Medikamentenmenge

$$M(t)=80\cdot e^{-0{,}18t}.$$

• $a=80$: Anfangsmenge in Milligramm
• $\lambda=-0{,}18$: exponentielle Abnahme pro Stunde
• äquivalenter Faktor pro Stunde:

$$b=e^{-0{,}18}\approx0{,}8353.$$

Damit bleiben pro Stunde ungefähr $83{,}53\,\%$ erhalten.

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15. Typische Fehler

• $a$ wird nicht als Wert bei $x=0$ erkannt.
• Der Faktor $b$ wird mit der Prozentzahl verwechselt.
• Bei einer Abnahme um $20\,\%$ wird $b=0{,}2$ statt verwendet.

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16. Arbeitsplan

1. Grundform erkennen: $a\cdot b^x$ oder $a\cdot e^{\lambda x}$.
2. Den Definitionsrahmen beachten: $a>0$, .

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17. Zusammenfassung

Für

$$f(x)=a\cdot b^x$$

und

$$g(x)=a\cdot e^{\lambda x}$$

gilt:

$$\boxed{a=f(0)}$$

und

$$\boxed{ \begin{aligned} b>1 &\Rightarrow \text{Wachstum},\\ 0<b<1 &\Rightarrow \text{Abnahme},\\ \lambda>0 &\Rightarrow \text{Wachstum},\\ \lambda<0 &\Rightarrow \text{Abnahme}. \end{aligned} }$$

Die beiden Formen sind durch

$$\boxed{b=e^{\lambda}} \qquad\text{und}\qquad \boxed{\lambda=\ln b}$$

verbunden.

Kontrollfrage: Was beschreibt der Anfangswert und was beschreibt die Veränderung pro Einheit?