Halbwertszeit und Verdoppelungszeit

Kompetenzcode: FA 5.5
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Halbwertszeit und Verdoppelungszeit beschreiben charakteristische Zeitspannen exponentieller Entwicklungen.

Leitidee: Nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte des aktuellen Wertes. Nach jeder Verdoppelungszeit ist der aktuelle Wert doppelt so groß.

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1. Grundidee

Bei einer exponentiellen Abnahme wird ein Bestand in gleichen Zeitabständen immer mit demselben Faktor kleiner.

Bei einem exponentiellen Wachstum wird er in gleichen Zeitabständen immer mit demselben Faktor größer.

Die charakteristische Zeitspanne ist dabei unabhängig davon, bei welchem Zeitpunkt man beginnt.

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2. Definition der Halbwertszeit

Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist jene Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte des aktuellen Wertes vorhanden ist.

$$\boxed{f(t+T_{1/2})=\frac12\cdot f(t)}$$

Beginnt man bei $t=0$, gilt insbesondere

$$\boxed{f(T_{1/2})=\frac{a}{2}}$$

mit $a=f(0)$.

Halbwertszeit bedeutet nicht „Zeit bis null“. Eine Exponentialfunktion erreicht den Wert null im üblichen Modell nicht.

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3. Definition der Verdoppelungszeit

Die Verdoppelungszeit $T_2$ ist jene Zeitspanne, nach der der aktuelle Wert doppelt so groß ist.

$$\boxed{f(t+T_2)=2\cdot f(t)}$$

Beginnt man bei $t=0$, gilt

$$\boxed{f(T_2)=2a}$$

mit $a=f(0)$.

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4. Mehrere Halbwertszeiten

Nach einer Halbwertszeit bleibt

$$\frac12 a.$$

Nach zwei Halbwertszeiten bleibt

$$\frac12\cdot\frac12 a = \frac14 a.$$

Nach $n$ Halbwertszeiten gilt

$$\boxed{f(nT_{1/2})=a\cdot\left(\frac12\right)^n}.$$

Beispiel:

$$a=160\,\mathrm{mg}.$$

Nach drei Halbwertszeiten:

$$\begin{aligned} f(3T_{1/2}) &=160\cdot\left(\frac12\right)^3\\ &=160\cdot\frac18\\ &=20\,\mathrm{mg}. \end{aligned}$$

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5. Mehrere Verdoppelungszeiten

Nach einer Verdoppelungszeit ist der Wert

$$2a.$$

Nach zwei Verdoppelungszeiten ist er

$$2\cdot2a=4a.$$

Nach $n$ Verdoppelungszeiten gilt

$$\boxed{f(nT_2)=a\cdot2^n}.$$

Beispiel:

$$a=75.$$

Nach vier Verdoppelungszeiten:

$$\begin{aligned} f(4T_2) &=75\cdot2^4\\ &=75\cdot16\\ &=1200. \end{aligned}$$

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6. Modell mit gegebener Halbwertszeit

Ist die Halbwertszeit $T_{1/2}$ bekannt, kann das Modell direkt geschrieben werden als

$$\boxed{ f(t)=a\cdot \left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}} }.$$

Warum?

Für $t=T_{1/2}$ gilt

$$\begin{aligned} f(T_{1/2}) &=a\cdot \left(\frac12\right)^{T_{1/2}/T_{1/2}}\\ &=a\cdot\frac12. \end{aligned}$$

Beispiel

Eine Substanz besitzt die Halbwertszeit $6$ Stunden und die Anfangsmenge $240\,\mathrm{mg}$.

$$\boxed{ M(t)=240\cdot \left(\frac12\right)^{t/6} }$$

mit $t$ in Stunden.

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7. Modell mit gegebener Verdoppelungszeit

Ist die Verdoppelungszeit $T_2$ bekannt, lautet das Modell

$$\boxed{ f(t)=a\cdot2^{t/T_2} }.$$

Für $t=T_2$ gilt

$$\begin{aligned} f(T_2) &=a\cdot2^{T_2/T_2}\\ &=2a. \end{aligned}$$

Beispiel

Eine Population besitzt die Verdoppelungszeit $4$ Tage und startet mit $300$ Individuen.

$$\boxed{ P(t)=300\cdot2^{t/4} }$$

mit $t$ in Tagen.

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8. Halbwertszeit aus $f(t)=a\cdot b^t$

Bei exponentieller Abnahme gilt

$$0<b<1.$$

Für die Halbwertszeit setzen wir

$$f(T_{1/2})=\frac a2.$$

Damit:

$$\begin{aligned} a\cdot b^{T_{1/2}} &=\frac a2\\ b^{T_{1/2}} &=\frac12. \end{aligned}$$

Der Anfangswert $a$ kürzt sich.

Logarithmieren liefert

$$\begin{aligned} T_{1/2}\cdot\ln(b) &=\ln\left(\frac12\right)\\ T_{1/2} &=\frac{\ln(1/2)}{\ln(b)}. \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{ T_{1/2} = \frac{\ln(1/2)}{\ln(b)} }$$

Für $0<b<1$ sind Zähler und Nenner negativ. Daher ist $T_{1/2}>0$.

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9. Verdoppelungszeit aus $f(t)=a\cdot b^t$

Bei exponentiellem Wachstum gilt

$$b>1.$$

Wir setzen

$$f(T_2)=2a.$$

Dann:

$$\begin{aligned} a\cdot b^{T_2} &=2a\\ b^{T_2} &=2\\ T_2\cdot\ln(b) &=\ln(2). \end{aligned}$$

Daher:

$$\boxed{ T_2 = \frac{\ln(2)}{\ln(b)} }$$

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10. Formeln für die natürliche Exponentialform

Gegeben sei

$$f(t)=a\cdot e^{\lambda t}.$$

Halbwertszeit bei $\lambda<0$

$$\begin{aligned} a\cdot e^{\lambda T_{1/2}} &=\frac a2\\ e^{\lambda T_{1/2}} &=\frac12\\ \lambda T_{1/2} &=\ln\left(\frac12\right). \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ T_{1/2} = \frac{\ln(1/2)}{\lambda} = -\frac{\ln(2)}{\lambda} }$$

Verdoppelungszeit bei $\lambda>0$

$$\begin{aligned} a\cdot e^{\lambda T_2} &=2a\\ e^{\lambda T_2} &=2\\ \lambda T_2 &=\ln(2). \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ T_2 = \frac{\ln(2)}{\lambda} }$$

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11. Warum hängt die Zeit nicht von $a$ ab?

Beim Bestimmen der charakteristischen Zeit steht auf beiden Seiten derselbe Anfangswert $a$.

Beispiel:

$$a\cdot b^T=\frac12a.$$

Division durch $a$:

$$b^T=\frac12.$$

Der Anfangswert verschwindet aus der Gleichung. Deshalb besitzen zwei Funktionen mit demselben Faktor $b$, aber unterschiedlichen Anfangswerten, dieselbe Halbwertszeit beziehungsweise Verdoppelungszeit.

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12. Aus der charakteristischen Zeit den Faktor bestimmen

Aus

$$b^{T_{1/2}}=\frac12$$

folgt

$$\boxed{ b= \left(\frac12\right)^{1/T_{1/2}} }.$$

Aus

$$b^{T_2}=2$$

folgt

$$\boxed{ b=2^{1/T_2} }.$$

Für die natürliche Form gilt:

$$\boxed{ \lambda = -\frac{\ln(2)}{T_{1/2}} }$$

beziehungsweise

$$\boxed{ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_2} }.$$

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13. Werte nach beliebigen Zeiten

Eine Zeit muss kein ganzzahliges Vielfaches der charakteristischen Zeit sein.

Beispiel

$$M(t)=100\cdot \left(\frac12\right)^{t/8}.$$

Gesucht ist $M(12)$.

$$\begin{aligned} M(12) &=100\cdot \left(\frac12\right)^{12/8}\\ &=100\cdot \left(\frac12\right)^{1{,}5}\\ &\approx35{,}36. \end{aligned}$$

Nach $12$ Stunden sind ungefähr $35{,}36$ Einheiten vorhanden.

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14. Halbwertszeit aus einer Tabelle ablesen

Der Wert halbiert sich alle $4$ Stunden.

$$\boxed{T_{1/2}=4\,\mathrm{h}}$$

Die Halbwertszeit kann an verschiedenen Stellen geprüft werden:

$$160\to80,\qquad80\to40,\qquad40\to20.$$

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15. Verdoppelungszeit aus einem Graphen ablesen

Man wählt einen gut ablesbaren Funktionswert, beispielsweise $50$, und sucht den Zeitpunkt, an dem der Wert $100$ erreicht wird.

Der waagrechte Abstand der beiden Zeitpunkte ist die Verdoppelungszeit.

Werte aus einem gezeichneten Graphen sind meist Näherungswerte.

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16. Kontext und Einheiten

Eine vollständige Antwort enthält:

• die berechnete Zeitspanne,
• die Zeiteinheit,
• die Bedeutung im Kontext,
• eine Kennzeichnung als Näherungswert, falls gerundet wurde.

Beispiel:

Die Halbwertszeit beträgt ungefähr $3{,}47$ Stunden. Das bedeutet, dass nach jeweils $3{,}47$ Stunden nur noch die Hälfte der jeweils vorhandenen Menge übrig ist.

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17. GeoGebra zur Kontrolle

Halbwertszeit einer Funktion bestimmen

f(x)=200*0.82^x
Löse(f(x)=100,x)

Verdoppelungszeit bestimmen

g(x)=50*1.12^x
Löse(g(x)=100,x)

Natürliche Exponentialform

h(x)=80*exp(-0.18*x)
Löse(h(x)=40,x)

GeoGebra dient zur Kontrolle. Gleichungsansatz, Rechnung und Kontextdeutung sollen trotzdem nachvollziehbar angegeben werden.

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18. Arbeitsplan

1. Prüfen, ob Wachstum oder Abnahme vorliegt.
2. Gesuchte charakteristische Zeit benennen.
3. Ausgangswert und Zielwert festlegen.
4. Gleichung $f(T)=a/2$ oder $f(T)=2a$ aufstellen.
5. Anfangswert $a$ kürzen.
6. Nach der Zeit lösen.

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19. Typische Fehler

• Halbwertszeit wird als Zeit bis zum Wert null verstanden.
• Halbwerts- und Verdoppelungszeit werden verwechselt.
• Die Gleichung wird mit $a/2$ beziehungsweise $2a$ falsch angesetzt.
• Der Anfangswert wird nicht gekürzt.
• Bei der natürlichen Form wird das Vorzeichen von $\lambda$ übersehen.
• Für Wachstum wird eine Halbwertszeit statt einer Verdoppelungszeit berechnet.
• Für Abnahme wird eine Verdoppelungszeit im Zukunftssinn erwartet.
• Die Zeiteinheit fehlt.
• Zu früh gerundete Werte verfälschen das Ergebnis.
• Ein Graphwert wird als exakt ausgegeben.
• Der Faktor $b$ wird ohne die Voraussetzung $$ verwendet.

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20. Zusammenfassung

Halbwertszeit:

$$\boxed{ f(t+T_{1/2}) = \frac12f(t) }$$

Verdoppelungszeit:

$$\boxed{ f(t+T_2) = 2f(t) }$$

Für $f(t)=a\cdot b^t$:

$$\boxed{ T_{1/2} = \frac{\ln(1/2)}{\ln(b)} }$$

und

$$\boxed{ T_2 = \frac{\ln(2)}{\ln(b)} }.$$

Für $f(t)=a\cdot e^{\lambda t}$:

$$\boxed{ T_{1/2} = -\frac{\ln(2)}{\lambda} }$$

bei $\lambda<0$, sowie

$$\boxed{ T_2 = \frac{\ln(2)}{\lambda} }$$

bei $\lambda>0$.

Kontrollfrage: Welcher Wert soll nach der gesuchten Zeit erreicht sein – die Hälfte oder das Doppelte?