Angemessenheit exponentieller Modelle

Kompetenzcode: FA 5.6
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Ein mathematisches Modell ist nicht einfach „richtig“ oder „falsch“. Es ist für einen bestimmten Zweck und einen bestimmten Bereich mehr oder weniger angemessen.

Leitidee: Ein exponentielles Modell ist dann plausibel, wenn eine annähernd konstante relative Änderung zum Datenmuster und zum Sachverhalt passt.

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1. Was bedeutet „angemessen“?

Ein Modell ist angemessen, wenn es

• die vorhandenen Daten ausreichend gut beschreibt,
• zum Sachverhalt passt,
• sinnvolle Parameter und Einheiten besitzt,
• im angegebenen Bereich plausible Werte liefert,
• und für die gewünschte Fragestellung geeignet ist.

Ein Modell kann innerhalb eines kurzen Zeitraums gut passen und für eine langfristige Vorhersage trotzdem ungeeignet sein.

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2. Kennzeichen eines exponentiellen Modells

Eine Exponentialfunktion besitzt beispielsweise die Form

$$f(x)=a\cdot b^x$$

mit

$$a>0,\qquad b>0.$$

Für gleiche $x$-Schritte ist der Quotient der Funktionswerte konstant:

$$\frac{f(x+1)}{f(x)}=b.$$

Die relative Änderung beträgt

$$\frac{f(x+1)-f(x)}{f(x)} = b-1.$$

Daher ist bei einem exponentiellen Modell die relative, nicht die absolute Änderung konstant.

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3. Daten in Tabellen prüfen

Gegeben sei:

Die Quotienten sind

$$\frac{120}{100}=1{,}2, \qquad \frac{144}{120}=1{,}2, \qquad \frac{172{,}8}{144}=1{,}2.$$

Ein exponentielles Modell ist hinsichtlich des Datenmusters plausibel.

Bei realen Messdaten müssen die Quotienten nicht exakt gleich sein. Kleine Abweichungen können durch Messfehler oder Rundungen entstehen.

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4. Relative Änderungen vergleichen

Die prozentuelle Änderung von einem Wert zum nächsten lautet

$$r = \frac{\text{neuer Wert}-\text{alter Wert}} {\text{alter Wert}}.$$

Beispiel:

$$100\to120$$

ergibt

$$r=\frac{120-100}{100}=0{,}2=20\,\%.$$

Wenn die relativen Änderungen ungefähr konstant sind, ist ein exponentielles Modell naheliegend.

Wenn dagegen die Differenzen ungefähr konstant sind, spricht das eher für ein lineares Modell.

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5. Gleiche Schrittweiten beachten

Quotienten dürfen nur direkt verglichen werden, wenn die Abstände der $x$-Werte gleich groß sind.

Bei einer Schrittweite $h$ gilt

$$\frac{f(x+h)}{f(x)} = b^h.$$

Beispiel:

Der Quotient $4$ gilt für einen Schritt von $2$. Der Faktor pro Einheit erfüllt

$$b^2=4,$$

also

$$b=2.$$

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6. Parameter im Kontext prüfen

In

$$f(x)=a\cdot b^x$$

bedeutet $a=f(0)$ den Anfangswert.

Der Faktor $b$ beschreibt die relative Änderung pro $x$-Einheit.

Zu prüfen ist:

• Passt $a$ zur Ausgangssituation?
• Ist $b$ größer als $1$ bei Wachstum?
• Liegt $b$ zwischen $0$ und $1$ bei Abnahme?
• Auf welche Einheit bezieht sich der Faktor?
• Sind die durch das Modell erzeugten Werte sachlich möglich?

Ein mathematisch möglicher Parameter kann im Kontext unplausibel sein.

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7. Einheiten und Bezugsgrößen

Eine Aussage wie

$$b=1{,}05$$

ist ohne Bezugsgröße unvollständig.

Im Kontext muss ergänzt werden:

Der Wert wird pro Jahr mit dem Faktor $1{,}05$ multipliziert.

Das entspricht einer Zunahme um $5\,\%$ pro Jahr.

Auch $\lambda$ in

$$f(t)=a\cdot e^{\lambda t}$$

besitzt eine Einheit, die zur inversen Zeiteinheit gehört, zum Beispiel $\mathrm{h}^{-1}$ oder $\mathrm{a}^{-1}$.

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8. Interpolation und Extrapolation

Interpolation bedeutet eine Schätzung innerhalb des beobachteten Datenbereichs.

Extrapolation bedeutet eine Vorhersage außerhalb dieses Bereichs.

Interpolation ist meist weniger riskant, weil das Modell nur zwischen bereits beobachteten Werten eingesetzt wird.

Bei einer Extrapolation wird angenommen, dass die bisherigen Bedingungen weiter gelten. Diese Annahme kann falsch sein.

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9. Gültigkeitsbereich angeben

Ein Modell sollte gemeinsam mit einem sinnvollen Bereich angegeben werden.

Beispiel:

$$N(t)=120\cdot1{,}08^t, \qquad 0\le t\le5.$$

Das bedeutet nicht automatisch, dass das Modell auch für $t=50$ sinnvoll ist.

Ein vollständiges Urteil kann lauten:

Das exponentielle Modell ist für die ersten fünf Jahre angemessen. Eine langfristige Extrapolation ist wegen begrenzter Ressourcen nicht plausibel.

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10. Kurzfristige und langfristige Plausibilität

Exponentielles Wachstum kann kurzfristig realistisch sein, beispielsweise

• zu Beginn einer Bakterienkultur,
• in einer frühen Ausbreitungsphase,
• bei Zinseszinsen unter unveränderten Bedingungen.

Langfristig können jedoch Grenzen auftreten:

• begrenzte Nahrung,
• beschränkter Raum,
• Marktsättigung,
• maximale Kapazität,
• veränderte Rahmenbedingungen.

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11. Ressourcen- und Sättigungsgrenzen

Ein exponentielles Wachstumsmodell besitzt keine obere Schranke.

Wenn der Sachverhalt eine maximale Kapazität hat, kann exponentielles Wachstum deshalb nur in einem begrenzten Bereich angemessen sein.

Beispiel:

Eine Tierpopulation wächst nicht unbegrenzt exponentiell, wenn Nahrung und Lebensraum begrenzt sind.

Ein sättigendes Modell kann später geeigneter sein. Das bedeutet jedoch nicht, dass jedes Wachstum automatisch logistischer Art ist.

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12. Untere Grenzen und Zerfallsmodelle

Ein exponentielles Abnahmemodell mit $a>0$ bleibt positiv und nähert sich dem Wert $0$ an.

Das kann für radioaktiven Zerfall oder die Abnahme einer Stoffmenge sinnvoll sein.

Es ist ungeeignet, wenn

• ein positiver Restwert erhalten bleibt,
• die Abnahme bei einer Mindestmenge endet,
• oder der Prozess nach einer bestimmten Zeit vollständig stoppt.

Dann muss das Modell angepasst oder der Gültigkeitsbereich eingeschränkt werden.

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13. Datenstreuung und Messfehler

Reale Messwerte liegen selten exakt auf einer Modellkurve.

Kleine Abweichungen können akzeptabel sein, wenn

• kein systematisches Muster in den Abweichungen sichtbar ist,
• die Größenordnung der Fehler zum Messverfahren passt,
• und die Modellwerte für den Zweck ausreichend genau sind.

Große oder systematisch zunehmende Abweichungen sprechen gegen eine angemessene Beschreibung.

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14. Modell und Realität unterscheiden

Eine Exponentialfunktion ist eine vereinfachte Beschreibung.

Das Modell berücksichtigt nur ausgewählte Einflussgrößen. Andere Faktoren werden als konstant angenommen oder weggelassen.

Deshalb muss ein Urteil immer nennen:

1. welchen Bereich das Modell beschreibt,
2. welche Annahmen gemacht werden,
3. wofür das Modell verwendet werden soll,
4. wo seine Grenzen liegen.

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15. GeoGebra: exponentielle Regression

Aus einer Punktliste kann GeoGebra ein exponentielles Regressionsmodell bestimmen:

L={(0,10),(1,12),(2,14.5),(3,17.2)}
TrendExp(L)

Der Befehl liefert eine Funktion, die möglichst gut zu den Punkten passt.

Ein Regressionsmodell bewertet nicht automatisch, ob exponentielles Wachstum im Sachverhalt sinnvoll ist.

Nach der Berechnung müssen weiterhin geprüft werden:

• Datenmuster,
• Abweichungen,
• Einheiten,
• Kontext,
• Gültigkeitsbereich,
• und langfristige Plausibilität.

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16. Gute und unvollständige Begründungen

Unvollständig

Das Modell ist angemessen, weil der Graph gut aussieht.

Besser

Die Quotienten benachbarter Werte liegen zwischen $1{,}08$ und $1{,}10$ und sind damit annähernd konstant. Für die beobachteten vier Jahre beschreibt das Modell die Daten gut. Eine langfristige Extrapolation ist wegen begrenzter Kapazität jedoch nicht gerechtfertigt.

Eine gute Begründung verbindet Daten und Sachverhalt.

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17. Drei mögliche Urteile

Angemessen

Datenmuster, Parameter, Einheiten, Kontext und Bereich passen zusammen.

Näherungsweise oder lokal angemessen

Das Modell ist in einem begrenzten Bereich ausreichend gut, aber nicht uneingeschränkt.

Nicht angemessen

Die zentrale Annahme einer ungefähr konstanten relativen Änderung widerspricht den Daten oder dem Sachverhalt.

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18. Prüfcheckliste

1. Sind die $x$-Abstände gleich?
2. Sind Quotienten oder relative Änderungen ungefähr konstant?
3. Passt der Anfangswert?
4. Passt die Richtung von Wachstum oder Abnahme?
5. Sind Faktor und Einheiten korrekt gedeutet?
6. Sind die Modellwerte sachlich möglich?
7. Liegt Interpolation oder Extrapolation vor?
8. Welche Grenzen besitzt der Sachverhalt?
9. Für welchen Bereich soll das Modell gelten?
10. Sind die Abweichungen klein und unsystematisch?
11. Welche Annahmen werden gemacht?
12. Welches begründete Urteil folgt daraus?

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19. Typische Fehler

• Nur die Graphform wird beurteilt.
• Zwei Datenpunkte werden als ausreichender Beleg verwendet.
• Quotienten bei verschiedenen Schrittweiten werden direkt verglichen.
• Eine gute Regression wird mit sachlicher Angemessenheit gleichgesetzt.
• Ein kurzfristig passendes Modell wird unbegrenzt extrapoliert.
• Ressourcen- oder Sättigungsgrenzen werden ignoriert.
• Der Gültigkeitsbereich fehlt.
• Einheiten oder Bezugsgrößen des Faktors fehlen.
• Kleine Messabweichungen führen vorschnell zur Ablehnung.
• Große systematische Abweichungen werden als Rundungsfehler abgetan.
• Eine Alternative wird behauptet, ohne sie zu begründen.

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20. Zusammenfassung

Ein exponentielles Modell ist plausibel, wenn die relative Änderung ungefähr konstant ist und diese Annahme zum Sachverhalt passt.

Eine vollständige Bewertung berücksichtigt:

$$\boxed{ \text{Datenmuster} + \text{Parameter} + \text{Einheiten} + \text{Kontext} + \text{Gültigkeitsbereich} }$$

Kontrollfrage: Passt das Modell nur rechnerisch zu den Daten, oder ist die exponentielle Annahme auch sachlich begründet?