Periodizität von Sinusfunktionen

Kompetenzcode: FA 6.4
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Sinusfunktionen wiederholen ihren Verlauf regelmäßig.

Für eine Periodenlänge $T>0$ gilt

$$\boxed{f(x+T)=f(x)}$$

für alle $x$.

Leitidee: Nach einer vollen Periode beginnt derselbe Funktionsverlauf erneut.

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1. Was bedeutet periodisch?

Eine Funktion heißt periodisch, wenn es einen positiven Abstand gibt, nach dem sich alle Funktionswerte wiederholen.

Es muss also ein $T>0$ geben, sodass

$$f(x+T)=f(x)$$

für jedes $x$ gilt.

Ein einzelnes wiederkehrendes Wertepaar reicht dafür nicht aus. Der gesamte Verlauf muss sich wiederholen.

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2. Die Periodenlänge

Die Periodenlänge ist der kleinste positive Abstand, nach dem sich der Graph vollständig wiederholt.

Dieser kleinste Abstand wird meist mit

$$T$$

bezeichnet.

Auch $2T$, $3T$ oder allgemein $kT$ führen wieder zum gleichen Verlauf. Sie sind aber nicht die kleinste Periodenlänge.

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3. Die Grundfunktion

Für

$$f(x)=\sin(x)$$

gilt

$$T=2\pi.$$

Daher:

$$\sin(x+2\pi)=\sin(x).$$

Eine Periode reicht beispielsweise von

$$0$$

bis

$$2\pi.$$

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4. Allgemeine Sinusfunktionen

Wir betrachten

$$f(x)=a\sin(bx).$$

Der Parameter $a$ verändert die Amplitude, aber nicht die Periodenlänge.

Der Parameter $b$ bestimmt die Periodenlänge:

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{|b|}}.$$

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5. Periodenlänge am Graphen ablesen

Für das Ablesen von $T$ verwendet man zwei aufeinanderfolgende gleichartige Punkte:

• zwei Hochpunkte,
• zwei Tiefpunkte,
• oder zwei Nullstellen mit derselben Durchgangsrichtung.

Der horizontale Abstand dieser Punkte ist die Periodenlänge.

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6. Ganze und halbe Periode unterscheiden

Benachbarte Nullstellen einer Sinusfunktion liegen meist nur eine halbe Periode auseinander.

Beispiel:

$$\sin(x)=0$$

bei

$$x=0$$

und

$$x=\pi.$$

Der Abstand ist

$$\pi,$$

aber die Periodenlänge von $\sin(x)$ ist

$$2\pi.$$

Die beiden Nullstellen besitzen unterschiedliche Durchgangsrichtungen.

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7. Periodenlänge aus $b$ berechnen

Gegeben sei

$$f(x)=3\sin(4x).$$

Dann ist

$$b=4.$$

Daher:

$$\begin{aligned} T &=\frac{2\pi}{|b|}\\ &=\frac{2\pi}{4}\\ &=\frac{\pi}{2}. \end{aligned}$$

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8. Den Parameter $b$ aus $T$ bestimmen

Bei der Standardwahl $b>0$ gilt

$$\boxed{b=\frac{2\pi}{T}}.$$

Beispiel:

$$T=\frac{4\pi}{3}.$$

Dann:

$$\begin{aligned} b &=\frac{2\pi}{4\pi/3}\\ &=\frac32. \end{aligned}$$

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9. Die Gleichung $f(x+T)=f(x)$

Die Periodizität kann direkt als Funktionsgleichung formuliert werden:

$$\boxed{f(x+T)=f(x)}.$$

Für

$$f(x)=2\sin(3x)$$

gilt

$$T=\frac{2\pi}{3}.$$

Somit:

$$f\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=f(x).$$

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10. Verschiebung um mehrere Perioden

Für jede ganze Zahl $k$ gilt

$$\boxed{f(x+kT)=f(x)}.$$

Dabei kann $k$ positiv, null oder negativ sein.

Beispiele:

$$f(x+3T)=f(x),$$ $$f(x-2T)=f(x).$$

Die Verschiebung erfolgt um eine ganze Anzahl vollständiger Perioden.

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11. Beispiel mit exakter Kontrolle

Gegeben sei

$$f(x)=2\sin(2x).$$

Die Periodenlänge ist

$$T=\pi.$$

Für

$$x_0=\frac{\pi}{6}$$

gilt:

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{6}\right) &=2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\sqrt3. \end{aligned}$$

Eine Periode später:

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{6}+\pi\right) &=2\sin\left(2\cdot\frac{7\pi}{6}\right)\\ &=2\sin\left(\frac{7\pi}{3}\right)\\ &=\sqrt3. \end{aligned}$$

Damit ist die Gleichheit bestätigt.

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12. Funktionswerte durch Periodizität bestimmen

Ist ein Funktionswert bekannt, können Werte nach ganzen Perioden sofort angegeben werden.

Beispiel:

$$f(x)=3\sin(x)$$

und

$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac32.$$

Wegen $T=2\pi$ gilt:

$$f\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\frac32,$$ $$f\left(\frac{\pi}{6}-4\pi\right)=\frac32.$$

Eine neue Sinusrechnung ist nicht nötig.

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13. Periodizität in Tabellen erkennen

Eine Wertetabelle kann Periodizität zeigen, wenn sich die Werte in regelmäßigen Abständen vollständig wiederholen.

Die Werte bei $x$ und $x+2\pi$ stimmen überein.

Für eine sichere Begründung müssen jedoch mehrere Werte beziehungsweise der gesamte Verlauf berücksichtigt werden.

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14. Zeitliche Periodizität

In zeitabhängigen Modellen beschreibt $T$ häufig eine Wiederholungsdauer.

Beispiel:

$$h(t)=2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right).$$

Dann:

$$\begin{aligned} T &=\frac{2\pi}{\pi/6}\\ &=12. \end{aligned}$$

Wenn $t$ in Stunden gemessen wird, wiederholt sich der modellierte Vorgang alle

$$12\ \mathrm h.$$

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15. Räumliche Periodizität

Die unabhängige Variable muss nicht immer eine Zeit sein.

Bei einer räumlichen Welle kann $x$ beispielsweise in Metern gemessen werden. Dann beschreibt $T$ den räumlichen Abstand, nach dem sich das Muster wiederholt.

Die Einheit von $T$ ist immer dieselbe wie die Einheit der unabhängigen Variable.

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16. Ein wiederkehrender Wert reicht nicht

Aus

$$f(x_1)=f(x_2)$$

folgt noch nicht, dass

$$x_2-x_1$$

eine Periodenlänge ist.

Eine Sinusfunktion nimmt viele Werte innerhalb einer Periode mehrfach an.

Beispiel:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac12.$$

Der Abstand

$$\frac{2\pi}{3}$$

ist trotzdem keine Periodenlänge von $\sin(x)$.

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17. Kleinste positive Periode prüfen

Um zu zeigen, dass ein Wert $T$ tatsächlich die Periodenlänge ist, müssen zwei Dinge gelten:

1. Der gesamte Verlauf wiederholt sich nach $T$:

   $$f(x+T)=f(x).$$

2. Es gibt keinen kleineren positiven Wert, der diese Eigenschaft für alle $x$ erfüllt.

Bei allgemeinen Sinusfunktionen liefert

$$T=\frac{2\pi}{|b|}$$

genau diese kleinste positive Periode, sofern $a\neq0$.

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18. GeoGebra zur Kontrolle

Funktion und Periode

f(x)=2*sin(b*x)
T=2*pi/abs(b)

Zwei periodisch entsprechende Punkte

P=(x_0,f(x_0))
Q=(x_0+T,f(x_0+T))

Kontrolle

Die Punkte $P$ und $Q$ besitzen denselben $y$-Wert. Ihr horizontaler Abstand beträgt $T$.

GeoGebra macht die Wiederholung sichtbar. Die mathematische Begründung erfolgt über

$$f(x+T)=f(x).$$

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19. Arbeitsplan und typische Fehler

Arbeitsplan

1. Prüfen, ob sich der gesamte Verlauf regelmäßig wiederholt.
2. Zwei gleichartige aufeinanderfolgende Punkte wählen.
3. Ihren horizontalen Abstand bestimmen.
4. Ganze und halbe Periode unterscheiden.
5. Bei einer Gleichung $T=2\pi/|b|$ berechnen.
6. $f(x+T)=f(x)$ formulieren.

Typische Fehler

• Benachbarte Nullstellen werden als volle Periode verwendet.
• Zwei Punkte mit unterschiedlicher Durchgangsrichtung werden verglichen.
• Ein einzelner gleicher Funktionswert wird als Periodizitätsbeweis verwendet.
• $b$ wird mit $T$ verwechselt.
• Der Betrag von $b$ wird vergessen.
• Die Einheit der Periodenlänge fehlt.
• $2T$ wird als kleinste Periode angegeben.
• Die Gleichung wird nur für einen einzelnen $x$-Wert statt für alle verstanden.

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20. Zusammenfassung

Periodizität:

$$\boxed{f(x+T)=f(x)}$$

für alle $x$.

Mehrere Perioden:

$$\boxed{f(x+kT)=f(x),\qquad k\in\mathbb Z}$$

Periodenlänge von

$$f(x)=a\sin(bx):$$ $$\boxed{T=\frac{2\pi}{|b|}}$$

Merksatz: Die Periodenlänge ist der kleinste positive Abstand, nach dem sich der gesamte Graph wiederholt.