Charakteristische Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Kompetenzcode: FA 5.4
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Exponentielle Veränderungen besitzen typische Eigenschaften, die sich in Formeln, Tabellen, Graphen und Kontexten wiederfinden.

Leitidee: Bei gleichen Schritten wird mit einem konstanten Faktor multipliziert. Bei der natürlichen Exponentialfunktion ist die momentane Steigung gleich dem Funktionswert.

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1. Die Grundform

Wir betrachten zunächst

$$f(x)=a\cdot b^x$$

mit

$$a>0,\qquad b>0.$$

Für eine echte Wachstums- oder Abnahmefunktion gilt zusätzlich

$$b\neq1.$$

Wichtig: Im hier behandelten reellen Modell darf der Faktor $b$ nicht negativ sein.

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2. Die Schritt-Eigenschaft

Für

$$f(x)=a\cdot b^x$$

folgt

$$\begin{aligned} f(x+1) &=a\cdot b^{x+1}\\ &=a\cdot b^x\cdot b\\ &=b\cdot f(x). \end{aligned}$$

Damit gilt

$$\boxed{f(x+1)=b\cdot f(x)}.$$

Bei einer Erhöhung des Argumentwerts um $1$ wird der Funktionswert also mit $b$ multipliziert.

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3. Rückwärts rechnen

Aus

$$f(x+1)=b\cdot f(x)$$

kann auch rückwärts gerechnet werden:

$$\begin{aligned} f(x+1)&=b\cdot f(x) \qquad /:b\\ \frac{f(x+1)}{b}&=f(x). \end{aligned}$$

Daher gilt

$$\boxed{f(x)=\frac{f(x+1)}{b}}.$$

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4. Wachstum, Abnahme und Sonderfall

Wachstum

$$b>1.$$

Dann ist

$$f(x+1)>f(x).$$

Abnahme

$$0<b<1.$$

Dann ist

$$f(x+1)<f(x).$$

Sonderfall

$$b=1.$$

Dann gilt

$$f(x)=a$$

für alle $x$. Die Funktion ist konstant.

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5. Absolute und relative Änderung

Die absolute Änderung in einem Schritt lautet

$$f(x+1)-f(x).$$

Mit der Schritt-Eigenschaft erhält man

$$\begin{aligned} f(x+1)-f(x) &=b\cdot f(x)-f(x)\\ &=(b-1)\cdot f(x). \end{aligned}$$

Die absolute Änderung hängt also vom aktuellen Funktionswert ab und ist im Allgemeinen nicht konstant.

Die relative Änderung lautet

$$\frac{f(x+1)-f(x)}{f(x)}.$$

Einsetzen ergibt

$$\begin{aligned} \frac{f(x+1)-f(x)}{f(x)} &=\frac{(b-1)\cdot f(x)}{f(x)}\\ &=b-1. \end{aligned}$$

Damit gilt

$$\boxed{ \frac{f(x+1)-f(x)}{f(x)}=b-1 }.$$

Die relative Änderung ist konstant.

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6. Prozentuelle Änderung

Ist

$$r=b-1,$$

so ist $r$ die relative Änderung pro Einheit.

Als Prozentangabe gilt

$$p=(b-1)\cdot100\,\%.$$

Beispiel Wachstum

$$b=1{,}08$$

führt zu

$$(1{,}08-1)\cdot100\,\%=8\,\%.$$

Beispiel Abnahme

$$b=0{,}75$$

führt zu

$$(0{,}75-1)\cdot100\,\%=-25\,\%.$$

Der Wert nimmt pro Einheit um $25\,\%$ ab.

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7. Andere Schrittweiten

Wird $x$ nicht um $1$, sondern um $h$ erhöht, dann gilt

$$\begin{aligned} f(x+h) &=a\cdot b^{x+h}\\ &=a\cdot b^x\cdot b^h\\ &=b^h\cdot f(x). \end{aligned}$$

Also

$$\boxed{f(x+h)=b^h\cdot f(x)}.$$

Der Faktor für einen Schritt der Länge $h$ ist daher $b^h$.

Beispiel

Bei $b=1{,}2$ und $h=3$ gilt

$$f(x+3)=1{,}2^3\cdot f(x)=1{,}728\cdot f(x).$$

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8. Die natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion lautet

$$f(x)=e^x.$$

Ihre charakteristische Ableitungseigenschaft ist

$$\boxed{\left(e^x\right)'=e^x}.$$

Das bedeutet:

• Der Funktionswert an der Stelle $x$ ist $e^x$.
• Die Tangentensteigung an derselben Stelle ist ebenfalls $e^x$.
• Funktionswert und Ableitungswert sind zahlenmäßig gleich.

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9. Funktionswert und Tangentensteigung

An der Stelle $x_0$ liegt der Punkt

$$P\left(x_0\mid e^{x_0}\right)$$

auf dem Graphen.

Die Tangentensteigung ist

$$m=f'(x_0)=e^{x_0}.$$

Die Tangentengleichung lautet

$$\boxed{ y=e^{x_0}+e^{x_0}(x-x_0) }.$$

Beispiel bei $x_0=0$

$$e^0=1.$$

Daher ist

$$P(0\mid1)$$

und die Tangentensteigung beträgt

$$m=1.$$

Die Tangente hat die Gleichung

$$y=1+x.$$

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10. Nicht jede Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung

Für

$$g(x)=a\cdot e^{\lambda x}$$

gilt mit der Kettenregel

$$\begin{aligned} g'(x) &=a\cdot e^{\lambda x}\cdot\lambda\\ &=\lambda\cdot g(x). \end{aligned}$$

Damit gilt

$$\boxed{g'(x)=\lambda\cdot g(x)}.$$

Nur im Spezialfall

$$a=1,\qquad \lambda=1$$

ist

$$g(x)=e^x$$

und damit

$$g'(x)=g(x).$$

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11. Relative momentane Änderungsrate

Für

$$g'(x)=\lambda\cdot g(x)$$

folgt bei $g(x)\neq0$:

$$\boxed{ \frac{g'(x)}{g(x)}=\lambda }.$$

Der Parameter $\lambda$ ist also die konstante relative momentane Änderungsrate.

• $\lambda>0$: Wachstum
• $\lambda<0$: Abnahme
• $\lambda=0$: konstante Funktion

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12. Zusammenhang zwischen Schritt und Ableitung

Die beiden charakteristischen Eigenschaften beschreiben dieselbe Grundidee auf unterschiedliche Weise:

Diskrete Betrachtung

$$f(x+1)=b\cdot f(x).$$

In jedem Schritt wird mit demselben Faktor multipliziert.

Momentane Betrachtung

$$g'(x)=\lambda\cdot g(x).$$

Die momentane Änderung ist proportional zum aktuellen Funktionswert.

Exponentielle Entwicklungen besitzen daher eine konstante relative Änderung.

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13. Werte aus der Schritt-Eigenschaft bestimmen

Vorwärts

Gegeben seien

$$f(4)=30, \qquad b=1{,}2.$$

Dann gilt

$$\begin{aligned} f(5)&=b\cdot f(4)\\ &=1{,}2\cdot30\\ &=36. \end{aligned}$$

Rückwärts

Gegeben seien

$$f(5)=36, \qquad b=1{,}2.$$

Dann gilt

$$\begin{aligned} f(4)&=\frac{f(5)}{b}\\ &=\frac{36}{1{,}2}\\ &=30. \end{aligned}$$

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14. Eigenschaften in Tabellen erkennen

Gegeben sei:

Die Quotienten lauten

$$\frac{7{,}5}{5}=1{,}5, \qquad \frac{11{,}25}{7{,}5}=1{,}5, \qquad \frac{16{,}875}{11{,}25}=1{,}5.$$

Daher gilt für jeden Schritt

$$f(x+1)=1{,}5\cdot f(x).$$

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15. Kontext und Einheiten

Ist $x$ beispielsweise die Zeit in Tagen und $f(x)$ eine Masse in Milligramm, dann bedeutet

$$f(x+1)=0{,}8\cdot f(x):$$

Einen Tag später sind noch $80\,\%$ der jeweils vorhandenen Masse übrig.

Für

$$g'(t)=0{,}03\cdot g(t)$$

bedeutet $0{,}03$ eine relative momentane Änderungsrate von

$$0{,}03\ \text{pro Zeiteinheit}.$$

Die Einheit von $g'(t)$ ist dagegen

$$\frac{\text{Einheit von }g}{\text{Zeiteinheit}}.$$

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16. GeoGebra zur Kontrolle

Für die Schritt-Eigenschaft kann beispielsweise eingegeben werden:

f(x)=4*1.3^x
f(2)
f(3)
f(3)/f(2)

Für die natürliche Exponentialfunktion:

f(x)=exp(x)
Ableitung(f)
Tangente(1,f)

Für eine allgemeine natürliche Exponentialfunktion:

g(x)=5*exp(0.2*x)
Ableitung(g)

Technologie dient zur Kontrolle. Die mathematische Begründung bleibt erforderlich.

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17. Arbeitsplan

1. Grundform und Voraussetzungen prüfen.
2. Die gegebene Eigenschaft erkennen: Schritt oder Ableitung.
3. Bei $f(x+1)$ den Faktor $b$ verwenden.
4. Bei anderer Schrittweite $h$ den Faktor $b^h$ verwenden.

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18. Typische Fehler

• $f(x+1)=f(x)+b$ statt $f(x+1)=b\cdot f(x)$

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19. Zusammenfassung

Für

$$f(x)=a\cdot b^x$$

gilt

$$\boxed{f(x+1)=b\cdot f(x)}$$

und allgemeiner

$$\boxed{f(x+h)=b^h\cdot f(x)}.$$

Die relative Änderung pro Einheit ist

$$\boxed{b-1}.$$

Für die natürliche Exponentialfunktion gilt

$$\boxed{\left(e^x\right)'=e^x}.$$

Für

$$g(x)=a\cdot e^{\lambda x}$$

gilt

$$\boxed{g'(x)=\lambda\cdot g(x)}.$$

Kontrollfrage: Wird gerade ein Schritt um eine Einheit oder eine momentane Änderung betrachtet?