Cosinus als verschobener Sinus

Kompetenzcode: FA 6.5
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Sinus und Cosinus beschreiben dieselbe Grundschwingung. Sie unterscheiden sich nur durch eine horizontale Verschiebung.

Die zentrale Beziehung lautet

$$\boxed{\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}.$$

Leitidee: Verschiebt man den Sinusgraphen um $\frac{\pi}{2}$ nach links, entsteht der Cosinusgraph.

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1. Sinus und Cosinus im Vergleich

Die Grundfunktionen

$$f(x)=\sin(x)$$

und

$$g(x)=\cos(x)$$

besitzen beide

$$A=1$$

und

$$T=2\pi.$$

Sie unterscheiden sich nur in ihrer horizontalen Lage.

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2. Charakteristische Werte

Der Cosinus erreicht seine Werte jeweils um eine Viertelperiode früher als der Sinus.

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3. Verschiebung um eine Viertelperiode

Eine Viertelperiode der Grundfunktionen beträgt

$$\frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$$

Der Cosinusgraph entsteht aus dem Sinusgraphen durch eine Verschiebung um

$$\frac{\pi}{2}$$

nach links.

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4. Warum bedeutet Plus eine Verschiebung nach links?

Betrachte

$$g(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right).$$

Der Sinus erreicht sein Maximum normalerweise bei

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

Für $g$ muss gelten:

$$x+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$$

Daraus folgt:

$$x=0.$$

Das Maximum liegt nun bei $x=0$. Der Graph wurde daher nach links verschoben.

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5. Zentrale Identität

Es gilt für alle $x$:

$$\boxed{\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}.$$

Kontrolle bei $x=0$:

$$\begin{aligned} \sin\left(0+\frac{\pi}{2}\right) &=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ &=1\\ &=\cos(0). \end{aligned}$$

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6. Umgekehrte Schreibweise

Aus

$$\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

folgt auch

$$\boxed{\sin(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}.$$

Der Sinusgraph entsteht also aus dem Cosinusgraphen durch eine Verschiebung um

$$\frac{\pi}{2}$$

nach rechts.

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7. Nullstellen zuordnen

Die Nullstellen von $\sin(x)$ liegen bei ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:

$$x=k\pi.$$

Die Nullstellen von $\cos(x)$ liegen um $\frac{\pi}{2}$ verschoben:

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi.$$

Damit erkennt man die horizontale Verschiebung direkt an den Nullstellen.

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8. Hoch- und Tiefpunkte zuordnen

Für $\sin(x)$:

• Hochpunkt bei $x=\frac{\pi}{2}$,
• Tiefpunkt bei $x=\frac{3\pi}{2}$.

Für $\cos(x)$:

• Hochpunkt bei $x=0$,
• Tiefpunkt bei $x=\pi$.

Auch hier beträgt der horizontale Versatz $\frac{\pi}{2}$.

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9. Werte mit der Identität bestimmen

Beispiel:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right).$$ $$\begin{aligned} \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2} &=\frac{2\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}\\ &=\frac{5\pi}{6}. \end{aligned}$$

Damit:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac12.$$

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10. Graphischer Darstellungswechsel

Um den Cosinusgraphen aus dem Sinusgraphen zu erzeugen:

1. charakteristische Sinuspunkte markieren,
2. jede $x$-Koordinate um $\frac{\pi}{2}$ verkleinern,
3. die $y$-Koordinate unverändert lassen,
4. die verschobenen Punkte verbinden.

Eine horizontale Verschiebung verändert weder Amplitude noch Periodenlänge.

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11. Phasenverschiebung im Argument

Bei

$$g(x)=\sin(x+\varphi)$$

ist $\varphi$ eine Phasenverschiebung im Argument.

• $\varphi>0$: Verschiebung nach links,
• $\varphi<0$: Verschiebung nach rechts.

Für

$$\varphi=\frac{\pi}{2}$$

gilt

$$g(x)=\cos(x).$$

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12. Skalierter Cosinus als Sinus

Für

$$f(x)=a\cos(bx)$$

gilt

$$\boxed{a\cos(bx)=a\sin\left(bx+\frac{\pi}{2}\right)}.$$

Amplitude und Periodenlänge bleiben gleich:

$$A=|a|,$$ $$T=\frac{2\pi}{|b|}.$$

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13. Tatsächliche horizontale Verschiebung

Der Ausdruck

$$a\sin\left(bx+\frac{\pi}{2}\right)$$

kann auch geschrieben werden als

$$a\sin\left(b\left(x+\frac{\pi}{2b}\right)\right)$$

für $b\neq0$.

Die Phasenverschiebung im Argument ist

$$\frac{\pi}{2}.$$

Die horizontale Verschiebung auf der $x$-Achse beträgt dagegen

$$\boxed{\frac{\pi}{2b}}$$

nach links, wenn $b>0$.

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14. Beispiel mit $b=2$

Gegeben sei

$$f(x)=3\cos(2x).$$

Als Sinusfunktion:

$$\begin{aligned} f(x) &=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\\ &=3\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right). \end{aligned}$$

Die tatsächliche horizontale Verschiebung beträgt

$$\frac{\pi}{4}$$

nach links.

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15. Gradmaß und Bogenmaß

Die Identität kann auch im Gradmaß formuliert werden:

$$\cos(\alpha) = \sin(\alpha+90^\circ).$$

In der Funktionsanalyse wird meist das Bogenmaß verwendet:

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}.$$

Gradmaß und Bogenmaß dürfen nicht vermischt werden.

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16. Zusammenhang am Einheitskreis

Am Einheitskreis ist

• $\cos(x)$ die $x$-Koordinate,
• $\sin(x)$ die $y$-Koordinate.

Eine Drehung um $\frac{\pi}{2}$ verschiebt die Rollen der Koordinaten entsprechend. Dadurch wird die Identität

$$\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

geometrisch verständlich.

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17. Verschiebung im Kontext

Bei zwei periodischen Größen kann ein zeitlicher oder räumlicher Versatz auftreten.

Beispiel:

$$s(t)=\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right),$$ $$c(t)=\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right).$$

Die Periodenlänge beträgt

$$T=12.$$

Der horizontale Zeitversatz beträgt

$$\frac{T}{4}=3.$$

Der Cosinusverlauf liegt also um $3$ Zeiteinheiten vor dem Sinusverlauf.

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18. GeoGebra zur Kontrolle

Grundfunktionen

f(x)=cos(x)
g(x)=sin(x+pi/2)

Die Graphen müssen deckungsgleich sein.

Veränderliche Phase

h(x)=sin(x+phi)

Mit einem Schieberegler für $\varphi$ kann beobachtet werden, wann $h$ mit dem Cosinusgraphen übereinstimmt.

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19. Arbeitsplan und typische Fehler

Arbeitsplan

1. Sinus- und Cosinusfunktion erkennen.
2. Charakteristische Punkte vergleichen.
3. Verschiebung als Viertelperiode bestimmen.
4. Richtung der Verschiebung prüfen.
5. Identität $$\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ anwenden.
6. Bei Amplitude und unverändert übernehmen.

Typische Fehler

• Das Pluszeichen wird als Verschiebung nach rechts gedeutet.
• $\cos(x)$ wird mit $\sin(x-\frac{\pi}{2})$ verwechselt.
• Amplitude oder Periodenlänge werden durch die Verschiebung verändert.
• Bei wird vergessen.

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20. Zusammenfassung

Zentrale Identität:

$$\boxed{\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}$$

Umgekehrte Beziehung:

$$\boxed{\sin(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}$$

Skalierte Form:

$$\boxed{a\cos(bx)=a\sin\left(bx+\frac{\pi}{2}\right)}$$

Horizontale Verschiebung bei $b>0$:

$$\boxed{\frac{\pi}{2b}\text{ nach links}}$$

Merksatz: Cosinus ist Sinus, der um eine Viertelperiode nach links verschoben wurde.