Parameterwirkung bei Sinusfunktionen

Kompetenzcode: FA 6.3
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Wir betrachten Sinusfunktionen der Form

$$\boxed{f(x)=a\cdot\sin(bx)}.$$

Die beiden Parameter verändern unterschiedliche Eigenschaften des Graphen:

• $a$ bestimmt Amplitude und Spiegelung,
• $b$ bestimmt die Periodenlänge.

Leitidee: $a$ wirkt vertikal, $b$ wirkt horizontal.

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1. Die Grundfunktion als Ausgangspunkt

Die Grundfunktion

$$f(x)=\sin(x)$$

besitzt

$$A=1$$

und

$$T=2\pi.$$

Sie schwingt um die Mittellinie $y=0$ und verläuft durch den Ursprung.

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2. Die Wirkung von $a$

Bei

$$f(x)=a\sin(bx)$$

verändert $a$ alle Funktionswerte durch Multiplikation.

Für ein festes $x$ gilt:

$$\sin(bx)$$

wird mit $a$ multipliziert.

Dadurch wird der Graph in vertikaler Richtung gestreckt oder gestaucht.

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3. Amplitude und Wertebereich

Die Amplitude ist

$$\boxed{A=|a|}.$$

Der Wertebereich lautet

$$\boxed{-|a|\leq f(x)\leq |a|}.$$

Beispiel

Für

$$f(x)=-4\sin(2x)$$

gilt

$$A=|-4|=4.$$

Der Wertebereich ist

$$-4\leq f(x)\leq4.$$

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4. Das Vorzeichen von $a$

Für $a>0$ steigt der Graph unmittelbar rechts vom Ursprung zunächst an.

Für $a<0$ wird der Graph an der $x$-Achse gespiegelt und fällt unmittelbar rechts vom Ursprung zunächst ab.

Beispiel:

$$3\sin(x)$$

und

$$-3\sin(x)$$

besitzen dieselbe Amplitude und dieselbe Periodenlänge. Sie unterscheiden sich nur durch die Spiegelung an der $x$-Achse.

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5. Sonderfall $a=0$

Für

$$a=0$$

gilt

$$f(x)=0\cdot\sin(bx)=0.$$

Der Graph ist dann die $x$-Achse. Es liegt keine sichtbare Schwingung vor.

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6. Die Wirkung von $b$

Der Parameter $b$ verändert das Argument der Sinusfunktion:

$$\sin(x) \quad\longrightarrow\quad \sin(bx).$$

Dadurch wird der Graph in horizontaler Richtung gestreckt oder gestaucht.

• großes $|b|$: viele Schwingungen im selben Bereich,
• kleines positives $b$: wenige, längere Schwingungen.

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7. Periodenlänge und $b$

Für

$$f(x)=a\sin(bx)$$

gilt

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{|b|}}.$$

Bei der Standardwahl $b>0$ folgt

$$\boxed{b=\frac{2\pi}{T}}.$$

Der Parameter $b$ ist also nicht selbst die Periodenlänge.

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8. Beispiele zur Periodenlänge

Beispiel 1

$$f(x)=2\sin(4x)$$ $$\begin{aligned} T &=\frac{2\pi}{4}\\ &=\frac{\pi}{2}. \end{aligned}$$

Beispiel 2

$$g(x)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$ $$\begin{aligned} T &=\frac{2\pi}{1/2}\\ &=4\pi. \end{aligned}$$

Beide Funktionen besitzen die Amplitude $2$, aber sehr unterschiedliche Periodenlängen.

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9. Vertikale und horizontale Wirkung unterscheiden

Wichtig:

• $a$ verändert nicht die Periodenlänge,
• $b$ verändert nicht die Amplitude.

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10. Gleiche Periode, verschiedene Amplitude

Vergleiche

$$f(x)=\sin(2x)$$

und

$$g(x)=4\sin(2x).$$

Beide besitzen

$$T=\pi.$$

Die Amplituden unterscheiden sich:

$$A_f=1, \qquad A_g=4.$$

Der Graph von $g$ ist gegenüber dem Graphen von $f$ vertikal gestreckt.

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11. Gleiche Amplitude, verschiedene Periode

Vergleiche

$$f(x)=3\sin(x)$$

und

$$g(x)=3\sin(4x).$$

Beide besitzen die Amplitude

$$A=3.$$

Die Periodenlängen sind

$$T_f=2\pi$$

und

$$T_g=\frac{\pi}{2}.$$

Der Graph von $g$ schwingt im selben $x$-Bereich viermal so häufig.

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12. Charakteristische Punkte als Kontrolle

Bei $a>0$ und $b>0$ besitzt eine Periode die Punkte

$$(0,0), \quad \left(\frac{T}{4},a\right), \quad \left(\frac{T}{2},0\right), \quad \left(\frac{3T}{4},-a\right), \quad (T,0).$$

Bei $a<0$ werden Hoch- und Tiefpunkt vertauscht.

Diese Punkte kontrollieren gleichzeitig Amplitude, Periodenlänge und Spiegelung.

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13. Parameter aus einem Graphen bestimmen

Schritt 1: Amplitude bestimmen

$$|a|=A.$$

Schritt 2: Vorzeichen von $a$ prüfen

• steigt nach dem Ursprung: $a>0$,
• fällt nach dem Ursprung: $a<0$.

Schritt 3: Periodenlänge bestimmen

Den Abstand zweier gleichartiger Punkte ablesen.

Schritt 4: $b$ berechnen

$$b=\frac{2\pi}{T}.$$

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14. Beispiel: Vom Graphen zu $a$ und $b$

Ein Graph

• schwingt zwischen $-5$ und $5$,
• fällt nach dem Ursprung,
• und besitzt die Periodenlänge $T=\pi$.

Dann gilt

$$a=-5.$$

Außerdem:

$$\begin{aligned} b &=\frac{2\pi}{\pi}\\ &=2. \end{aligned}$$

Damit lautet die Funktion

$$\boxed{f(x)=-5\sin(2x)}.$$

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15. Standarddarstellung mit $b>0$

Wegen

$$\sin(-u)=-\sin(u)$$

gilt

$$a\sin(bx)=(-a)\sin((-b)x).$$

Beispiel:

$$2\sin(-3x)=-2\sin(3x).$$

Daher wird für eine eindeutige Standarddarstellung meist

$$b>0$$

gewählt. Das Vorzeichen wird über $a$ beschrieben.

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16. Parameter im Kontext deuten

Betrachte

$$h(t)=2{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right).$$

Dabei sei $t$ die Zeit in Stunden und $h(t)$ eine Höhenabweichung in Metern.

Dann bedeutet

$$a=2{,}5:$$

Die maximale Abweichung von der Mittellinie beträgt $2{,}5\,\mathrm m$.

Für

$$b=\frac{\pi}{6}$$

gilt

$$\begin{aligned} T &=\frac{2\pi}{\pi/6}\\ &=12. \end{aligned}$$

Die Bewegung wiederholt sich alle $12$ Stunden.

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17. Einheit von $b$

Das Argument einer Sinusfunktion muss ein Winkel beziehungsweise dimensionslos sein.

Ist $x$ beispielsweise eine Zeit in Stunden, dann besitzt $b$ die Einheit

$$\frac{1}{\mathrm h}.$$

Bei

$$b=\frac{\pi}{6}\,\frac{1}{\mathrm h}$$

wird aus $bx$ ein Winkel im Bogenmaß.

In der Deutung ist häufig die Periodenlänge $T$ anschaulicher als der Parameter $b$.

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18. GeoGebra und interaktiver Vergleich

In GeoGebra können Schieberegler für $a$ und $b$ angelegt werden:

f(x)=a*sin(b*x)

Untersuche dabei getrennt:

1. $a$ verändern und $b$ festhalten,
2. $b$ verändern und $a$ festhalten,
3. beide Parameter verändern,
4. Amplitude und Periodenlänge rechnerisch kontrollieren.

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19. Arbeitsplan und typische Fehler

Arbeitsplan

1. Funktionsform $a\sin(bx)$ erkennen.
2. $a$ ablesen.
3. Amplitude $A=|a|$ bestimmen.
4. Spiegelung über das Vorzeichen von $a$ prüfen.
5. $$ ablesen.

Typische Fehler

• Amplitude und $a$ werden gleichgesetzt, obwohl $a<0$ ist.
• $b$ wird mit der Periodenlänge verwechselt.
• Ein größeres $b$ wird fälschlich als längere Periode gedeutet.
• $a$ und $$ werden in ihrer Wirkung vertauscht.

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20. Zusammenfassung

Grundform:

$$\boxed{f(x)=a\sin(bx)}$$

Amplitude:

$$\boxed{A=|a|}$$

Wertebereich:

$$\boxed{-|a|\leq f(x)\leq|a|}$$

Periodenlänge:

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{|b|}}$$

Standardwahl:

$$\boxed{b>0}$$

Merksatz: $a$ verändert Höhe und Spiegelung, $b$ verändert die Länge einer Schwingung.