Werte bei Sinusfunktionen

Kompetenzcode: FA 6.2
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Bei einer Sinusfunktion können Werte aus einer Gleichung berechnet oder aus einem Graphen abgelesen werden.

Wir betrachten hauptsächlich

$$\boxed{f(x)=a\cdot\sin(bx)}.$$

Leitidee: Zuerst wird das Argument $bx$ bestimmt. Danach wird der Sinuswert berechnet und mit $a$ multipliziert.

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1. Argument und Funktionswert

Zu jedem Argument $x$ gehört ein Funktionswert $f(x)$.

Das zugehörige Wertepaar lautet

$$\boxed{(x,f(x))}.$$

Beispiel:

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2.$$

Dann gehört der Punkt

$$\left(\frac{\pi}{2},2\right)$$

zum Graphen.

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2. Funktionswerte berechnen

Gegeben sei

$$f(x)=a\cdot\sin(bx).$$

Für $x=x_0$ gilt

$$\boxed{f(x_0)=a\cdot\sin(bx_0)}.$$

Die sichere Reihenfolge ist:

1. $x_0$ einsetzen,
2. das innere Argument $bx_0$ berechnen,
3. den Sinuswert bestimmen,
4. mit $a$ multiplizieren,
5. das Wertepaar angeben.

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3. Beispiel mit bekanntem Sinuswert

Gegeben sei

$$f(x)=2\sin(x).$$

Gesucht ist

$$f\left(\frac{\pi}{6}\right).$$ $$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{6}\right) &=2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\\ &=2\cdot\frac12\\ &=1. \end{aligned}$$

Das Wertepaar lautet

$$\boxed{\left(\frac{\pi}{6},1\right)}.$$

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4. Zuerst das innere Argument

Bei

$$f(x)=3\sin(2x)$$

und

$$x=\frac{\pi}{4}$$

muss zuerst $2x$ berechnet werden:

$$\begin{aligned} 2x &=2\cdot\frac{\pi}{4}\\ &=\frac{\pi}{2}. \end{aligned}$$

Dann:

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &=3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ &=3. \end{aligned}$$

Ein häufiger Fehler ist, nur $\sin(x)$ statt $\sin(2x)$ zu berechnen.

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5. Wichtige Sinuswerte im Bogenmaß

$$\sin(0)=0$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$ $$\sin(\pi)=0$$ $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$$ $$\sin(2\pi)=0.$$

Diese Werte entsprechen Nullstelle, Hochpunkt, Nullstelle, Tiefpunkt und Nullstelle einer Periode.

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6. Werte aus charakteristischen Punkten

Für

$$f(x)=a\sin(bx)$$

gilt mit der Periodenlänge

$$T=\frac{2\pi}{|b|}.$$

Bei $a>0$ und $b>0$:

$$f(0)=0,$$ $$f\left(\frac{T}{4}\right)=a,$$ $$f\left(\frac{T}{2}\right)=0,$$ $$f\left(\frac{3T}{4}\right)=-a,$$ $$f(T)=0.$$

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7. Näherungswerte berechnen

Nicht jeder Winkel besitzt einen einfachen exakten Sinuswert.

Beispiel:

$$f(x)=4\sin(x), \qquad x=1.$$

Mit dem Taschenrechner im Bogenmaß:

$$\begin{aligned} f(1) &=4\sin(1)\\ &\approx3{,}366. \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist ein Näherungswert:

$$\boxed{(1,3{,}366)}$$

näherungsweise.

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8. Gradmaß und Bogenmaß

Der Taschenrechner muss zum angegebenen Winkelmaß passen.

Im Bogenmaß:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Im Gradmaß:

$$\sin(90^\circ)=1.$$

Die Eingaben

$$\sin(90)$$

im Bogenmaß und

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

im Gradmodus liefern falsche Ergebnisse für die beabsichtigte Rechnung.

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9. Werte aus einem Graphen ablesen

Um zu einem gegebenen $x$-Wert den Funktionswert abzulesen:

1. vom $x$-Wert senkrecht zum Graphen gehen,
2. vom Graphen waagrecht zur $y$-Achse gehen,
3. den $y$-Wert ablesen,
4. das Wertepaar angeben.

Graphisch abgelesene Werte sind meistens Näherungswerte.

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10. Mehrere Argumentwerte zu einem Funktionswert

Wegen der Periodizität können mehrere $x$-Werte denselben Funktionswert besitzen.

Beispiel:

$$\sin(x)=1$$

hat im Intervall

$$0\le x\le2\pi$$

genau die Lösung

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

Dagegen besitzt

$$\sin(x)=\frac12$$

im selben Intervall zwei Lösungen:

$$x=\frac{\pi}{6}$$

und

$$x=\frac{5\pi}{6}.$$

Beim Ablesen muss daher immer der betrachtete Bereich beachtet werden.

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11. Punktprobe

Ein Punkt

$$P(x_0,y_0)$$

liegt genau dann auf dem Graphen von $f$, wenn

$$\boxed{y_0=f(x_0)}$$

gilt.

Beispiel

Liegt

$$P\left(\frac{\pi}{4},2\right)$$

auf

$$f(x)=2\sin(2x)?$$ $$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &=2\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)\\ &=2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ &=2. \end{aligned}$$

Der berechnete Wert stimmt mit der $y$-Koordinate überein. Daher liegt der Punkt auf dem Graphen.

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12. Wertebereich als Kontrolle

Für

$$f(x)=a\sin(bx)$$

gilt

$$\boxed{-|a|\le f(x)\le |a|}.$$

Beispiel:

$$f(x)=3\sin(2x).$$

Dann kann kein Funktionswert größer als $3$ oder kleiner als $-3$ sein.

Ein Ergebnis wie

$$f(x)=4$$

ist daher sicher falsch.

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13. Exakte und gerundete Ergebnisse

Ein exaktes Ergebnis wird nicht unnötig gerundet:

$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Ein nicht exakt darstellbarer Rechnerwert wird mit $\approx$ angegeben:

$$f(0{,}7)\approx1{,}288.$$

Runde erst am Ende der Rechnung.

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14. Werte aus einer Tabelle lesen

Daraus kann man beispielsweise ablesen:

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$$

und

$$f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-2.$$

Außerdem gehören die Punkte

$$\left(\frac{\pi}{4},2\right)$$

und

$$\left(\frac{3\pi}{4},-2\right)$$

zum Graphen.

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15. Periodische Wiederholung nutzen

Ist die Periodenlänge $T$, dann gilt

$$f(x+T)=f(x).$$

Beispiel:

$$f(x)=2\sin(x)$$

besitzt die Periode $2\pi$.

Daher:

$$f\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right) = f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1.$$

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16. Kontext und Einheiten

In einem Sachkontext haben $x$ und $f(x)$ oft unterschiedliche Einheiten.

Beispiel:

$$h(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right).$$

Dabei kann

• $t$ eine Zeit in Stunden,
• $h(t)$ eine Höhenabweichung in Metern

beschreiben.

Die Aussage

$$h(3)=1{,}5$$

bedeutet dann:

Nach $3$ Stunden beträgt die Höhenabweichung $1{,}5\,\mathrm m$.

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17. Negative Funktionswerte deuten

Ein negativer Funktionswert ist nicht automatisch ein Fehler.

Er kann beispielsweise bedeuten:

• unterhalb einer Mittellinie,
• Bewegung in die Gegenrichtung,
• negative Abweichung von einem Mittelwert,
• Position unterhalb eines Bezugspunktes.

Die genaue Bedeutung hängt vom Kontext ab.

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18. GeoGebra zur Kontrolle

Funktion eingeben

f(x)=3*sin(2*x)

Punkt zu einem Argument erzeugen

x_0=pi/4
P=(x_0,f(x_0))

Punktprobe

P=(pi/4,3)
IstDefiniert(P)

Entscheidend bleibt die rechnerische Kontrolle

$$y_0=f(x_0).$$

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19. Arbeitsplan

1. Funktionsgleichung und gesuchten Wert notieren.
2. Prüfen, ob Grad- oder Bogenmaß verwendet wird.
3. $x$ einsetzen.
4. Das innere Argument $bx$ berechnen.
5. Den Sinuswert bestimmen.
6. Mit $a$ multiplizieren.
7. Exaktes oder gerundetes Ergebnis kennzeichnen.
8. Das Wertepaar angeben.
9. Mit dem Wertebereich kontrollieren.
10. Bei Graphen die Achsenskalierung beachten.
11. Bei mehreren Lösungen das Intervall prüfen.
12. Ergebnis mit Einheit und Kontext deuten.

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20. Typische Fehler

• $b\cdot x$ wird nicht zuerst berechnet.
• Der falsche Taschenrechnermodus wird verwendet.
• Gradmaß und Bogenmaß werden vermischt.
• Die Multiplikation mit $a$ wird vergessen.
• Ein Näherungswert wird als exakter Wert ausgegeben.
• Die Koordinaten des Wertepaars werden vertauscht.
• Bei einem gegebenen $y$-Wert wird nur ein möglicher $x$-Wert gesucht.
• Der betrachtete Bereich wird nicht beachtet.
• Graphwerte werden genauer angegeben, als sie ablesbar sind.
• Der Wertebereich wird nicht zur Kontrolle verwendet.
• Negative Werte werden ohne Kontextprüfung als Fehler verworfen.

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21. Zusammenfassung

Berechnung:

$$\boxed{f(x_0)=a\sin(bx_0)}$$

Wertepaar:

$$\boxed{(x_0,f(x_0))}$$

Punktprobe:

$$\boxed{P(x_0,y_0)\text{ liegt auf dem Graphen }\Longleftrightarrow y_0=f(x_0)}$$

Wertebereich:

$$\boxed{-|a|\le f(x)\le |a|}$$

Kontrollfrage: Wurde zuerst das innere Argument berechnet und passt das Ergebnis zum Wertebereich?