Allgemeine Sinusfunktionen erkennen

Kompetenzcode: FA 6.1
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Eine allgemeine Sinusfunktion der hier behandelten Form lautet

$$\boxed{f(x)=a\cdot\sin(bx)}.$$

Sie beschreibt einen periodischen Schwingungsverlauf ohne Verschiebung nach oben, unten, links oder rechts.

Leitidee: Aus dem Graphen liest man Amplitude und Periodenlänge ab. Daraus gewinnt man $a$ und $b$.

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1. Die Grundfunktion

Die Grundfunktion

$$f(x)=\sin(x)$$

schwingt regelmäßig zwischen $-1$ und $1$.

Wichtige Punkte einer Periode sind

$$(0,0), \quad \left(\frac{\pi}{2},1\right), \quad (\pi,0), \quad \left(\frac{3\pi}{2},-1\right), \quad (2\pi,0).$$

Danach beginnt derselbe Verlauf erneut.

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2. Die allgemeine Grundform

Wir betrachten

$$\boxed{f(x)=a\cdot\sin(bx)}.$$

Dabei gilt:

• $a$ verändert die Höhe der Schwingung,
• $b$ verändert die Länge einer Periode,
• die Mittellinie bleibt $y=0$,
• und der Graph verläuft durch den Ursprung.

Die Funktion enthält hier keine Phasenverschiebung und keine vertikale Verschiebung.

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3. Eine Sinusfunktion am Graphen erkennen

Ein Graph der Form $a\cdot\sin(bx)$ besitzt typischerweise:

• einen glatten Wellenverlauf,
• regelmäßige Wiederholungen,
• dieselbe maximale und minimale Entfernung von der $x$-Achse,
• die Mittellinie $y=0$,
• und den Punkt $(0,0)$.

Ein periodischer Verlauf allein reicht nicht aus. Auch Mittellinie, Ursprung und charakteristische Punkte müssen passen.

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4. Die Amplitude

Die Amplitude ist die maximale Entfernung von der Mittellinie.

Für

$$f(x)=a\cdot\sin(bx)$$

gilt

$$\boxed{A=|a|}.$$

Der Wertebereich lautet daher

$$\boxed{-|a|\le f(x)\le |a|}.$$

Beispiel

Ein Graph besitzt den Hochpunktwert $4$ und den Tiefpunktwert $-4$.

Dann gilt

$$A=4$$

und somit

$$|a|=4.$$

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5. Das Vorzeichen von $a$

Für $a>0$ steigt der Graph unmittelbar rechts vom Ursprung zunächst an.

Für $a<0$ fällt er unmittelbar rechts vom Ursprung zunächst ab.

Beispiel:

$$3\sin(x)$$

beginnt nach dem Ursprung steigend, während

$$-3\sin(x)$$

an der $x$-Achse gespiegelt ist und zunächst fällt.

Die Amplitude ist trotzdem $3$, denn sie beträgt $|a|$.

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6. Die Periodenlänge

Die Periodenlänge $T$ ist der kleinste positive Abstand, nach dem sich der gesamte Verlauf wiederholt.

Für

$$f(x)=a\cdot\sin(bx)$$

gilt

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{|b|}}.$$

Bei der üblichen Standardwahl $b>0$ folgt

$$\boxed{b=\frac{2\pi}{T}}.$$

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7. Periodenlänge am Graphen ablesen

Für die Periodenlänge verwendet man zwei gleichartige aufeinanderfolgende Punkte, zum Beispiel:

• zwei Hochpunkte,
• zwei Tiefpunkte,
• oder zwei Nullstellen mit derselben Durchgangsrichtung.

Beispiel

Zwei aufeinanderfolgende Hochpunkte liegen bei

$$x=\frac{\pi}{4}$$

und

$$x=\frac{5\pi}{4}.$$

Dann ist

$$\begin{aligned} T &=\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\\ &=\pi. \end{aligned}$$

Daher gilt

$$\begin{aligned} b &=\frac{2\pi}{T}\\ &=\frac{2\pi}{\pi}\\ &=2. \end{aligned}$$

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8. Fünf charakteristische Punkte

Für $b>0$ und $a>0$ besitzt eine Periode die fünf charakteristischen Punkte

$$\boxed{ (0,0), \left(\frac{T}{4},a\right), \left(\frac{T}{2},0\right), \left(\frac{3T}{4},-a\right), (T,0) }.$$

Die Reihenfolge lautet:

$$\text{Nullstelle} \to \text{Hochpunkt} \to \text{Nullstelle} \to \text{Tiefpunkt} \to \text{Nullstelle}.$$

Bei $a<0$ werden Hoch- und Tiefpunkt vertauscht.

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9. Vom Graphen zur Gleichung

Schritt 1: Amplitude ablesen

$$A=|a|.$$

Schritt 2: Vorzeichen von $a$ bestimmen

Steigt der Graph nach dem Ursprung zunächst, ist $a>0$.
Fällt er zunächst, ist $a<0$.

Schritt 3: Periodenlänge bestimmen

Den Abstand zweier gleichartiger Punkte ablesen.

Schritt 4: $b$ berechnen

$$b=\frac{2\pi}{T}.$$

Schritt 5: Gleichung aufschreiben

$$f(x)=a\cdot\sin(bx).$$

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10. Beispiel: Graph zur Gleichung

Ein Graph

• schwingt zwischen $-3$ und $3$,
• steigt unmittelbar rechts vom Ursprung,
• und besitzt die Periodenlänge $T=\pi$.

Damit:

$$a=3.$$

Außerdem:

$$\begin{aligned} b &=\frac{2\pi}{T}\\ &=\frac{2\pi}{\pi}\\ &=2. \end{aligned}$$

Somit lautet die Funktion

$$\boxed{f(x)=3\sin(2x)}.$$

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11. Von der Gleichung zum Graphen

Gegeben sei

$$f(x)=-2\sin\left(\frac{x}{2}\right).$$

Zuerst:

$$a=-2.$$

Also ist die Amplitude

$$A=|-2|=2.$$

Weiter:

$$b=\frac12.$$

Daher:

$$\begin{aligned} T &=\frac{2\pi}{1/2}\\ &=4\pi. \end{aligned}$$

Die fünf charakteristischen $x$-Werte sind

$$0, \quad \pi, \quad 2\pi, \quad 3\pi, \quad 4\pi.$$

Weil $a<0$, fällt der Graph nach dem Ursprung zunächst.

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12. Beispiel mit charakteristischen Punkten

Für

$$f(x)=2\sin(3x)$$

gilt

$$a=2, \qquad b=3.$$

Die Periodenlänge ist

$$T=\frac{2\pi}{3}.$$

Damit:

$$\frac{T}{4}=\frac{\pi}{6}, \qquad \frac{T}{2}=\frac{\pi}{3}, \qquad \frac{3T}{4}=\frac{\pi}{2}.$$

Die fünf Punkte lauten

$$\boxed{ (0,0), \left(\frac{\pi}{6},2\right), \left(\frac{\pi}{3},0\right), \left(\frac{\pi}{2},-2\right), \left(\frac{2\pi}{3},0\right) }.$$

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13. Nicht verwechseln: $b$ und $T$

Der Parameter $b$ ist nicht die Periodenlänge.

Es gilt

$$T=\frac{2\pi}{|b|}.$$

Ein größerer Betrag von $b$ führt zu einer kürzeren Periode.

Beispiel:

$$\sin(x)$$

hat die Periode $2\pi$, während

$$\sin(4x)$$

die Periode

$$\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$

besitzt.

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14. Gradmaß und Bogenmaß

Bei Funktionsgleichungen wird standardmäßig im Bogenmaß gearbeitet.

Daher gehören zu einer Periode von $\sin(x)$ die Werte

$$0, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \pi, \quad \frac{3\pi}{2}, \quad 2\pi.$$

Im Gradmaß wären das

$$0^\circ, \quad 90^\circ, \quad 180^\circ, \quad 270^\circ, \quad 360^\circ.$$

Diese Darstellungen dürfen nicht ungeprüft vermischt werden.

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15. Eindeutige Standarddarstellung

Wegen

$$\sin(-u)=-\sin(u)$$

gilt

$$a\sin(bx) = (-a)\sin((-b)x).$$

Beispiel:

$$2\sin(-3x) = -2\sin(3x).$$

Daher wird für eine eindeutige Standarddarstellung meist

$$b>0$$

gewählt. Das Vorzeichen wird dann über $a$ beschrieben.

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16. Welche Graphen gehören nicht zur Grundform?

Nicht jeder Wellenverlauf besitzt die Form

$$a\sin(bx).$$

Nicht zur behandelten Grundform gehören beispielsweise Graphen,

• deren Mittellinie nicht $y=0$ ist,
• die bei $x=0$ nicht durch den Ursprung verlaufen,
• deren Amplitude sich verändert,
• deren Periodenlänge nicht konstant ist,
• oder die Sprünge und Ecken besitzen.

Eine verschobene Funktion wie

$$2\sin(x)+3$$

ist zwar eine Sinusfunktion, aber nicht von der hier behandelten Form $a\sin(bx)$.

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17. GeoGebra zur Kontrolle

Funktion zeichnen

f(x)=3*sin(2*x)

Zweite Funktion vergleichen

g(x)=-2*sin(x/2)

Amplitude und Periode prüfen

Die Extremwerte liefern die Amplitude. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Hochpunkte liefert die Periodenlänge.

GeoGebra dient zur Kontrolle. Die Gleichung soll weiterhin über Amplitude, Periodenlänge und Vorzeichen begründet werden.

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18. Arbeitsplan

1. Prüfen, ob der Graph periodisch und glatt verläuft.
2. Mittellinie $y=0$ kontrollieren.
3. Prüfen, ob der Graph durch den Ursprung verläuft.
4. Hoch- und Tiefpunktwerte ablesen.
5. Amplitude $A=|a|$ bestimmen.
6. Steig- oder Fallrichtung nach dem Ursprung prüfen.
7. Zwei gleichartige Punkte für eine Periode wählen.
8. Periodenlänge $T$ bestimmen.
9. $b=2$ berechnen.

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19. Typische Fehler

• Die Amplitude wird mit $a$ statt mit $|a|$ angegeben.
• Hochpunkt minus Tiefpunkt wird direkt als Amplitude verwendet.
• $b$ wird mit der Periodenlänge verwechselt.
• Für $T$ werden zwei nicht gleichartige Punkte verwendet.
• Eine Nullstelle mit steigender und eine mit fallender Durchgangsrichtung werden als eine Periode gewertet.
• Das Vorzeichen von $a$ wird nicht geprüft.
• Der Ursprung oder die Mittellinie werden ignoriert.

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20. Zusammenfassung

Allgemeine Grundform:

$$\boxed{f(x)=a\sin(bx)}$$

Amplitude:

$$\boxed{A=|a|}$$

Periodenlänge:

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{|b|}}$$

Bei $b>0$:

$$\boxed{b=\frac{2\pi}{T}}$$

Fünf Punkte einer Periode bei $a>0$:

$$\boxed{ (0,0), \left(\frac{T}{4},a\right), \left(\frac{T}{2},0\right), \left(\frac{3T}{4},-a\right), (T,0) }$$

Kontrollfrage: Passen Amplitude, Periodenlänge, Ursprung und Verlauf gleichzeitig zur aufgestellten Gleichung?